大家學數學時有經常回憶定理證明的傾向嗎？這樣好還是不好？
我是一名大一數學系的學生，我覺得我在這個問題上遇到了困難。
學數學時學到一些新的定理，在後面做練習題的時候，每次使用剛剛學到的定理就要強迫自己回憶一遍定理的證明，不然就極為不舒服。比如每次用Jordan標準型定理時都要把lambda矩陣什麼的回憶一遍。。。剛學到的定理我有可能對證明很不熟悉，過段時間就忘了怎麼證了，結果我的學習時間很多都花在了重新去看定理的證明上。一般那樣的定理還遠沒有在我腦子裡建立起直觀形象，對其本身就不夠了解，如果總是一遍遍看證明而不經常用，就永遠不可能有直觀印象。這種事總是讓我很難受。回憶了下，我們比如說在算兩位數乘兩位數什麼的時候要用乘法口訣，而我們不可能在每次使用乘法口訣的時候都驗證一遍對吧。有次跟我一朋友聊起這個，他說他也是這樣，我問他你在用Z是UFD的時候也會試圖重新證明一遍嗎，他回答不會，但要是用到Z[i]是UFD的時候就會不由自主地想一遍證明。有時我覺得這種傾向完全就是在浪費時間，有時又覺得，比如說假如把你傳送到阿基米德的時代給他講你學的數學知識，你的知識鏈會不會斷？比如突然忘了怎麼證明A-λI與B-λI相抵則它們相似之類的。。。大學數學充滿著無數不知道怎麼突然就冒出來的證明，雖然很多分支都為你建立了一個完善舒適的世界觀，但是世界觀的地基也就是建立過程雖然堅固但卻是雜亂無章的。我感覺我很難像在高中數學競賽那樣的世界裡舒服地游來游去，每天總怕這裡塌了那裡塌了，儘管我知道這不可能塌。
各位學數學的人有沒有這樣的問題呢。。。如果有那麼是用什麼態度面對的呢。。。原諒我的文筆
1. 其他人已經談了很多，我主要談如何建立「直觀」印象。很多人聽過「建立形象化」來建立直觀。我認為這對分析學/方程是無效的，否則當韋爾斯特拉斯構造出連續但是處處不可微的函數時大家就不會那麼驚訝了。同樣的，人們也可以構造出連續都是無處單調的函數。有趣的是這兩個反例是幾乎一樣的，你之所以建立錯誤的自覺是因為你不知道「這兩個反例」和你又沒有「直覺」沒有關係，單純是因為你沒見過。所以，要避免錯誤的方法也簡單，去接觸「具體的」例子。同樣的，要了解或者掌握一個定理，也可以通過幾個正面的例子來掌握結果，不一定需要通過記憶證明過程。回憶定理有時候甚至不如回憶那些例子。通過例子去把握，很多定理成立中常數往往是極端例子算出來的sharp constant。這種思路在學習泛函分析等高度抽象的分析理論是很有用，我覺得抽象很大程度上就是總結出來的。你要回到根源去。證明也往往只是總結，當然了有很多證明不是這樣。我推薦以下的書"實分析中的反例"，下面是下載鏈接：
http://www.kryakin.org/am2/_Olmsted.pdf
然後，對於泛函分析，下面的網站收集了很多反例：
THE COUNTEREXAMPLES IN FUNCTIONAL ANALYSIS
2. 我自己去記憶理解定理是分情況的。有些定理如果只是結果重要，我一般通過例子去記住。如果有些定理起證明過程也重要，我一般的方式就是和@張辰LMY一樣，通過分解成幾個小結果，每個結果我都比較能掌握。不能分解出的，我自身把它總結一下。同時說一點，我會主動去找更好的證明，我覺得好的證明是條理清晰，可以分成幾個小步驟的那種。去找自己能比較接受的證明比較好。
譬如泛函分析裡面著名的closed graph theorem（這裡是對於閉運算元的）有很多不同的證明方法，最好的是H. Brezis裡面給出的，通過先建立一般的空間理論
取決於是什麼樣的定理。
一個本來就是拿來用的定理，其證明可能是ad hoc，實際上初學時可以完全忽略（實際上，不做相應研究的話可以一直不管，承認就好。）而有些定理是一些方法的總結，其中有很多小trick。這些東西是需要記憶的。聽龔升先生講課時說過 學過一門課後不僅要知道要記住什麼，還要學會忘掉什麼。
For me，許多定理的證明看一遍和沒看一個樣，要理解其中的想法，這點如果老師一點撥可能就非常重要，如果自學就要走許多彎路。
舉一個簡單的例子 Snake Lemma，如果用追圖法證明，你把證明按步驟看一遍實際上和沒看一樣...這時如果有個老師告訴你到底什麼是追圖，映射如何得到，怎樣驗證定義合理，這才能明白定理在說什麼。 但實際上，就算明白了證明，「這並沒有什麼卵用」。在實際應用中，snake lemma直接拿來用就好了...這個定理的證明「一生做一遍」就好（實際還有下一句「因為我是老師，所以我每年講課都要證一遍」，某老師語錄。另外很多涉及Zorn引理的證明，證一遍就好，記住結論要重要的多）
當然在這個例子中，證明snake lemma還有一個強大的方法，實際上這個方法可以應用在很多需要追圖的地方，就是譜序列大法！詳情請參考Vakil的代數幾何講義大一大二新生的話，還是踏踏實實，密密麻麻推導定理為好。有時候寧可少自學一些定理，也要牢記基本定理證明推導。畢竟大一大二時期大小考試特別多，學分還特別高。你要是身處於名校，稍微失誤幾次，排名不知道被擠到哪裡去了。
我曾經見過兩類人，雖然不同，但結局差不多，希望新生引以為鑒。
第一類人：很有見解和水平，但不重視學習細節，跳步頻繁。大家公認這類人水平很高，但成績卻不相匹配，結果很遺憾。第二類人：想學大神的招法，無奈天資不行，結果東施效顰，掛了。註：包括打遊戲和考高分。大三甚至研究僧等，很多課程比較深了，記住所有定理證明細節幾乎不可能，學神也做不到。根據我對少數學霸的觀察，除了定理條件和結論外，對於定理證明一般記證明框架。相信只要給她們時間，應該可以把技術細節補充完整。因為證明框架一般就幾句話，或者幾個等式，圖形，箭頭之類的，這時候就別偷懶了，用筆記在日記本上應該不太費時間。
這裡推薦數學系學霸藍明月的證明框架「傲嬌三步法」。對於一個數學證明記住最關鍵的三步或三句話。
下面舉出三個微小的栗子（框架見標記）。
例子一，下圖這個例子是2016丘賽初賽分析試卷第一題加強版的證明。1.兩個關鍵控制函數H和M的構造。2.連續函數取上確界sup技巧（這一招非常實用）。3.絕對連續性質。
例子二，下圖例子是雅可比橢圓正弦函數加法公式。
1.轉化為解PDE。2.經典技巧：特徵線法。3.證明兩邊函數為恆等式。
我大一的時候經常回憶定理的證明，但是現在發現這其實沒用。我回憶過的大多數證明都忘記了，除了考試從未用上過。而當你開始讀研究生，過了qualify（不一定有），這輩子的考試就算到頭了。這時候你十幾年的考試成績就全部作廢了，你找工作的時候總不能用考試成績來充當論文吧？至於現在，做研究太忙，不是要想問題就是要學新東西，根本沒時間回憶證明。現在我學會一個東西也比過去要快，因為周圍有人給你講，再加上自己經驗豐富，所以很快就知道要點在哪裡。
學東西一定要知道要點是什麼，這個要點是理解上的要點，不一定是證明上的。準確來說，把一個東西想通了，證明就不重要，而這個東西在整體理論框架下的位置，和其他理論的聯繫是重要的。假如你對這些大圖景很清楚，那麼用到的時候臨時學也是很快的。我所認為的做學問踏實也就是說當你用到一個東西的時候一定要把細節學明白了，不要半懂不懂就急著下結論，這樣容易出錯。
即使是有些證明比較重要，需要知道的也就是證明的要點。一旦證明的要點清楚，對做研究就沒有影響了。實在回憶不起來，就找個reference看一看。現在是網路時代，能上Google就足以自學不少數學，Smale大概在十幾年前就說，要用網路而不是紙和筆來學數學。找reference的技巧比什麼算工，基礎紮實之類的重要多了。有些人就是不會找reference，結果吃大虧。其實數學上有些東西是你想破頭都想不出來的，這時候找到正確的reference至少是可以給你相關的啟發，有時候甚至直接把問題解決了，何樂而不為？至於說計算能力，就更加是低級技能。我15年底在韓國參加一個winter school，當時Ekholm和Oh這兩個辛幾何界的專家想了半天還是把的Taylor展開給寫錯了，我覺得沒什麼大不了。我還知道這個Taylor展開怎麼寫只是說明我做研究的年限還不夠長。現在可以用Python編程，一些複雜的組合數學計算用編程比你所謂的基礎紮實算起來高效得多。說實話，有些人刷了幾萬道題，積累了一輩子的所謂基礎，就是為後半生當個平庸的教書匠準備的。誰的悲哀？
這就是為什麼有時候我見到某些人數學學得苦大仇深，一副拚老命的樣子，整天在那裡吭哧吭哧，算啊算，我就知道這個人不行。不少厲害的數學家都很靈巧，不是那種專門挑繁重的體力勞動做的，而是能夠既避免那些吃力不討好的體力勞動，又獲得深刻有趣的結果，而把剩下的體力工作留給那些笨拙的人，而中國人往往就會去充當這個笨拙的角色。我實在想不通，為什麼我們不能來引領潮流呢？為什麼大多數中國數學家都只能以follow別人，解決問題來成名，而不是為數學引入自己的想法，烙上自己的印記？我很欣賞的辛幾何學家Ivan Smith，他沒有一個工作是特別困難的，有些文章的證明甚至還比較簡單，你覺得自己也能做，可是你沒有他那種學問，也就不會有類似的想法。我看了他的文章就覺得有趣，就想去發展他的工作，這就是好的數學，儘管可能技術和證明在他的數學裡占的比重並不多。不只是我欣賞Smith的數學，現代辛幾何的創始人之一，Salamon也很欣賞，可見我的審美並沒有錯。
在我看來，數學更傾向於是構建性的。先利用幾何直覺和對整體理論圖景的理解確認自己認為是正確並且有意思的問題，然後還是憑著自己對這個圖景里每個理論所處位置的了解想明白要證明所希望的結果，每一步大概用什麼。然後就是能找reference的就去看reference，reference上沒有的，或者雖然有，但是generality不夠的，再自己做些工作把它們做出來或者是推廣。這就有了把所有觀察和直覺嚴格化所需要的零件，一篇文章就基本完成了。再加幾個例子潤色一下就更完整。
許多人一直推崇什麼刷題啊這些笨辦法，這是幾十年前人們資源不足時的產物。做題適可而止，大家相互攀比誰做的題多更是無聊的。尤其是那種基本的題目，你都會做了，還浪費那個時間去刷它們幹嘛？這樣效率太低了。我想你要是想進步就得做一些自己不會的題。謝邀，恰恰相反，很多定理我都是用了很久，才覺得有必要啃一啃證明，而且啃完第二天說不定就忘了……
理想情況下看一個定理一般分五步
知道這個定理在說什麼——知道這個定理有什麼容易驗證的例子——知道這個定理不平凡的地方——理解證明用了什麼技術——知道這個定理在整體的框架下的位置
大多數時候第一步就已經吐血了好嗎。。。難道你們都能背過全部的定理嗎？
想不起來的時候都是要在考場上證啊.題注的大方向一點沒錯——大一時知識體系才剛剛建立，拿出一點強迫症，建立得嚴密無縫是很有必要的。
當然在方法上題主這個強迫症有些過度了。我一直是有這種強迫症的，來分享下當時我解決這個問題的辦法：用一本本子整理定理，包括很直覺很好用的小結論。一條條地推定理，推理過程只能引用這本本子已經推過的結論。可以是根據自己的理解整理，也可以就是抄書，不過一個定理抄進去前要保證你能完全理解並信得過它。之後就fully trust這本本子，要想到用一個fact時只要本子里有就儘管拿去用，不用多想。事後要是覺得哪裡不太對勁就再用本子過一遍它的證明脈絡。
現在雖然覺得這種強迫症在研究中很不好，但我依然堅持認為，本科大三以前都要有這樣的強迫症。經歷了這樣的步驟以後，你能在解題中更大膽的創造性的使用定理，因為你已經對其嚴格性有把握了。
「理解要執行，不理解也要執行，在執行中加深理解。」——這是我曾聽過的香港一數學教育研究者在一次演講中曾引述林彪的話來解釋數學學習心理。
說實話我連書上定理都記不全，我只是大概知道某處有某個結果，在某本書／某篇文章的某一節處可找到具體內容
我覺得這完全取決於個人風格，沒有好與不好的分別。我個人還是很推崇在拿不準的時候隨時回憶一下定理的證明的。
重複證明一個定理的意義，主要有兩點：
1. 讓人從直覺上更好地理解，接受這個定理。大部分情況下，一個定理在一定程度上是「反直覺」的；你並不會一眼就覺得這個定理特別的正確。但是，如果我們從直覺上並不很能接受這個定理，在遇到問題時就會很難想到要使用它。然而，在多次回顧證明的過程中，這個定理會漸漸被你的直覺所接受，習慣；在這之後，這個定理運用起來也就順手的多了。另外，回顧證明對於理解定理也有著不小的幫助。比如說，定理成立的條件為何必要，經常只能在證明中看出。同時，對於證明的記憶也比對於定理本身的記憶要robust的多。對於定理內容的記憶，如果出了一點差錯就毫無意義；但對於定理的證明，即使是相當模糊的印象也能幫你很快回憶起定理的正確內容。2. 讓人學習證明的方法與思路。這一點就顯然的多了。我的一位數學老師曾經說過，定理是最好的例題。證明的一些基本思路，以及某些常用的拆解問題的方法，都可以從一些定理的證明中學習到。這一點，對於像題主一樣剛剛接觸數學的人是非常重要的。有些定理的證明，更是能傳達出一些非常美妙的思想。例如素數定理(prime number theorem)，用複分析的方法解決數論問題，聯繫了代數和分析這兩個長期以來已經聯繫並不緊密的分支，讓人直觀的體驗到數學的整體性。（PS. 素數定理倒也是有初等證明的……但是感覺不如複分析的版本來得好。）當然，這決不是說我們有必要每次用到定理的時候都應該去回顧一遍完整的證明。如果只是機械的重複證明的話，就和純粹的浪費時間沒有什麼區別了。以及，如果說題主確實經常覺得心裡不踏實想要看一下定理的證明的話，比起全憑記憶或者查書，我更推薦嘗試著自己證一遍。實際上，學到後來你就會發現，大部分的小定理自己證一遍是比查書什麼的快得多的。而且，比起自己獨立嘗試證明，機械性的回憶也對於理解證明沒有多大幫助。和第一個答主zero類似。。。我基本上，是要用了很多次這些定理，覺得有必要的時候才會去複習這個定理的證明。當然對於一些特別的情況，比如說某些定理的證明方法具有一定代表性(就是說這種證明方法體現了一種重要的數學思想時)的這種證明，我還是會去仔細體會的，之後學會用這種證明方法去證明一些命題，我覺得這才是，學習證明的意義。。。。不過你能夠一遍又一遍的去看那些證明我也是覺得很佩服。像我就是一個比較懶的學生。。。。
最初學習數學，我也遇上這樣的困境。想要理解定理的證明，但是又無法在腦海中形成很好的認識。
我改變了策略，對大多數定理，我都略過其證明，在習題中練其應用。在經過許多練習以後，形成對其深刻的認識後，再回過頭來認真研習證明過程。這個時刻，證明就很好懂了。在腦海中整個體系都很清晰。
每門數學課，最好準備多幾套經典，進行對比的研讀。這樣收穫會很大的。習慣性回憶細節有時候會有意想不到的好處不過確實要到自己面臨一時查不到書的時候才能體會我最後一次體會這種好處也是快二十年前的事情了現在大家都有智慧型手機了這種好處應該會漸漸的消失（我猜的）那有沒有必要堅持的話就看您的心理素質了但是這個問題其實有點沒有意義也不是我們說沒有用你就不會去想的吧
我有時候也是這樣，在用某個定理的時候總會想這個定理是怎麼證的，不然用感覺用的有點不放心。。。
我確確實實一開始也有這種問題，但是學習了一段時間過後就沒了。或許是有的證明看著實在噁心或者太長以至於我不想再回憶一遍。我覺得你做題時不自覺回憶定理的證明其實沒有什麼浪費，因為你回憶次數多了會發現有的定理證明只要想起關鍵的步驟就好，根本花不了幾秒鐘。另外，一些習題的思路也是從定理的證明過程中來的。結論，不必太糾結，順其自然。
蘇步青高等數學學了七遍，而這一點他不僅不以為恥，還極其倡導。可以理解為一種路線之爭：快速接受與應用VS不斷加深理解。而後一種對於本門學科的學習與研究有很大幫助，其實對於很多課來說，第一次學總是學不好的，而對於學習者來說，多學幾遍就是唯一的辦法了，多回憶幾遍（七遍）就會以非常快地速度回憶出來。如果做不到，如果沒效果，那就很明確了：你不適合它。證明（更放屁地去說）：這源於人腦的特點，不斷地回憶（七遍），就會成為永久記憶（不同情景下哦），逼人親測，非常快。
難道回憶老師講的段子？
曾經高代課老師對我們說過：「你們目前學習的高等代數都是非常非常基礎的知識,我們引入這麼多新的定義和符號是方便我們更好的研究代數這門學科.就像你入一門專業就得學會說這裡的行話.你們有時候覺得這些定理的證明十分繁瑣,那時因為你沒有熟練的理解它,這本書是我編的,我上課也不看教材,從我的角度來看這些定理都是顯然的,你們用的多了也會和我有一樣的感受.」
我也是這樣的（′Д`）回答在最後，不想看我絮絮叨叨的直接下拉就好(*/ω＼*)
雖然我很想進但還是沒進數學系_(:_」∠)_
對我這種工科狗來說，數學只是一種工具會用就行，但我老覺著不會定理的證明就是沒掌握就是沒學會○|￣|_ =3
尤其是當老師只講運用的例題，學霸都覺得會用就行管它哪裡來的又是哪個天才想出來的定理（′Д`）
––––––––––––我是熱愛理科的工科狗分割線––––––––––––––––––
因為不是數學系，所以我這枚渣渣實在不太敢在各路大神面前班門弄斧（′Д`）就是說說我這枚渣渣的感受
從小學入門開始，初等數學的架構是一點一點建立起來的。我不是一個會學習的人，因為特別不會總結，找不到重點（′Д`）但是還好，我腦洞比較大。中學的數學課沒聽過，做作業發現不會了就翻書。課本內容淺，但是它全呀！數學有了一開始的基礎，後面的知識都是可以推倒出來的。所以我中學的數學都是建立在『會從以前的知識推倒→就會定理→應用神馬的就根本不成問題』上的，學競賽也是一樣的，知道你學的這些東西是從哪裡來的，就會覺得腦子裡特別清楚。
但！是！大學數學不一樣啊
━┳━ ━┳━另起爐灶的感覺。尤其是定理的證明比定理的運用要難得多，考試還對定理的證明沒有要求的時候，我就覺得我什麼都學不會考試也沒有信心啊_(:_」∠)_題主，作為一枚渣渣，我說不出什麼對你而言有價值的內容。┑(￣Д ￣)┍對我自身的學習情況而言，學霸說你又不是學數學分析的搞這個一點用都沒有的時候，我才知道原來大家學數學都是不問原因只求會用的啊T^T
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在你學習或者複習時，抓住重點，了解定理的證明是否作為測試點。如果不是，就請跟我念！會用就好！會用就好！會用就好！會用就好！其他都是浮雲(￣ε(#￣)☆╰╮o(￣皿￣///)
當然想要精通數學，搞懂證明是一件好事情，但！是！每次都要回想最複雜的證明多為難自己呀┑(￣Д ￣)┍
——————————————————對我而言，我需要改掉我的學習方式來適應大學數學。但是我還是很感謝中學時代能掌握一個完整的知識體系，學數學學的異常輕鬆，給了我非常大的自信。【雖然不是永遠第一的成績，但是我那時真的從沒刻意花過時間在數學上_(:_」∠)_包括課堂_(:_」∠)_】
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