如何從數學、力學及工程意義上，說明屈曲分析和振型分析的異同點?

01-08

有限元分析中遇到的問題

@George Ge 的答案已經很靠譜了。

鑒於工作學習中常有人混淆這兩個概念，我覺得還是有必要系統地補充下。猜測之所以有人搞混，可能是因為它們在數學上都同屬於矩陣特徵值（Eigen value）和特徵向量（Eigen vector）問題吧。

以下分四個方面來講它們的異同。

1. 模態/振型分析

1.1 工程角度

從工程上說，模態分析是研究結構動力特性的一種方法。該分析可給出系統各模態的固有頻率（特徵值）與模態振型（特徵向量）。模態分析的主要作用是在得到頻率和振型後，計算系統在激勵作用下，各階模態的響應，最後通過線性疊加原理得到系統的總響應。例如，要利用振型分解反應譜法計算結構在地震作用下的動力響應，就需先對結構進行模態分析。

1.2 力學角度

模態分析從力學角度講，是無阻尼多自由度系統自由振動的特徵值與特徵向量問題。

1.3 有限元分析角度

在模態分析里，僅需定義系統的質量源而不用指定任何的荷載工況。通常情況下，你可以認為在模態分析里，結構是不受力的。有些FEM軟體會給出模態對應的內力，但這些內力都是「虛力「，即它們都是使結構產生這樣的振型時所對應的內力結果。FEM軟體在進行振型分解時，將 $i).$ 構造結構的質量矩陣； $ii).$ 構造剛度矩陣； $iii).$ 求解特徵值（自振頻率）與特徵向量（模態振型）。

1.4 數學角度

從數學的角度，如 $M，K$ 為 $n$ 自由度結構的質量與剛度矩陣，其無阻尼自由振動方程為 $Mv$ 。動力學裡一般假設自由振動是簡諧的，即 $v= ilde{v} sin(omega t+ heta)$ ，二階時間導數為 $v$ 。此處， $ar{v}$ 是系統振動的振幅， $omega$ 是系統的自振頻率（特徵值）， $heta$ 是相角。把 $v$ 和 $v$ 代回振動方程並化簡，得到 $[K-Momega^{2}] ilde{v}=0$ 。在數學上，要使該方程有非平凡解（即非零解），矩陣 $[K-Momega^{2}]$ 的行列式必須等於0，即 $det[K-Momega^{2}]=0$ 。把該行列式展開，其結果為一個 $n$ 次 $omega^{2}$ 的多項式。它的 $n$ 個由小到大的根， $omega_{1},omega_{2},...,omega_{n}$ ，對應結構由柔到剛的 $n$ 個自振頻率（特徵值）；而與特徵值對應的特徵向量就是系統發生自由振動時的模態振型， $Phi_{1},Phi_{2},...,Phi_{n}$ 。

2. 屈曲分析：

2.1 工程角度

屈曲分析在工程上主要是研究結構在特定荷載（結構分析里一般稱屈曲工況）下的穩定性以及確定結構發生失穩的臨界荷載。屈曲分析包括線性（特徵值屈曲）和非線性的（如幾何非線性失穩，彈塑性失穩，後屈曲分析）。由於在問其與模態分析的異同，那麼默認題主指的是線性或特徵值屈曲。屈曲分析中，特徵值是結構在屈曲工況下的屈曲因子，而特徵向量為該工況下系統的屈曲模態。在結構分析中，屈曲分析一般有兩個作用：1. 通過屈曲因子計算結構的失穩臨界荷載；2. 將屈曲模態作為結構的初始幾何缺陷引入到結構當中，並進行全過程分析計算結構的安全因子（安全因子=極限承載力/設計承載力）。

2.2 力學角度

線性屈曲在力學上，是無阻尼多自由度系統在特定靜力荷載作用下的特徵值與特徵向量問題。

2.3 有限元分析角度

與模態分析完全相反，屈曲分析僅需指定系統的屈曲工況而不需指定系統的質量源。FEM軟體在進行屈曲分析時，將 $i).$ 計算結構在屈曲工況下所有桿件的軸力； $ii).$ 選取軸壓力最小的桿件並令該軸壓力= $N；$ $iii).$ 根據比值，將所有桿件軸力（包括拉力）表示成 $N$ 的形式； $iv).$ 基於以 $N$ 表示的桿件軸力，構造幾何剛度矩陣 $K_{G0}$ ； $v).$ 求解特徵值（屈曲因子）與特徵向量（屈曲模態）。

2.4 數學角度

如假定結構在屈曲工況下的桿件軸力為常數，在構造結構的運動方程時，除彈性剛度矩陣 $K$ 外，還需包括幾何剛度矩陣 $K_{G}dagger$ 。模態分析中的運動方程 $Mv$ 在屈曲分析中則變為 $Mv$ 。由於結構發生屈曲時，系統的振動頻率為零，所以運動方程中的慣性力項 $Mv$ 將消失，運動方程變為 $[K-K_{G}]v=0$ 。類似地，在數學上，要使該方程有非平凡解，矩陣 $[K-K_{G}]$ 的行列式必須等於0，即 $det[K-K_{G}]=0$ 。如將 $K_{G}$ 表示為一個荷載因子 $lambda_{G}$ （屈曲因子）與 $K_{G0}$ 的乘積，則特徵值方程變為 $det[K-lambda_{G}K_{G0}]=0$ ，展開即得計算臨界荷載的穩定方程。此時，特徵值 $lambda_{G}$ 為屈曲因子，與之對應的特徵向量為此階的屈曲模態。

注 $dagger$ :幾何剛度矩陣表示結構在各桿件軸力作用下的屈曲趨勢，它與結構構型和荷載條件直接相關。幾何剛度係數為桿件軸力與桿件長度的函數 $k_{G}=k_{G}(N,L)$ ，可通過有限元概念來計算剛度係數的高階近似。剛度係數值可正可負，比如當桿件受壓時其側向剛度減小，受拉時側向剛度增大。

已有的兩個答案都沒有回答到點子上，我研究過振型的問題，但沒有研究過屈曲，現在僅以我的了解來試著回答一下。

對於一個可變性體，在研究其力學行為的時候首先是建立其數學模型，考慮隨時間變化的動力學問題那麼得到的是關於時間坐標和空間坐標的偏微分方程，不考慮動力學因素則得到的就是僅為空間坐標的偏微分方程（一維情形為常微分方程）。雖然是對同一個物體進行的建模，但這兩種偏微分方程在數學書分別稱為橢圓型和雙曲型方程，這是兩類不同的偏微分方程。在一維情形就是數理方程中作為例子的波動方程與Laplace方程。在力學中，這兩種方程的差別僅僅是慣性力是否存在，從達朗貝爾原理的角度，這兩種方程沒有太大的差別，但在數學上卻不是這樣。

有限元是一種用於對偏微分方程進行數值求解的方法（在數學、力學、工程領域對於有限元有不同的理解，但此處不涉及），通常都是對空間坐標進行有限元離散（也可以對時間坐標進行有限元離散，但用的較少），得到的半離散化的方程就是常微分方程，若原問題在線性範圍內的話得到的常微分方程就是一個常係數二階常微分方程組，也就是說有常係數的質量陣與剛度陣。對於單個的常係數齊次常微分方程，是存在三角函數形式的解的，對於常係數的常微分方程組也存在類似的三角函數形式的解，就是所謂的振型函數。對於一維問題，由有限元離散得到的常微分方程組求得的振型函數與直接利用分離變數法得到的關於空間變數的那個函數是一回事，對於空間問題沒有辦法對分離變數之後得到的關於空間變數的方程直接求解，因此主要還是要用有限元來求振型函數，每個振型函數其實就是一組特徵向量，有時候也叫做模態函數，對於每一個特徵向量有一個特徵值，在力學上管這個值叫頻率。雖然這種模態函數是由動力學方程得到的，但其主要取決於偏微分方程的邊界條件，對於動力學方程和靜力學方程來說，其邊界條件是一樣的。

至於振型函數和屈曲的關係，可以從能量的角度進行分析。在做線性振動時，不論是動能還是變形能，都主要分布在低階模態上；而在屈曲變形的時候，沒有動能，但變性能也主要是分布在低階模態上的。從桿的穩定性分析的例子來看，屈曲之後的形狀就是其第一階振型。

力學系本科生，被題目吸引了過來。結果默默的發現自己回答不來。木有關係！我去諮詢了學長大人！回答如下：

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數學：屈曲是求撓曲線微分方程是關於空間坐標的微分方程

振型是求運動微分方程是關於時間導數的微分方程

雖然都是求解二階微分方程但是意義不同屈曲是靜力問題振型是屬於動力學範疇

程上的不同屈曲是考慮結構穩定性

振型更多的是屬於結構振動時的固有特性

而且屈曲只要看一下材料力學怎麼求屈曲再比較一下就能知道異同了

好像也有屈曲振型這麼一種說法

也就是我們長常說的屈曲模態

數學上的差別我覺得很小

從形式上看都是一個二階微分方程

在力學上本質是一個是靜力學問題一個是

動力學問題

以上。但願能幫助到你。

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原答案是前年4.30號寫的。

（這種話一說莫名有種我老了的錯覺感2333……）

評論區有 @Paul Wang 補充，放在這邊：

動力學問題很廣, 關於振動的動力學微分方程有齊次和非齊次。振型是齊次方程的解, 是它的特徵函數。靜力學問題有受力平衡微分方程和受壓穩定微分方程。失穩狀態是受壓穩定微分方程的特徵函數。通過有限元方法可以得到各類微分方程對應的代數方程。解法也不一樣。

從最簡單的單自由度體系說起，比如上圖這個懸臂樑，假設只有自由端的豎向位移，按單自由度分析。它的shape function 是 $psi =frac{3}{2} left( frac{x}{L} ight)^{2} -frac{1}{2} left( frac{x}{L} ight)^{3}$ 。當x等於0的時候，它等於0，它的一階導數也是0，也就是固定端的位移、轉角為0；當x等於L的時候，它等於1，也就是自由端的單位位移。

使得自由端發生單位位移的力，也就是所謂的剛度，其實等於 $k_{e} =int_{0}^{L} EIleft( psi$ 。也就是說，我施加這麼大的力，自由端的位移剛好為1。

而這個單自由度體系的有效質量，等於 $m =int_{0}^{L} ho Aleft( psi ight) ^{2} dx=frac{33}{144} ho AL$ 。

因為是單自由度，所以只有一個自振模態。振動的圓頻率， $omega =sqrt{frac{k_{e} }{m} } =sqrt{frac{140EI }{11 ho AL^4} }$ 。

如果我們考慮受壓屈曲問題，在自由端施加一個軸向力，那麼這個軸向力對應的剛度是 $k_{0} =-int_{0}^{L} left( psi$ 。

體系的總剛度可以看作 $k_t=k_e+k_0P_0=frac{3EI}{L^{3}} -frac{6}{5L} P_0$ 。當這個剛度趨近於0的時候，軸向力趨近於屈曲臨界力。也就是說， $frac{3EI}{L^{3}} -frac{6P_{cr}}{5L} =0$ ，進而得到 $P_{cr}=2.5frac{EI}{L^2}$ 。

對比一下歐拉臨界力公式，對於一端固定、一端自由的受壓桿件，歐拉臨界力是 $P_{cr}=frac{pi ^2EI}{left( 2L ight)^2} =2.467frac{EI}{L^2}$ 。

為什麼得到的兩個結果有區別呢？因為我們把這個懸臂樑簡化成了單自由度體系，並且只看作一個單元。劃分的單元越多，結果就會越接近於歐拉臨界力的結果。

對於多自由度體系來說，道理是一樣的。只不過因為自由度的增加， $k_e$ 、 $k_0$ 、 $m$ 都變成了矩陣， $omega$ 和 $P_{cr}$ 也相應的變成了向量。求解 $omega$ 和 $P_{cr}$ 就變成了矩陣的特徵值問題。

單自由度的 $k_e-omega ^2m=0$ ，在多自由度里變成了 $left( S-w_{i}^2 M ight) phi_i =0$ ，自振頻率的平方變成了S剛度矩陣和M質量矩陣的特徵值。

單自由度的 $k_e-P_{cr}k_0=0$ ，在多自由度里變成了 $left( S-P_{cr} S_{G} ight) phi_i =0$ ，歐拉臨界力變成了S剛度矩陣和SG剛度矩陣的特徵值。

問題：請從數學、力學及工程意義上，說明屈曲分析和振型分析的異同點?

回答：這兩個問題，即振動和屈曲，假設是梁或者板的部件，系統方程都是由兩部分內能構成的。一個是彎曲變形能，這在兩個問題中是一樣的。振動問題的第二部分能是和分布質量成正比的動能。屈曲問題的第二部分能是和中性面的壓力成正比的變形能。變成數學方程後，振動的動能表達為速度的平方，或者說頻率的平方，就是問題的特徵值。而屈曲問題中，壓力本身就是特徵值。

這個問題不需要長篇大論的講，最本質的區別在於屈曲分析對應的是彈性穩定分析，做的是失穩方面的分析；振型分析是動力學裡面的內容。

屈曲和振型分析在力學上分別對應穩定問題和自振特性；工程上分別對應穩定係數或者極限承載力和動力響應分析的基礎工作；數學上都歸結為求矩陣的特徵值和特徵向量。屈曲特徵值對應穩定係數，特徵向量對應失穩模態；振型特徵值對應自振圓頻率，特徵向量對應振動模態。

如果是指的線性屈曲問題和振形問題從數學角度都是求特徵值和特徵向量問題。但是特徵值和特徵向量的含義不同。1.屈曲分析是穩定性分析，結構在較大的縱向荷載下會出現失穩狀態，即有不止一種穩定狀態，受到橫向荷載變形後將橫向荷載撤掉，仍可保持平衡。屈曲分析特徵值是荷載指數，特徵向量是指在此荷載下的另一穩定狀態的變形形式。這種屈曲分析也叫線性屈曲分析，如圧桿穩定，比較關心第一階的特徵值，這是結構失穩的臨界荷載，看結構在多大的荷載後進入失穩狀態。除了線性屈曲分析，有限元往往還計算後屈曲分析，是計算結構在失穩之後的變形狀態以及變形過程，如板的跳躍失穩過程的計算，這時結構的變形往往比較大，一般是幾何非線性問題，通常要採用弧長法計算。2.振形分析是分析結構在特定頻率下的振動形式，特徵值（更準確是廣義特徵值）是結構自振頻率的平方（這裡是角頻率），特徵向量是結構在此頻率下的振動形式，即振形。振形分析，也叫模態分析，主要分析結構的自振頻率，可以使結構在設計時自振頻率避開動荷載的頻率，防止共振。再就是用振形疊加求結構的頻響。

梁的屈曲一階模態和振動最低頻率模態一樣只是巧合罷了，因為控制方程完全不同，恰巧兩個常微分方程給出了一個形式的解。如果考慮a beam with elastic foundation, 或者直接連上均勻分布的彈簧，二者的一階模態就不一樣了。