pi介子質量不為0該如何理解？

01-08

想了解對稱性和質量那一套，比如規範對稱性保護了規範玻色子質量為0 手征對稱性會保護費米子質量為0 之類的，那麼在pi介子的例子中對稱性扮演了什麼樣的角色？

QCD複雜的真空存在夸克凝聚，導致手征對稱性自發破缺，根據金石定理(Goldstone Theorem)，存在零質量金石玻色子(Goldstone Boson)。該粒子被認證為派介子。

當存在夸克質量項時，夸克凝聚仍然存在（上圖）。但質量項會顯式破缺手征對稱性。其與自發對稱性的破缺之互動，嚴格地遵循蓋爾曼-歐克斯-瑞納關係，又叫雞毛關係 (GMOR relation)。其中左手項為派介子質量平方，右手最後一項是派介子衰變常數，大致為其波函數在零點的振幅。

該關係表明：

1. 在手征極限下（零夸克質量極限下），派介子質量與其衰變常數之乘積必為零。由於金石定理要求必須存在零質量金石玻色子（基態派介子），其衰變常數不必為零。實驗測得約合92 兆電子伏。然而，派介子之激發態質量不必為零，但其衰變常數必為零。格點模擬、戴森-施溫格-貝塔-掃彼特建模、手征微擾論三重計算以為然。

派介子家族之特性，無法通過兩體束縛態的勢模型得到，除了引入大量參數並細調出來以外。

2. 由此出發，以夸克質量（與QCD特徵標度之比）作小量展開，發展出所謂的手征微擾論。

3. 自發手征對稱性破缺無法由微擾論得到。其關鍵在於手征極限下任意有限階微擾圈圖無法產生非零質量。

4. 手征對稱性破缺與色緊閉的關係並不明確。雖然一般認為，強耦合為其充分條件。

有趣的是，一派觀點認為，由於色緊閉，夸克凝聚僅存在於強子中。

5. 夸克凝聚（如雞毛關係）意味著，強子乃至物質的大部分質量來自強相互作用（夸克凝聚），而非上帝粒子希格斯（希格斯場的凝聚）。

pi介子是由於手征SU(2)對稱性破缺導致的Goldstone玻色子。如果破缺之前這個對稱性是嚴格的，那麼pi介子就是沒有質量的。但這個手征對稱性是近似的，所以pi介子有質量。

在粒子物理學中，pi介子有兩重身份：

(1)夸克-反夸克的兩體束縛態，

(2)手征對稱性的動力學自發破缺產生的Goldstone玻色子。

要理解pi介子的這兩重身份，還得從量子色動力學(QCD)的Lagrangian以及手征的對稱性談起。

一、手征對稱性與手征對稱性自發破缺

當系統的作用量在某一變換T下保持不變，我們就說理論具有T的對稱性。

對於無質量夸克的QCD的Lagrangian是

$mathcal{L}_{QCD}=arpsi_i(igamma^mu D_mu)_{ij} psi_j -frac{1}{4}G^a_{mu u} {G^a}^{mu u}$

QCD作用量在手征變換下：

$psi longrightarrow e^{ialphagamma_5} psi$

是保持不變的。事實上，若將 $psi$ 四分量場寫成，兩個二分量，即 $psi=(psi_L,psi_R)$ ，則手征變換，就是 $psi_L$ 與 $psi_R$ 場的二維空間的旋轉變換，即左手場與右手場之間的變換。另外，夸克的質量項 $marpsi psi$ 在手征變換下，不能保持作用量不變。也就是說，非零的質量會破壞手征對稱性。

在微擾量子場論中，對於無質量的費米子，有限階的微擾計算都不會對費米子質量有修正。也就是說，理論的手征對稱性不會因為相互作用而受到破壞。然而，我們知道，QCD在低能量區域的相互作用很強，微擾理論是不適用的。事實上，當相互作用足夠強之後，會發生一個叫動力學手征對稱性自發破缺的現象，也就是說系統的對稱性因為相互作用而遭到了破壞。

目前，微擾量子場論方法在高能QCD區域被證明是一個非常有效的方法。然而，在低能量的QCD區域，目前大家普遍接受的方法是格點QCD，它是歐氏空間，經過時間離散化的量子場論。因為時空的不連續性以及計算機計算能力的限制，它無法處理夸克質量很小的情況。另外還有一些非微擾方法，比如：NJL模型，QCD求和規則等等。在此我要介紹的是Dyson-Schwinger方程(DSE)方法。

就像在經典力學中，給出一個拉氏量，就可以通過最小作用量原理推導運動方程一樣。DSE就是量子場論的嚴格運動方程。它的缺點是，它是無窮聯立的格林函數方程。對它進行研究必須作必要的截斷，以使得方程可解。在DSE框架下的研究顯示，夸克從高能區域幾乎無質量演化到低能區域時質量變得很大（約350MeV）。於是我們看到了手征對稱性的破缺。然而，故事遠沒有結束。

由於強相互作用，在低能區域夸克獲得了約350MeV的質量。這很好地解釋了為什麼質子(uud)的質量是930MeV，rho 介子的質量是770MeV。但pi介子的質量卻非常不同，它的質量只有140MeV。

二、近似對稱性破缺與pi介子質量

是什麼原因導致了，pi介子的質量如此之小？首先看一個定理，Goldstone定理：當系統的連續對稱性發生了自發破缺，那麼就會產生無質量的標量粒子。我們稱其為Goldstone粒子。

對於m=0的QCD，若是發生動力學手征對稱性自發破缺，根據Goldstone定理，必然會產生3個無質量的Goldstone玻色子。然而，我們真實世界的QCD，夸克的質量非常小，但不為0。這就使得理論的手征對稱性並不是嚴格的對稱性，而是一個近似的對稱性。對於近似的連續對稱性的自發破缺，就會產生一個質量很小的標量粒子。所以，pi介子的組分——夸克——因為手征對稱性的自發破缺變得很大。而pi介子本身的質量又因為相互作用具有手征對稱性的限制，很大程度抵消了因為對稱性破缺而產生的質量。

而另一方面，pi介子同時又是夸克-反夸克的束縛態，在量子場論中，兩體束縛態由Bethe-Salpeter方程來描述。在束縛態的研究中，我們發現，夸克-反夸克相互作用的手征對稱性，對介子的質量具有至關重要的影響。

三、束縛態的量子場論方程——Bethe-Salpeter方程對 $pi$ 介子的理解

在量子場論中，什麼叫做一個粒子？為了回答這個問題，我們先回顧一下電子。在量子電動力學中，電子的質量是以 $marpsipsi$ 的方式引進的。但這只是裸電子的質量，真實的電子物理質量會受到相互作用的修正，被定義為電子傳播子的奇點位置。一般地說，一個粒子的質量（包括基本粒子與複合粒子）被定義為2N點格林函數的奇點位置。此處N是複合粒子的組分粒子數目，對於電子來講，它是基本粒子，組分數是1，所以它正是被定義在兩點格林函數（電子傳播子）的奇點位置上。

由格林函數所滿足的級數方程，與奇點條件，可以得出束縛態波函數的BS方程。其費曼圖可表示為

方程寫作，

$Gamma_pi(p,P) = intfrac{d^4q}{(2pi)^4} K(p,q,P) S(q_+)Gamma_pi(q,P)S(q_-)$ 。

其中，相互作用核K(p,q,P)是兩粒子不可約（2PI）的四點格林函數。pi介子的BS振幅可以一般地表示成

$Gamma_pi(p,P) = gamma_5(E_pi(p,P)+p!!!/F_pi(p,P)+P!!!/G_pi+[p!!!/,P!!!/]H_pi)$

。另外，方程還依賴於兩個夸克傳播子。夸克傳播子可以通過DS方程求解得到。DS方程的費曼圖為

方程寫作，

$S^{-1}(p)=S_0(p) + frac{4}{3}g^2intfrac{d^4q}{(2pi)^2} gamma^mu S(q)Gamma^ u(p,q) D_{mu u}(p-q)$

所以，我們將DSE與BSE聯立，再對K(p,q,P)作模型即可對方程進行求解。此處， $S^{-1}(p)$ 的一般結構可表示成 $S^{-1}(p)=ip!!!/A(p^2)+B(p^2)$ 。

此處的K(p,q,P)雖然是一個未知量，在構建其模型的過程中，需要受到手征對稱性的限制。手征對稱性對應的是軸矢量Ward-Takahashi恆等式。在手征極限下，軸矢量的流守恆的Ward-Takahashi恆等式為

另外，軸矢量流的頂角 $Gamma_{5mu}(k,P)$ 也滿足與pi介子同樣的BS方程，

因為它們有著相同的夸克-夸克相互作用。對方程同乘 $P^mu$ ,並利用軸矢量流守恆的條件，可以得出

$S^{-1}(k_+)gamma_5 + gamma_5 S^{-1}(k_-) = S_0^{-1}(k_+)gamma_5 + gamma_5 S_0^{-1}(k_-) + int frac{d^4q}{(2pi)^4} K(S(q_+)gamma_5 + gamma_5 S(q_-))$

容易發現，軸矢量流守恆對K的約束就是兩夸克的相互作用核K(p,q,P)與夸克傳播子方程中的 $gamma^mu D_{mu u}(p-q) Gamma_ u(p,q)$ 必須嚴格相等。

再對軸矢量流頂角進行分析，它包含12種可能的結構：

$gamma_5$ ${gamma^mu,p^mu,P^mu}otimes{I,p!!!/,P!!!/,[p!!!/,P!!!/]}$ 。其中 $gamma_5$ $P^muotimes{I,p!!!/,P!!!/,[p!!!/,P!!!/]}$ 的結構部分可能包含一個奇點。暫且將這部分寫作

$frac{P^mu}{P^2+m_phi^2}phi(k,P)$ ,其中 $phi(k,P)$ 的結構與pi介子BS方程的結構完全相同。因為，這一個粒子的奇點附近，所以其他項的貢獻並不重要。又因為相互作用核K(p,q,P)與pi介子也相同，所以，pi介子方程的質量也一定滿足 $phi(k,P)$ 的方程。

現取 $m_pi=0$ ，並將 $phi(k,P)$ 的奇點附近的結構代入到軸矢量流守恆方程的左邊，將夸克傳播子的結構代入到方程的右邊，可以得到關係

$E_pi(k,0)=B(k)$

另外，當 $P=0時$ ，pi介子的BS振幅只有E有貢獻，其他三項都為0。這樣，再將E(k,0)，也就是B(k)帶入到BS方程，我們發現，它恰好就是夸克傳播子的DS方程。也就是說， $m_pi=0$ 必然是BS方程的解。

在拉氏量中的夸克質量 $m e 0$ 的情況下，便無法通過這樣的方法推導pi介子的質量。因為流守恆方程並不嚴格成立。

四、總結

QCD的拉氏量中的夸克質量 $m=0$ 時，理論保持手征對稱性。由於強相互作用足夠強，使得手征對稱性發生破缺，夸克在低能區域獲得了質量（約350MeV）。這樣的夸克有效質量，也構成我們物理世界的主要的質子與中子的質量。值得強調的是，Higgs機制只賦予了質子約2%的質量(約10MeV)，其餘的約98%是通過手征對稱性自發破缺獲得的。夸克與反夸克在形成pi時，由於它們之間有手征對稱的相互作用，使得在贗標量的束縛態上，形成了強烈的吸引，使得pi介子的質量嚴格為0。

在非手征極限的情況下， $m e 0$ ，手征對稱性是近似對稱性。夸克仍然會通過對稱性破缺獲得約350MeV的質量，但pi介子因為夸克間的相互作用不是手征對稱的，所以吸引沒有強烈到使pi介子質量到0。

看到這個問題又想到當年的噩夢了....

想要詳細的解答，題主可以去啃這本書....

我當年啃了一個月後得到的結論是：夸克質量不為0導致顯式對稱性破缺，進一步導致戈德斯坦玻色子獲得質量。

你問我具體過程？抱歉，忘了.....

pi又不是基本粒子，人家拉氏量都是有效的，什麼不能發生啊。

因為up和down夸克的質量不一樣，導致classically這個 $SU(2)_{A} imes SU(2)_{V} o SU(2)_{V}$ 對稱破缺只是在up和down夸克質量一樣的時候成立(值得一提的是這裡的 $SU(2)_{A}$ 被破缺掉並不是因為夸克的質量而是我們看到的低能的hadron普裡面沒有不同parity的degeneracy,因為實驗觀測到的數據總結得到的結論是並沒有這樣的degeneracy即使是比較近似的也沒有，所以我們認為somehow這個 $SU(2)_{A}$ 的對稱性被自發破缺掉了而且有意思的是這個看法也能解釋介子的起源)，然而如果考慮量子效應（比如反常）那麼這個對稱性破缺的exactness我印象中只有在up和down夸克質量是零的時候得到了證明（記得是在這篇文章里：

Vafa, Cumrun, and Edward Witten. 」Restrictions on symmetry breaking in

vector-like gauge theories.」 Nuclear Physics B 234.1 (1984): 173-188.）。

所以總結一下就是一句話，因為這個對稱性破缺不exact，所以它產生的Goldstone玻色子並不是真正的Goldstone玻色子。

這個問題沒有理論解釋。approximate chiral symmetry breaking 只是一種唯象的解釋。

其實也可以說有理論解釋 lattice QCD裡面應該可以跑出Pi介子的質量, 但是這個解釋並不令人滿意。