怎樣理解透鏡的傅里葉變換作用？

01-08

利用透鏡前後焦面上光場分布互為傅里葉變換的關係，可以分析各種圖像的空間頻譜，並對圖像進行識別和分類。
該怎麼理解第一句話，光場分布不都是在空間域的么，又沒有空間頻率域，怎麼就互為傅里葉變換了？

首先，光的傳播會有衍射，滿足菲涅耳衍射就是要光場乘以一個球面函數再傅里葉變換，然後透鏡對波前的相位調製正好滿足球面函數，兩個正好抵消掉了，就變成直接光場的傅里葉變換了。（具體式子忘了，參見信息光學）

首先的首先，傅里葉變換是一個數學工具。數學裡面可以這麼理解，就是所有的信號都可以變成正弦函數的疊加。具體到光學系統，從物理圖像可以這麼理解，就是把一個入射光波變成不同頻率的單色平面波的線性組合（即角譜理論，如果你知道單色平面波的數學表達式）。

然後，首先，你可以把滿足一定條件的光學系統當成線性系統，既然這樣，就可以利用信號與系統裡面的一系列處理方法來處理光學問題，如脈衝響應和傳遞函數。

其次，衍射問題可以從基爾霍夫理論和角譜理論出發，可以分別看成是衍射的球面波理論和平面波理論。從基爾霍夫理論出發得到的就是光學系統的脈衝響應，即點光源經光學系統後的光強分布。角譜理論得到的是系統的傳遞函數，即頻率域的傳遞函數。理論上這兩種理論得到的結果是相同的，但其實這兩種理論的適用範圍是不同的，跟目標面距離光學系統的距離有關。

中間的數學推導就不陳述了，詳見呂乃光《傅里葉光學》一書。

那麼我們怎麼理解「利用透鏡前後焦面上光場分布互為傅里葉變換的關係」這句話呢，考慮最簡單的情況，光場入射小透鏡，根據菲涅爾衍射公式，可以得到，U（xo,yo）=A*exp(j*k*(xo^2+yo^2)/2/f)*T（xo/lamda/f,yo/lamda/f），xo,yo為後焦面坐標，xi,yi為入射面坐標，f為焦距，lamda為波長。其中，T（xo/lamda/f,yo/lamda/f）是t（xi，yi）即入射光復振幅分布的傅里葉變換。

我們知道將t(xi,yi)進行傅里葉變換後，得到的結果是是對應不同單色波（不同頻率fx,fy）的復振幅大小。由數學推導我們可以看出，fx=xo/lamda/f, 即後焦面上不同坐標的光強分布，對應著入射光波分解成的不同頻率單色光波的功率，即功率譜。就相當於對入射光進行了傅里葉變換。

其實我個人理解，還是兩個問題最關鍵，首先光場可以分解成單色平面光波組合，不同的單色平面光具有不同係數，即復振幅。純粹數學的傅里葉變換就有了物理意義（平面波的數學表達式和福傅里葉變換中的指數因子形式一樣是關鍵）。其次，是明白後焦面上位置坐標和頻率的一一對應的。

記憶略遙遠，可能有錯誤。希望能幫到你。

傅里葉變換本質上只是一種數學計算的方法罷了，單純的因為便於計算，沒別的。

將一個沒什麼規律的波用好多好多正餘弦波疊加來近似，恩，就醬。

沒有那麼複雜，能夠明白（正）透鏡可以將平行光線匯聚在焦面上一點即可。平行光線不一定是平行於光軸（垂直於透鏡）的。因此不同方向的（平行）光線匯聚在不同點，效果和傅里葉變換一樣。

14年的提問，現在才看到這題。妥妥的考試題。

今天先佔坑，過兩天慢慢把圖和公式推導打進來。拖延症晚期還不知怎麼弄呢

首先先說一下你的第一個問題，當然也沒解決完。這裡對光的傳播分析的時候是考慮波前傳播。最簡單的形式，有振幅，有相位。形式如下面所示。

$U_{1} (x,y)=A imes exp[iast varphi_{1}(x,y) ]$ (Eq. 1)

後面的過段時間再寫- -累死剛在紙上推導一遍主要是考察後焦面上場的分布並且考慮物的位置

簡言之，透鏡如果作為成像工具的話，在像平面考察光波分布。

如果把透鏡作為傅里葉變換工具的話，在焦平面考察光波分布。

首先的首先，

具有空間頻率域！

空間濾波（spatial filtering）示意圖：

物平面--透鏡--焦平面--透鏡--像平面

焦平面又被稱為傅立葉變換平面。

光傳播方向為z，透鏡上xy平面，在焦平面上，定義

u=2πx/ λ f,v=2πy/ λ f

焦平面上的光強分布恰好形式上與二維傅立葉變換一致，所以有了空間濾波。

具體而言，

如果物平面上，是一個正弦曲線的光(光強分布呈正弦g(x,y)=g0cos(wx))，則在焦平面上會是兩個點(u=±w)。

這裡的傅立葉變換，指數學意義上，即根據薄透鏡的位相變換作用和菲涅爾衍射公式，計算出透鏡後焦平面上的光場分布在數學形式上可以看成對前焦面上光場作傅立葉變換得到的。

菲涅爾衍射和夫朗和費衍射的區別在於菲涅爾比夫朗和費衍射多了一個相位因子，薄透鏡的作用就剛好消除了這個相位因子，這樣在近距離就可以看到夫朗和費衍射，而夫朗和費衍射公式表現為對光場的傅立葉變換。

假設光軸沿z方向，那麼對一束空間分布可能非常複雜的單色光進行空間傅里葉變換以後，空間頻率分量為(kx,ky)的部分對應的就是一束波矢為（kx,ky）的平行光束，假設波數為k0,那麼這一平行光束經過焦距為f透鏡以後會在焦平面匯聚到同一個點(fkx/k0，fky/k0)，因此焦平面上(fkx/k0，fky/k0)處的亮暗程度就反映了入射光裡面空間頻率為(kx,ky)的成分的強弱。空間頻率或者波矢只寫(kx,ky)是因為kz自動確定，kz=(k0^2-kx^2-ky^2)^0.5。

透鏡把不同空間頻率的成分匯聚到焦平面上不同的點，使得我們只要經過一段很短的距離就能看到光的各個空間頻率成分的強弱，不然要在「無窮遠處」才能看到。

簡單來說，光學透鏡，焦平面的像與後像平面的像滿足傅里葉變換關係。即焦平面像與實際物像滿足傅里葉變換關係。

因為在單色平面吧垂直照射衍射屏的情況下，夫琅和費衍射就是屏函數的傅里葉變換。對投射物體進行傅里葉變換運算的手段是實現它的夫琅和費衍射，而藉助匯聚透鏡可實現近距離觀察夫琅和費衍射