受到時間反演對稱性保護，這句話應該如何理解？

01-08

經常看到別人這麼說，一個什麼什麼態（比如拓撲絕緣體態）是受到時間反演對稱性保護的，但是卻也不細說是什麼意思。
我希望可以得到專業（或半專業）人士的解答，最好是例子加解釋，以及說明該如何理解其數學表達式。

既不是專業人士也不是半專業人士, 但還是厚著臉皮來解答了.

題主所說的結論是: 自旋量子霍爾效應(SQHE)[1]的表面態的存在是由時間反演對稱性保護的.

本質上說, 這是由於 Kramers 定理保證的: 如果一個自旋1/2的系統具有時間反演對稱性, 那麼能帶一定會有簡併 $E_n(k,s)=E_n(-k,-s)$ . 特別地, 在 $k=0$ 處的態一定是簡併的. 定理的證明從略. (如果題主還有印象的話, 這是題主本科時固體物理課的一道作業題) [2]

為簡單起見, 考慮一個具有時間反演對稱性的二維絕緣體. 根據哈密頓量在邊界處的形式, 在帶隙中可能也可能不存在邊界態. 但如果在帶隙中存在邊界態, Kramers 定理指出邊界態的能量一定至少是二重簡併的. 特別地, 在布里淵區邊界 $Gamma_a=0$ 和 $Gamma_b=pi/a$ , 量子態二重簡併. 在布里淵區的其他地方, 由於自旋-軌道耦合或者其他相互作用, 不存在量子態的簡併, 而是打開一個能隙. 色散關係是連續的, 因此 $Gamma_a$ 和 $Gamma_b$ 處的態有兩種連接的方式. 對應下面的兩張圖:

(圖只畫了一半. 另一半由 Kramers 定理保證鏡像對稱) [3]

對於左邊的情形, 根據化學勢不同, 可能沒有邊界態, 或者有偶數對邊界態. 對於右邊的情形, 總是存在奇數對邊界態. 這個邊界態就是由時間反演對稱性保護的. 根據邊界態數目的奇偶可以給拓撲絕緣體分類, 這就是具有時間反演對稱性的拓撲絕緣體的 $mathbb{Z}_2$ 不變數.

需要指出的是, Kramers 沒有"保證"表面態的存在, 它是"保護"表面態的存在. 所謂"保護", 是說如果哈密頓量有時間反演對稱性, 且表面態在能隙中(這兩點不能被 Kramers 定理保證, 而是取決於哈密頓量的具體形式. 所以不是所有具有時間反演對稱性的絕緣體都是拓撲絕緣體), 那麼在這個基礎上加其他的相互作用/微擾, 或是調整系統的化學勢, 都不能去掉這個表面態. (當然對於 $mathbb{Z}_2$ 不變數為0的拓撲絕緣體是可以去掉的, 只有對於 $mathbb{Z}_2$ 不變數為1的拓撲絕緣體不能. )

對於三維絕緣體, 邊界態變成表面態, 結論是一樣的.

[1] 因為為了實現整數量子霍爾效應(IQHE)必須破壞時間反演對稱性: $Tsigma_{xy}=-sigma_{xy}$ , 其中 $T$ 為時間反演算符, $sigma_{xy}$ 是電導率. 如果一個 IQHE 具有時間反演對稱性, 那麼 $sigma_{xy}=0$ . 而當引入自旋-軌道耦合之後, 情況會有很大不同.

[2] Kramers 定理只適用於單電子哈密頓量. 即所謂系統具有時間反演對稱性是指 $THT^{-1}=H$ . 當關聯強到單粒子的圖像失效時, 我們需要其他方式定義時間反演對稱性.

[3] 圖片引自 Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010), 一篇容易讀的綜述性文章. 推薦題主閱讀. 另外也推薦這篇綜述性文章 Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011), 更加系統全面. 對於不具有凝聚態物理背景的, 推薦 Physics Today 上的這篇簡單的介紹性文章 The quantum spin Hall effect and topological insulators.

我錯了，不是能量守恆！寬麵條淚 ┭┮﹏┭┮ ！

想起來了了，指體系的哈密頓量全部是時間反演對稱的。

用拓撲絕緣體來說，就是裡面的表面態的電子不會被散射而造成耗散，一直能夠保持原來的狀態。當體系加入非時間反演對稱的量之後，如磁場或者磁性雜質，體系崩潰，表面態消失。原來的電子可以被散射了。

我的記憶力還是蠻強的，哈哈哈哈