量子力學中引入虛數 i 的深層意義是什麼？

01-08

量子力學中的虛數
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抱歉私自補充了說明，我覺得現有的答案並沒有很好的說明這個問題。
unitarity表徵系統的動力學，另一方面在實際應用中也會使用非unitary的理論。
而quantum physics在運動學層面，也就是Hilbert space and observalbes時已經是complex的了。

而使用正則對易關係(CCR)，unitarity來解釋complex structure(http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_complex_structure)的必要性似乎並不是那麼直接關聯。
比如說，unitairty的定義在於映射complex conjugate $star:mathbb{C} omathbb{C}$ 的存在性，而這是C/R的非平凡Galois element，非常一般的，我們在dagger category中可以利用dagger functor定義unitary morphism。那麼，為什麼必須是C?

在物理學中引入複數結構的必需性的根源和複數最重要的物理意義在於量子力學運動規律限定的數學結構。用群論的語言概括：概率守恆要求演化規律的數學結構是酉群 U(n) (參見https://en.wikipedia.org/wiki/Unitarity_(physics)), 而 U(n) 恰好可以分解為正交群 O(n) 和實數域的辛群 Sp(2n, R): U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) , O(n) 的物理意義是概率守恆，Sp(2n, R) 的物理意義正是量子力學限定的運動規律。最妙的是複數域的一般線性群 GL(n, C) 恰好滿足

O(n) ∩ Sp(2n, R) = O(n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) ，

所以GL(n, C) 這個複數域上的群是能把或者說是恰巧把概率守恆和運動描述耦合在一起的一個數學結構，或者說量子力學運動規律自然具備的一個數學結構。即使在符號上不引入虛數單位 I 和複數集 C，在結構上也不能避免一個與 C 等價的要素。U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) 恰好是 GL(n, C) 的極大緊子群。

↑ O(2n) ∩ Sp(2n, R) = O(2n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(2n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) 。U(n) 是 GL(n, C) 的極大緊子群。

如果用矩陣力學的表述具體一點說，量子力學演化算符在矩陣表述下是厄米矩陣，因為觀測值是演化算符的矩陣本徵值，必須為實數值，所以演化算符必須是厄米矩陣。如果把厄米矩陣實部虛部分開寫，實部是對稱矩陣（對應O(2n)群），虛部是反對稱矩陣（對應實數域的辛群 Sp(2n, R)），而複數域的 GL(n, C) 結構正是把這兩部分始終耦合在一起的數學結構。所以即便不顯式引入虛數單位 I 和複數，複數定義和運算規則所帶有的特性還是蘊藏在量子力學的運動規律里的。

補充：還有一種視角是從代數角度看，傳統的量子力學教材不講很多抽象的數學，一般引入希爾伯特空間的概念，後面就說的基本是波動力學、矩陣力學這些具體表示下的物理和計算了。（有一本例外 Haag, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras）。像「代數量子力學」這種提法，一般是職業數學物理學者才會深究的。看到這幾篇參考資料：

Algebraic quantum mechanics: http://www.math.ru.nl/~landsman/algebraicQM.pdf
Jordan-Lie-Banach algebra"s equivalence to C*-algebra
Baez, What is C*-algebra good for?

參考：

捷克物理學家 Lubo? Motl 正好有篇文章解釋複數在物理學中的地位〈Why complex numbers are fundamental in physics〉裡面解釋了虛數單位 I 不是人工創造的，而是量子力學算符對易關係自動要求的。
Unitary group 2-out-3 property
quantum mechanics without imaginary numbers
algebraic quantum mechanics: http://www.math.ru.nl/~landsman/algebraicQM.pdf
Jordan-Lie-Banach algebra"s equivalence to C*-algebra

首先說結論：因為我們需要一個不變數，因此需要一個幺正演化。而dagger functor在Hilbert空間中就是需要複數的酉運算元。

需要酉運算元就需要複數是顯然的，因為如果不存在almost complex結構的話，它只能是1。

這可能是一個令人覺得非常間接的原因，但是無論如何，需要不變數的話一定要引入複數。

當然另一方面，把演化不變數變成對稱性也是同樣的。

當然首先的問題是為什麼需要Hilbert空間，要說理由的話大概只能說相空間的可觀測量代數天生就是C*代數的形式，而C*代數有GNS構造，當然，如果沒利用GNS表示的Hilbert空間，那就像經典力學一樣，就算有演化不變數或者對稱性也可能沒有i。

其實我們可以構造一個虛假的力學，比如說正則交換關係不是Heisenberg對易關係的力學（可以改成實對易子），這樣的力學利用下面的GNS構造也可以得到Hilbert空間，但是和答主的說明不同的是，它不需要是C上的Hilbert空間。

如果我們考慮相空間，一個力學系統，無論經典力學還是量子力學還是其他的什麼都需要它，其上的所有力學量假定可以構成一個C*代數（定義見wiki），只考慮這種情況，它們都是實的，所以把*當成一個恆等元。構成這樣的任意力學需要兩個東西：一個C*代數，它提供力學量，和他們的對易關係。一個從C*代數到R的線性泛函，把它叫做「態的觀測」，對於量子力學，它代表態的平均值。

在運算元代數中，一個C*代數和一個正的線性泛函能夠組成一個C*代數的表示：GNS構造，它把C*代數映射成為一個Hilbert空間H上的運算元，並從Hilbert空間找到一個元（量子力學中的態），使該正線性泛函表示為這個態的平均值，這樣就足夠構造了一個力學。

它有兩個簡單的例子，量子力學和經典力學，量子力學的情況是顯然的，對經典力學，C*代數是交換的，由Gelfand變換可以把它映射為一個空間上的連續函數（利用Lusin定理可以把它看做 $L^{infty }$ )，這時候「態的觀測」就從Riesz-Markov定理成為一個積分 $int f dmu$ ，這顯然就是統計物理學的相空間積分的式子。

那麼問題來了，如何構造一個它隨時間的演化呢？

顯然地，可以構造一個相空間上的自映射，它把現在的坐標映射成為未來的坐標，像劉維爾定理那樣（Anorld的經典力學上的形式）。

說到劉維爾定理，早在1931年，Koopman就在經典力學上構造了這一點（Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space，1931），他從劉維爾定理的體積不變構造了相空間上的L^2空間，把哈密頓流（時間演化）對應成酉運算元，因為他證明了，時間演化在L^(M)上是保L^M範數的線性運算元，那麼顯然地，酉運算元是唯一的形式。

說這點就是為了表明：經典力學中也存在複數，只不過它是隱藏著的。

同樣的還有一個表面上不存在複數的例子，無質量Klein-Gordon equation，也就是波動方程，表面上看起來如果不需要質量的話方程中並沒有複數，但是可以參照P.Lax《泛函分析》的35章：如果對波動方程的解賦予能量範數，則存在一個酉運算元導致時間演化。學過物理的的人應該想到，這就是相對論路徑積分！

量子力學的情況，顯然地，Hilbert空間的範數代表概率，保概率流的時間演化只能是酉的。

我記得朗道的力學中引入能量和動量就是利用Noether定理，一個對稱性對應一個守恆量，量子力學中同樣也可以這樣，一個簡單的例子，假設系統有平移不變性，那麼這是說x的演化保Hilbert空間範數（概率），同樣得到x的酉運算元，利用von Neumann的酉運算元譜分解，就得到了動量。

現在回想開頭的那個「虛假的」力學，對易關係都是實的，那麼顯然，利用其GNS表示，我們可以證明：它根本沒有連續的對稱性。

這和高量的書上講述的對稱性理論一致，因為在高量中我們總是構造出一個幺正運算元來表示連續對稱性。

關於C*代數的力學可以參照http://arxiv.org/abs/quant-ph/0202023v1

關於運算元代數可以參照GTM39

虛數代表的是一種數學結構，沒什麼好可怕的。

你實在受不了可以把它寫成實矩陣 $egin{pmatrix}0-1\10end{pmatrix}$ 。

實在要糾結於此的話，我就在這拋個磚吧。

量子場論中有很多復場，這些大多和群的復表示以及荷共軛變換有關。為什麼不都選實表示？我也不知道。P.S.那樣的話就沒有正反物質了。

量子力學裡的波函數是復的，這是另一個故事。追根溯源，可以找到正則量子化時把泊松括弧寫成狄拉克括弧時就有一個 $i$ 。至於為什麼，我沒研究過不好說，也許可以看看理論的酉性要求，即如果不引入這個 $i$ 是否得不到一個 unitary 的理論。而 non-unitarity 是多麼嚴重的事情，相信大家從幼兒園開始就知道了吧。

作為對理論物理僅僅略懂的數學汪，來嘗試從直(Ve)觀(ry)建(Na)模(ive)的角度回答一下，且本回答僅限於為什麼一定要unitary evolution，以及為什麼又要在C上考慮。

這當然與量子力學規律所限定的數學結構當然有關（見燕南的回答），即與演化運算元一定得是概率守恆的要求的確有關。但我認為這應當不是本質的原因：概率守恆的要求，應當是引入probability amplitude後的舉動，如果一開始沒有使用amplitude而是density，那麼單靠概率守恆這一條件並不能限定時間演化一定要是unitary的。因此，我認為更加重要的原因是為什麼量子力學非得考慮probability amplitude而不是probability density。

量子力學中無可避免需要對粒子的概率性質進行建模。如果要考慮粒子的概率測度（注意，我們還沒有約定使用CDF、PDF、亦或Amplitude，因此暫時使用測度這一說法）隨時間的演化規律（一個線性運算元），又不可避免地要求概率守恆，即在整個manifold的積分恆等於1。

但是，目前為止，概率守恆並不等於要求演化運算元是unitary。我們都知道，Markov Chain Theory對於概率性質的建模，完全是可以僅僅考慮R上的linear transition operator，使得state vector在L1 norm的意義下是invariant的。這等價於要求這個transition operator來自於stochastic group (S(n,F))。但是從一個俗氣的口味來看，保持L1下的invariant並沒有L2下(O(n))那麼自然：如果還要考慮Doubly Stochastic Matrix，那這甚至不是一個群……

因此我們不僅要保持概率守恆，最好還要在L2意義下守恆。但我們如果堅持使用density function來表徵概率測度，那L1 norm肯定是逃不過去了。於是，一個很好的解決辦法就是，把概率密度函數拆成兩個probability amplitude的平方。如此一來，我們只要preserve L2 norm即可，只不過此時的「副產物」就是必須考慮C，對應的演化運算元則必須是來自於unitary group U(n) 而不是R上的O(n)。

= = = = = = = = = = = = = = = =

我對量子力學的歷史並不了解，因此以上推斷純屬猜測。

關於amplitude相對於density的優勢，也有人進行過研究，例如Kurihara等以code transfer的角度，認為量子力學這種基於amplitude的coding可以將統計誤差最小化，也是一個佐證。

Reference：

Advantage of the probability amplitude over the probability density in quantum mechanics, arxiv:1304.5824v1

深層含義不知道，就弱弱地貼上Sakurai書上的一小部分內容來解釋為什麼引入複數，詳細的解釋還請參考原書的1.1部分，1.1 the stern gerlach experiment就是為了引出the idea that quantum mechanical states are to be represented by vectors in an abstract complex vector space

需要一個其平方等於負一的乘法表。

物理理論自然地應該使用 Hilbert space 那套語言來書寫，見量子力學的基本理論是什麼？。

信息守恆要求演化是保 Hilbert space 上的二次型的，即應該用 isometry 運算元來表示。

$Psi(t)=U(t)Psi(0)$

那麼時間演化就構成了一個 one-parameter group，它的 generator （記作 $H$ ）是 self-adjoint 的（注意這裡沒有要求 Hilbert space 是複數域上的，我特意不把它們叫做 unitary 和 Hermitian）。

考慮其微分形式

$frac{d}{dt}Psi(t)=-HPsi(t)$

其中作為時間平移的 generator，也就是能量的 $H$ 是 anti-self-adjoint 的。由於 observable 要是 self-adjoint 的，我們想從 $H$ 里構造出一個 self-adjoint 的。只有在複數域上才能通過簡單地乘一個 $i$ 的方式來實現這一點。換句話說，如果不是在複數域上，能量就不是一個可觀測的量，這是難以接受的。

（當然，上面說的都是同構意義下的，你當然可以拿著一個2×2的實數矩陣跟我說不一定要用複數，這沒有什麼意義）

騷年，我也曾關注過類似的問題，直到我聽到了童校的一句話「因為複數是最大的數域，在其中討論解析的問題最為方便。」

感謝童校，感謝萬門大學！

曾經在凝聚態課上就具體問題與老師討論過引入複數的意義，很有意思的問題，但仍感覺不能真正理解，因為在量子力學中引入複數的情形很多，要分情況討論。

前面有從量子力學涉及的數學基礎的角度來理解複數的引入，但是比較晦澀。物理理論必然對應於一定的數學結構，但是一個物理理論不一定只對應於一種數學結構。在矩陣力學和波動力學創立之後，複數已經引入在基本方程中，再討論引入複數的意義相當於馬後炮，因為沒有複數單位i, 波動力學方程的解就不再正確。應該考慮的問題是，是否可能建立一種量子理論可以不引入複數單位（顯式或者隱式的）而具備同樣的解釋力。類似的問題是還需要考慮複數在相對論中和在量子力學中的引入是否有不同，是否有可觀測層面（而非基本理論結構上）的根本性意義。

簡單的一些理解是，複數容易被理解為體現物理系統相位信息的簡潔表達，這在量子力學中的意義顯而易見。另外的情形包括比如在場論的計算裡面，有時我們會引入一個負頻率（w 被i*w 替換）的概念，這經常是為了理論推導的方便，可以應用復變裡面成熟而簡潔的結果。而這與相對論中引入虛時間來簡化方程是類似的。

剛好和複數同構。

剛好用虛數計算方便一點罷了

本來就是正弦波來的，實部表示位移，虛部表示相位。

如果拒絕用虛數的概念，你也可以用二維向量來計算。結果一樣，過程麻煩點罷了。

正弦波移植到微觀世界，經過實驗驗證剛好管用，就用下來了

數學是個工具，啥好用用啥

https://courses.physics.illinois.edu/phys580/fa2013/susy_v2.pdf

這個問題有一個容易理解的答案。關鍵是量子理論把粒子態用波來表述。什麼數學最方便描述波動？想想Fourier transform，就會自然想到了要用複數。更重要是波頻率是代表能量的。不可以是負的。而sin , cos 含有負頻率。

物理不是數學遊戲，引進虛數是人為的事，就如電磁波由電場波，和磁場波組成，用波函數描述電子行為時，必須是峰谷交錯的兩個波。或者說本來就沒什麼電子，有的是兩種波，類似於電場波和磁場波，只是這兩種波都無法檢測與感知。至於用複變函數來描述，只是為了方便順手，還能有什麼意義呢？假如「另類」無法感知電場磁場，或許也用類似的波函數來描述光子，它們大談虛構出來的玩意兒有神奇的意義，我們是不是覺得可笑呢？

物理的不同數學表示有好多栗子了。

比如矩陣力學和波動力學，二者在Hilbert Space上是同構的。

所以簡單的說，你要是只用實數建立物理學的形式理論也未嘗不可，只不過要額外增加一些幾何結構和規則。

但是我們已經用複數得到了這些數學結構（共軛關係什麼的），那麼方便，為啥不用？

關於其他答案說是因為量子力學的probability amplitude而不是probability density，感覺也很有意思啊^_^

量子愛好者，工科牛

複數的引入是由於經典時空觀（三維空間加一維時間）不足以描述量子力學所研究的物理現象。

我們都知道，二維坐標系中的一個點可以用一維坐標系下的一個複數表示。量子力學中複數，可以理解為我們在用4維時空參數，描述一個5維時空下的過程。

平行世界的解釋，通俗地說，就是時間不是一維的，而是二維的。現在是2016-12-6 23:48，下一秒即 23:49 將發生什麼，無法眀確告訴你（只能告訴你發生某事的概率），因為有多個23:49時刻(它們並列而各自獨立）存在，而我們（觀測者）只是隨機地處於其中一個23:49。至於其他的23:49時刻，是否有另一個我們存在，答案是呵呵。

而波粒二相性、疊加態這種概念，在經典時空觀中，是沒有對應物的，因此初學者很難理解和接受。

量子糾纏、波函數Ta縮和觀察者效應在4維時空框架下的描述和解釋顯得異常困難。

平行世界（二維時間）理論用於理解量子力學是非常通順的，所以很多人相信這理論。但提出了另一個理解難題：為什麼我們只感覺到一維的時間？（地球是圓的，為什麼沒人感覺到是在倒立？）

為了計算方便。。波動部分你用三角函數各種變換會暈死，用複數形式的話當然要用i咯

前面答案都好數學呀。我的理解一直都是，如果沒有i，薛定鄂方程就變成擴散方程啦，原子怎麼穩定存在呢？i的引入才使得用波動語言描述量子世界成為了可能。。。