關於固體物理中的能帶理論，在實空間中到底是以一種什麼樣的形式存在？

01-08

在各種書籍上，都表明了能帶在 k 空間中的分布，都畫出了簡約布里淵區中能帶隨k的分布情況，但是總覺得始終有點什麼沒有講清楚，請問在實空間中能帶表現為一種什麼形式，或者有沒有什麼簡明易懂的方法來理解能帶，而不是在感覺虛無縹緲的 k 空間中來解釋，當電子在能帶之間躍遷時，在實空間中是如何表現的

現在正在入固體物理的坑，強行來答一發，有錯的務必把我懟穿。

題主的問題事實上有三個：為什麼都用 $vec k$ 標記能帶而非 $vec r$ ？ $vec r$

空間中能帶的對應是什麼？電子在能帶間躍遷的實空間對應？

先來回顧一下固體物理，如果你對固體物理異常熟悉，建議還是看看，幫我找找錯誤：

所謂的 $k$ 空間，幾個答案都說的很對，但是為什麼要引入 $k$ 空間呢？在我看來，是因為固體物理常常設置了具有平移對稱性的勢場，即周期場近似，此時的 $vec r$ 不再單純的有著一個電子位矢的意義，僅僅在勢能依 $vec r$ 平均下才顯得有意義。

布洛赫定理對於周期性勢場 $[V(vec r - {vec R_n}) = V(vec r)]$ ，其中 $[{vec R_n}]$ 遍取所有格矢，單電子定態薛定諤方程 $[left[ {frac{{ - {hbar ^2}}}{{2m}}Delta + V(vec r)} ight]psi left( {vec r} ight) = varepsilon psi left( {vec r} ight)]$ 的解是按照格子的周期調幅的平面波： $[psi left( {vec r} ight) = {e^{ivec k cdot vec r}}{u_{vec k}}(vec r)]$

其中， $vec k$ 是一個參矢量，稱之為波矢，且 $[{u_{vec k}}(vec r + {vec R_n}) = {u_{vec k}}(vec r)]$ 。

或者說， $[psi left( {vec r + {{vec R}_n}} ight) = {e^{ivec k cdot {{vec R}_n}}}psi left( {vec r} ight)]$ 。這樣我們引入了 $vec k$ 空間。下面說說 $vec k$

空間和倒空間到底有什麼區別。

帶入周期性邊界條件，你可以馬上發現，許可的波矢分解到倒格子空間中的矢量基底非常方便。相差任意倒格矢 $vec G_n$ 的 $vec k$ 是等效的。下面注意區分倒空間和 $vec k$ 空間：

倒空間基矢量 $vec b_i$ 和正空間基矢量 $vec a_i$ 的關係： $[{vec b_i} cdot {vec a_j} = 2pi {delta _{ij}}]$

找到 $vec k$ 方便分解的基矢量：帶上述定理的解到周期性邊界條件 $[psi left( {vec r + {N_i}{{vec a}_i}} ight) = psi left( {vec r} ight)]$ 得到：

$[{e^{i{N_i}vec k cdot {{vec a}_i}}} = 1]$ 或者： $[vec k cdot {vec a_i} = frac{{2pi {l_i}}}{{{N_i}}}]$ ，對比上面倒空間的正交關係，得到： $[vec k = {l_1}frac{{{{vec b}_1}}}{{{N_1}}} + {l_2}frac{{{{vec b}_2}}}{{{N_2}}} + {l_3}frac{{{{vec b}_3}}}{{{N_3}}}]$

所以將 $vec k$ 分解到倒空間，是自然的,基矢只差一個常數倍，由具體的元胞個數決定。由於元胞個數很多 $N_i$ 非常大，所以 $vec k$

看起來就和連續一樣，方便作為坐標軸。

我們知道用參量標記波函數，就是標記定態薛定諤方程的本徵值。由於勢能是周期性的，將勢能傅里葉展開是分立的，布洛赫電子的能量本徵值應該由勢能分立指標 $vec n$ 和 $vec k$ 兩個參數標記，就不用對坐標 $vec r$ 有顯的依賴，至少現在看來是這樣的。

下面解釋進一步看看為什麼用 $k$ 標記能量，進一步標記能帶。

考慮一維弱周期勢能的傅里葉展開 $[V(x) = sumlimits_n {{V_n}{e^{i{lambda _n}x}}} ]$ 考察其周期性 $V(x+a)=V(x)$ ， $lambda_n=frac{2pi}{a}n$ ， $[{V_n} = frac{1}{a}int_{ - a/2}^{a/2} {V(x){e^{ - i{lambda _n}x}}dx} ]$ 。後面的一般的固體物理都講了，簡單回顧一下過程：第一項是平均勢能，取出它和對應的 $H_0$ ，剩下的 $V_n,(n e0 )$ 做一個非簡併微擾論到二階，得到：

$[Eleft( k ight) = frac{{{hbar ^2}{k^2}}}{{2m}} + sumlimits_{n,n e 0} {frac{{2m{{left| {{V_n}} ight|}^2}}}{{{hbar ^2}{k^2} - {hbar ^2}{{(k - {lambda _n})}^2}}}} ]$ 。我們看到能量不依賴坐標 $x$ 的形式簡單，意義明確。而x只在所謂的布洛赫電子的波函數中出現。

波函數就是：

$[{psi _k}(x) = {e^{ikx}}{u_k}(x) = A{e^{ikx}}left[ {1 + sumlimits_{n,n e 0} {frac{{2mV_n^dag {e^{ - i{lambda _n}x}}}}{{{hbar ^2}{k^2} - {hbar ^2}{{(k - lambda _n^2)}^2}}}} } ight]]$

這裡，由於 $k$

是准連續的，顯然會出現簡併點，就是分母為0的點。

下面看看能帶的產生。

我們和數學家不同之處在於，這裡我們會看看物理意義再去討論：

上面波函數的第一部分，是一個波矢為k的前進波，由於由勢能的存在，出現了第二部分，也就是散射波部分。

在k遠離 $[frac{{{lambda _n}}}{2}]$ 時，散射不強烈，波函數主要由第一項決定；在 $[k o frac{{{lambda _n}}}{2}]$ 時，散射強烈。為什麼會散射強烈？注意到入射波波矢是 $k$ ，反射波波矢是- $lambda _n$ ,而當 $2a=nfrac{2pi}{k}$ 時，第一個格點散射的波和第二個格點的散射波波程差為 $2a$ ,第一個和第三個波程差是 $4a$ ....以此類推，相位差都是 $2pi$ 的整數倍，散射波峰疊加，就炸了。而顯然，物理上這樣的情況是不存在的，只能是我們的微擾論錯了。

進一步利用簡單並微擾論，由上面的靈感，零級波函數就取入射波反射波的疊加，得到：

$[E = {T_n} pm {V_n}]$ 具體的值自己算算。

這時候，能級劈裂成了兩部分，一部分低於 $T_n$ ，一部分高於他。

也就是：能帶的產生是一個量子效應，由於弱周期勢能對波函數散射，導致有一些能量本徵值是不可取的。

上圖體現了能量對k的周期性；

下圖體現了能量對k的二次依賴性，未畫出等效的部分。兩個圖講的一個故事。

總結：波矢基矢量好取；能量本徵值對波矢的依賴明顯，主要是物理意義豐富，而 $vec r$ 的意義在平均的周期勢下不明顯。

現在，我們考慮電子的躍遷。事實上，在理解固體物理之後，我不再認為你所謂的『實電子』是客觀實在的，反而認為能帶論中的『電子』是客觀實在的。

一般來說，我們這裡所稱的電子，是布洛赫電子的簡稱。也就是我們把一個約化過的方程代表的運動看做一個準粒子的運動。布洛赫電子的色散關係，也就是所謂的能帶圖，形成了一個個能帶。現在，由於固體中實電子的粒子數是固定的，變換到 $vec k$ 空間下，我們的布洛赫電子的激發個數也是固定的--這意味著電子只能佔有有限條帶。現在，由於多個粒子的存在，統計熱激發也是必須的，因為熱激發或者額外勢場的激發，布洛赫電子從一個能帶『遂穿』到另一個帶也是可能的。實空間的具體表現就可以想像成一個電子從綠色變成了紅色。

圖1、3取自《固體物理基礎》（閻守勝）

圖2取自《固體物理教程》（王矜奉）

看了一下現有的回答都是些學物理的朋友。這種時候就要一些做半導體器件的觀點。

首先簡單解釋一下給定 $k$ 在實空間是什麼:

通常的能帶模型處理的是無限大的理想晶體, 於是晶格背景是有離散的平移對稱性的. 對稱性導致守恆量, 或者說靜態波函數的量子數, 定義為 $k$ . 而正是因為空間的對稱性, $k$ 空間中的一個點在實空間中都是非局域的, 換句話說就是整個實空間中各個位置的疊加態. 這種描述在真空電子也是一樣的: 真空中電子波函數的平面波解.

但我想說的是, 在實空間看能帶是半導體器件領域經常做的事。主要是繼承了固體物理學模型當中的四個參數：導帶底的能量（電子親和能），有效質量，帶隙以及費米能。對於無限大均勻晶體，這種觀點幾乎是trivial的，但不同半導體材料有組合接觸的時候，這些參數都是實空間的函數，於是就有價值了：導帶底變成了等效的勢能，有效質量就是質量，費米能描述電子分布/濃度。這麼做的圖像也很清晰：在比較大的尺度下，溫度不太高，導帶電子濃度（價帶空穴濃度）不太高的時候，有效質量近似下布洛赫電子（空穴）的行為和實際粒子幾乎是一樣的。這也是為什麼會把它們稱為準粒子。

當然這麼做是一種近似。在小尺度下連續化的處理能帶是會有問題的。但對有效質量等參數做一些修正之後，實際上十幾個晶格原子尺度上效果都很好。

當然在更高的觀點來看，真空的電子/反電子和晶體里一樣都是基態上的激發。某些答主說要用二次量子化，其實也就是描述這件事罷了。但我個人不喜歡什麼事都跑到更基礎的觀點上去看。有些同學滿足於真空中的球形雞，不妨請各位解釋下二次量子化怎麼處理pn節。

(以下圖片來自網路...)

平衡態的 PN 節能帶圖

P 型 (N 型) 半導體在固體物理的觀點看就是通過摻雜使費米面靠近價帶 (導帶). 兩者的接觸面上由於費米面要能量差, 會發生載流子遷移, 建立內部電場, 從而使得能帶彎曲, 形成上圖的 "能帶" 圖, 其中 $E_c$ 是導帶底, $E_v$ 是價帶頂, $E_i$ 是本徵費米能, 即不參雜時的費米能, $E_F$ 是實際的費米能. 左側是 P 型半導體, 右側是 N 型.

穩態 (非平衡) 的 PN 節能帶示意

而當 PN 節上有正向電壓時, 電子在導帶內和價帶內的弛豫時間顯著小於電子遷移的特徵時間, 但電子-空穴的平衡 (跨能帶躍遷, interband transition) 的弛豫時間則並不是. 而費米能是定義在熱平衡的基礎上的. 這種情況下導帶和價帶各自有準費米能級 (WiKi 上有個好看的動圖), 即上圖中間的四邊形部分. 這意味著躍遷一直在發生, 同時電子也一直在遷移.

MOSFET (金屬-氧化物-半導體場效應管) 的能帶圖

上圖中金屬的費米能在導帶中間. 前面說過討論的都是電子濃度不太大, 溫度不太高的低能情況, 所以金屬的導帶頂和導帶底的影響忽略了. 中間的氧化物實際上就是帶隙足夠大, 導帶上和價帶上都幾乎沒有載流子.

量子級聯激光器導帶和躍遷示意

量子級聯激光器的基本原理就是通過多個不同導帶能量的材料交替, 形成一些量子阱, 量子阱中的能級在三維上形成了一些亞能帶 (subband), 這些亞能帶間的躍遷發光.

不知道為何有人說需要二次量子化、卷積什麼的才能理解能帶論。好好回憶一下自己是怎麼學到能帶論的吧。

0基礎入門能帶論：

R. Hoffmann，Solids and Surfaces, a chemist"s view of bonding in extended structures

後續：

Dronskowski, Computational Chemistry of Solid State Materials

根據Ben Simons的思想，

《凝聚態場論第2版》 Alexander Altland(A.阿爾特蘭), Ben Simons(B.西蒙斯)【摘要書評試讀】圖書

1個氫原子1個電子，1個佔據軌道；

2個氫原子形成氫分子，2個簡併能級的佔據軌道發生相互作用發生能級分裂，1個成鍵軌道（兩個簡併能級的原子軌道，因為原子間距離接近，發生相互作用，形成兩個分子軌道。能量降低的那個軌道稱成鍵軌道）1個反鍵軌道（orbital interaction之後能量升高的那個軌道）；

4個氫原子，會有2個成鍵軌道2個反鍵軌道，成鍵軌道的標號可記為1、2，能級為 $E_1$ 、 $E_2$

$10^{23}$ 個氫原子，會有一半成鍵軌道一半反鍵軌道，

標號可記為1、2、 $……$ 、 $k_i$ 、 $……$ 、 $frac{10^{23}}{2}$ ，

這軌道如此之多，可以視為連續變化的。能級標記將變為 $E(k)$ 。

另一半非佔據軌道跟一半佔據軌道之間能量差很大，有一個gap，就是帶隙。

對應到氫分子，就是HOMO和LUMO軌道之間的能量差。

能帶圖上，即使屬於同一條能帶，任意相鄰兩k點之間的能量變化都屬於電子受激發越遷。下邊放兩張Hoffmann的圖感受一下。

首先，能帶理論描述的是布洛赫電子，和實空間的電子不是一回事。

如果非要說布洛赫電子在實空間是什麼樣子的話，大概是一團均勻分布的布洛赫電子云。而且躍遷前後根本看不出什麼區別，都是一大團均勻的布洛赫電子云。。

如果用實空間的電子來描述的話，按照緊束縛近似（只有在這個近似下我們才能說實空間的電子）及最近鄰躍遷條件，就是從一個原子軌道躍遷到另一個原子軌道。帶內躍遷是從一個原子的原子軌道躍遷到近鄰的另一個原子的相同指標的原子軌道，帶間躍遷則是躍遷到不同指標的原子軌道。

最後一個建議，學習能帶理論，最好會一點二次量子化。從二次量子化的角度看能帶就很清楚了。

背後是個傅立葉空間變換。k空間並非虛無縹緲。而是實在空間的傅立葉空間變化。

那麼什麼是傅立葉空間變換呢？你可以看一下。阿里公司通過截圖查員工的方法那篇文章。傅立葉變換與逆變換，就是，在時域和頻域兩個空間相互轉換信號。

另外，你的提問讓我看到了一絲偽化生專業失敗人士的思考方式。ECE專業的數學要求不可能不知道什麼是FT吧？閣下是學材料的么？當然半導體不算偽化生。

看到這個問題，想起來可以試試從布洛赫振蕩的物理意義來理解：

考慮固體中的電子受到一個恆定的力，例如電場，會得到下列的方程：

$hbar frac{dk}{dt} =F$

注意這裡描述的是在k空間中的運動。

由於k空間的周期性，儘管粒子在k空間中一直運動，但是它的能量是周期變化的（假設擾動不大，粒子始終保持在一條能帶中），這對應著實空間中粒子來回震蕩。

更具體點，舉例來說，當你對一塊固體材料加上一個不太大的電場時，電子不會被一直加速，而是在一個平衡位置來回震蕩。

這樣看是不是更好理解了呢？

我想樓主的困惑是為啥我們必須在k空間看能量，對吧。實空間是什麼？

你想一個經典的問題，一個質點不受任何作用，那麼一定是勻速直線運動，那麼它的能量跟坐標啥關係？沒關係，能量只取決於動量。

類似的，布洛赫電子能量只取決於k，所以你說在實空間怎麼看，如果只看能量，類似於上面的問題，沒法兒看。

這就像我告訴你在不脫光的情況下，男女之別只能看基因。你非要根據頭髮長短來區分，沒關係的。

這不是說我們在實空間就不能看點兒什麼，可以看看密度之類的，但是你非要在實空間看能量，那什麼都看不出來。

其實能帶是在k空間中得以反映的，而k空間是由正格子經過FT得到的。正如在信號分析中，我們沒法指出時域波形中的某個點對應到頻譜上的某個點，這麼分析意義不大。不過從相似的角度來思考的話，正格子中的「能帶」或者說能量狀態的體現，是否可以理解為k空間中一個布區內諸多狀態的疊加，正如信號一樣。此回答的後半段是我想的沒什麼根據哈，我也糾結過，但我老師說一味把k空間和實際空間揉起來會掉溝里。

我覺得題主可能是沒有理解k空間是什麼。

所謂倒空間/k空間/波矢空間，本質是正空間/坐標空間/實空間中的周期性晶格格點的空間傅立葉變換得到的倒空間，理解了數學本質那麼物理概念應該也很清楚了。

為什麼要做這麼一個空間傅立葉變換呢？主要是這一假設對於理解晶體的空間和結構提供了方便。作一個不太恰當的類比，我們在信號與系統中為了研究信號的特性，正是通過時域-頻域傅立葉變換將信號從時域變到了頻域，也就有點像我們這裡的正空間和倒空間，以此來解決一些工程上的問題。

注意到上面的時域頻域的變化單位從時間的單位 $s$ 變為頻率的單位 $Hz$ ，這兩個單位互為倒數。

而正空間與倒空間的範圍分別是長度的單位 $m$ 和波矢的單位 $m^{-1}$ ，也是互為倒數。

正如描述行波的達朗貝爾解 $Acos(omega t-kx)$ ,三維情況下是 $Ae^{i(omega t-vec{k} cdotvec{r})}$ (這裡的k和r是波矢和位置矢量,所以是點積)。

比如晶面之間的距離這樣一個三維問題，放在倒空間中就簡化成兩個向量間距離的問題。

再比如研究電子輸運過程中，在波矢空間內利用費米面進行研究是一個很好的理論。

簡而言之就是由於晶體整體的周期性分布，這樣做有助於研究物理現象。

不過似乎有著更本質的關係,大意似乎是正空間與倒空間是一個對偶空間的關係，可能會與微分流形的內容相關，由於沒有學過所以想請教一下@學習ing 。

(來自wikipedia，reciprocal lattice)

There are actually two versions in mathematics of the abstract dual lattice concept, for a given latticeL in a real vector spaceV, of finite dimension.

The first, which generalises directly the reciprocal lattice construction, uses Fourier analysis. It may be stated simply in terms of Pontryagin duality. The dual groupV^ to V is again a real vector space, and its closed subgroup L^ dual to L turns out to be a lattice in V^. Therefore L^ is the natural candidate fordual lattice, in a different vector space (of the same dimension).

The other aspect is seen in the presence of aquadratic formQ on V; if it is non-degenerateit allows an identification of the dual spaceV. it depends on a choice of Haar measure (volume element) on V. But given an identification of the two, which is in any casewell-defined up to a scalar, the presence of Qallows one to speak to the dual lattice to Lwhile staying within V.

其實作為學過半年固體物理的材料人來說

我真的沒看懂雖然考了90分

一本書講的什麼薛定諤我真的蒙了

不過我現在來看的話我更覺得能帶理論有點像概率學問題了

感覺上面的回答者也沒有切中問題的要害。首先在固體中，電子的能級和孤立原子的核外的價電子有何不同？一般認為孤立原子的價電子具有分立的能級（氫原子），當我們把原子放在一起時，這些價電子不能再完全呆在一個原子周圍，而是有一定的幾率跳躍到相鄰原子上，這種環境的改變使得分立的原子能級劈裂成能帶。

至於為什麼要在K空間中表示？原子的能帶最終與固體里的每個原子都相關，而固體本身具有完美的周期性。我們不能在實空間中畫出所有原子，但在K空間中一個布里淵曲就能把整個晶體囊括在其中，一個晶向能代表一組晶面。這給問題帶來了極大的方便。

我覺得答主問這個問題並不是想看多少公式來描述這個關係，其實你可以用一個簡單的概念來理解。

首先能帶理論，是基於理想的三維周期排列的晶格建立起來的，然後實空間是用r描述的，而晶格中這些共有化的電子你不可能很精確的描述每個電子的位置動量等數據，我們關心的往往是能量E這種數據，而且我們不需要知道某個電子具體處於哪個能量狀態，我們只需要知道，有多少電子處於哪個能量狀態，所以要想其他辦法。

另外還有一點明確的就是，可以想像一下，不同的晶格排布，晶格之間的距離也會影響這些共有化電子的狀態。

所以，引入k空間的概念，可以想像這種描述的目的就是為了讓你來定量描述晶格排布的不同對共有化電子的影響，也就是所謂的倒格子。其實，k空間的目的就是方便你對應實際的晶格排列和共有化電子狀態的關係。

當然，這麼去理解k空間，僅僅是局限在能帶理論這一範圍。k空間也不憑空而來，懂傅里葉變換就知道，這種倒格子的變換，其實就是對實空間的一種傅里葉變換。信號裡面，對信號的描述，有時域和頻域兩種，而這兩者之間就是通過傅里葉變換對應。所以其實為了對應共有化電子能量和實空間晶格排布的關係，也是通過一種傅里葉變換。

這樣一來就能理解為啥要引入倒格子。也不會去問能帶在實空間是怎麼描述這種問題了。