在集合論中，最大的無窮大是什麼？（基於康托爾的基數集）

01-08

題主只學過工科數學，看連續統假設的時候發現無窮大是可以用基數集比較的。實數集合可定義數集的無窮大程度都是阿列夫0；實數集要大一些，阿列夫1左右？（不清楚在連續統假設哥德爾不完備的情況下是否能判斷實數集的無窮大程度大於等於還是小於等於阿列弗1？）；平面內曲線的無窮大程度要比實數的更大（不清楚能否證明它的大概範圍？是否比阿列夫1大？）。然後題主最關心的問題就是：最大的無窮大是什麼？是否存在比平面內曲線無窮大程度還大的已知數學對象？

基數沒有最大，任何集合的基數都小於它的冪集的基數。證明很簡單：假設有雙射 $f:V o2^V$

，定義集合 $A={xin V: x otin f(x)}$ ，則 $Ain 2^V$ ，且存在 $ain V$ 使得 $f(a)=A$ ；若 $ain A$ ，則 $a otin f(a)=A$ ，矛盾；若 $a otin A=f(a)$ ，則由 $A$ 的定義知 $ain A$ ，也矛盾。

平面上的曲線，無非是連續映射 $mathbb{R} omathbb{R} imesmathbb{R}$ ，基數不會超過 $(operatorname{card}mathbb{R} imesmathbb{R})^{operatorname{card}mathbb{R}}=(aleph_1 imesaleph_1)^{aleph_1}=aleph_1^{aleph_1}$