晶體里的自旋軌道耦合強度與哪些因素有關？

我們知道，原子的自旋軌道耦合強度與元素的序號的四次方成正比，而且正比於L.S。固體里的自旋軌道耦合是不是要複雜一些？請問（1）根據下面的公式，H正比於dU/dr（U為勢函數），那固體里的自旋軌道耦合是否與晶體的對稱性和電荷密度分布有關？

那同一種材料在不同對稱性下的自旋軌道耦合導致能帶劈裂就不同？加壓後，電荷密度增大，是否導致自旋軌道耦合變大？

（2）同一條能帶沿著不同方向的自旋軌道耦合導致的劈裂一樣大嗎？

固體裡面的自旋軌道耦合（SOC）有兩種：

1. 和對稱性無關的

存在於任何晶體。

2. 和對稱性相關的

沒有中心反演對稱性（no inversion symmetry），分兩種

1）. Dresselhaus type: intrinsic bulk induced assymetry

2）. Rashba type: surface induced asymetry

晶體同時具有時間反演對稱性time reversal和空間反演對稱性space inversion symmetry的時候，不同自旋的能帶在同一k和或（k，-k）點的能量是簡併的，破壞inversion symmetry後仍然有二重簡併（Kramer degeneracy），SOC並不破壞time reversal symmetry。在Rashba SOC裡面，SOC是和表面電勢的梯度，也就是電場成正比的。關於對稱性的影響，需要點群論的知識。不同對稱性下有效的Hamiltonian是不一樣的，以最簡單的C2v group為例，

可以把它拆分開來

從他們的Hamiltonian可知，Dresselhaus 和Rashba SOC可以共存，但所對應的spin texture完全不一樣，由此可用來區分這兩種effect。Rashba和Dresselhaus parameters也可以用DFT+GW+SOC去擬合，利用k dot p model就可以研究不同晶體體系（with different symmetry）內不同高對稱點的SOC了。

瀉藥。兩個概念要區分開1）soc的強度，2）soc導致的劈劽。

根據我為數不多的材料計算經驗，soc本身的強度幾乎只和原子種類有關，並且拿孤立原子的soc項直接帶入固體似乎總是一個不錯的近似。拿dft軟體來說，超軟贗勢一般就是直接用孤立原子的soc項；vasp的paw的soc雖然是自洽的，但是也是只考慮近原子核區域並且做球對稱近似，和孤立原子的差不了多少。

soc在固體中的效果（也即引起什麼樣的劈裂），就取決於晶體的對稱性了。如前面那位仁兄所答，在沒有空間反演的晶體里會導致一些簡併能帶劈劽。當沒有soc的時候，你可以簡單地認為兩種自旋就是把能帶double一下而已，此時能帶構成單群的表示。然而當考慮soc的時候，你不能簡單地用自旋把能帶分成兩套，此時兩種自旋合起來形成雙群的表示，這就會引起一些劈裂。具體是怎麼劈裂，取決於晶體場的群。確實存在你說得情況，沿兩個方向的劈裂情況不同，這是因為這兩個方向上的波矢群不同。

掌握這方面的知識需要學習一些群表示的理論及其在固體物理中的應用。

本人極度不願意打字

首先，不應該用這個公式，這個公式適用條件是勢場是中心勢場，比如原子產生的勢場。應該用化簡前的公式：Hsoc正比於。

當V是中心勢場時，就可以化簡成你寫的那個公式。

但對某些晶體，由於周圍原子的影響，V可能就不是中心對稱的了
。一般根據晶體對稱性或者外加電場分解到xyz方向上以化簡或分類討論，需注意的是自旋矢量的方向一般和xyz方向不同。

加壓的話，如果是單軸加壓，晶格在這方向上變化，繼而影響V；如果四面八方一起加壓，雖然V對稱性不變，但原子半徑減小，因為SOC是相對論效應，所以SOC增大（半徑變小，速度增大，相對論效應增強）。

第二個問題：取決於晶體材料，和晶體對稱性。具體問題具體分析。模型和理論也各種各樣。

都是寫H然後微擾論算

值得注意的是：波函數和能量滿足布洛赫定理，根據晶體點群還能把波函數具體一些。此外波函數一般分解成空間部分和自旋部分的乘積，再考慮到晶體對稱性（空間反演？及時間反演對稱性），可以得出自旋部分的對稱性質。

可以看看《磁學:從基礎知識到納米尺度超快動力學》

這個問題有兩問：

1）是的. SOC 與對稱性有關。直觀一點來看，如果體系沒有中心反演對稱，那麼SOC會破壞Kramers簡併，導致能級的退簡併。二維情況下這就是Rashba Effect.

2）你需要複習一下能帶的定義。如果要計算能帶結構，那麼要選取一定的路徑，一般我們會選取在布里淵區遍歷了所有高對稱性點的路徑，因為高對稱性點附近的電子結構往往是最有趣的。不同的高對稱性點，SOC帶來的能量shift會有些許不同。這裡你的問題描述有點Confused，你沒有講清楚不同的能帶代表什麼意思，是不同的路徑接近高對稱性點嗎？還是相同的路徑但是不同的能量？當然在這兩種情況下，能級的打開都會有些許的不一樣，這個我沒有仔細研究過，希望有高手來做解答。

最後：本著對關注著TL負責，我還是選擇用匿名回答，如果有錯誤歡迎在評論區討論。