所有PDE解析解都找到的話對科學界有什麼影響？

01-07

最近開始學pde。感覺是本科很多課程學到一定高度才有能力解決的問題。想起之前一個提問有人大概是說把一個所有目前不會解的pde的線性組合交給上帝去解，比較好奇如果所有的PDE現在都能解出解析解或證明其無解會對數學界科學界乃至更大的範圍有什麼影響。

謝邀。

關於PDE的問題，我想舉兩個最基礎的例子。一個是熱方程，另一個是波動方程。單純從這兩個方程就可以看出PDE的複雜性。

熱方程有所謂的regularisation，也就是它能改善解的性質——你給我一個只是連續但是不可微的初值條件，我拿去跑熱方程，一瞬間它在任何大於0的時間t都變得光滑了。你可能覺得這是個好事，但我也要告訴你這是個壞事。熱方程可以改善解的性質，意味著倒向熱方程（backward heat equation）會惡化解的性質。熱方程關於時間是不可逆的，也就是把t換成-t後，得到的方程（倒向熱方程）是不同的方程，這是因為熱方程對時間求了奇數次導。你沿著正時間軸跑，解的正則性（簡單地說就是可求導的次數）改善了，這當然就意味著，反方向跑，解的正則性就惡化了！所以對倒向的熱方程，你必須要提供光滑的（無窮可微）初值條件，才能保證解存在，而且解跑著跑著可能就在某個時間點從一個光滑函數退化成一個連續但是不可微的函數了。這種論證都不需要任何計算，簡單的邏輯推理就可以告訴你——不能指望所有的方程在所有的初值條件下都有解。（這個自然段的論證說明熱方程在時間軸上是有方向的，好像和熱力學第二定律有聯繫）

然後我們再看看波動方程。我們知道，波動方程沒有regularisation，也就是說他不會提高解的正則性。你給它一個二次可微的初值條件，它不會返回你一個三次可微的解。這是由波動方程本身的結構決定的，波動方程關於時間t是可逆的，也就是把t換成-t得到的方程還是波動方程，這是因為它對t求了偶數次導。如果它能改善解的正則性，那麼根據上個自然段的理由，反過來跑它就得惡化解的正則性，但是反過來跑和正過來跑對它來說是一樣的，所以就矛盾了。所以單純地分析方程的結構，我們就可以知道波動方程不是性質多麼良好的方程。

如果世界上的PDE都有性質良好的解，那麼我們就不會有湍流，不會有混沌，很可能也不會有生命。正因為我們的世界的物理規律本身就如此複雜，而PDE很大一部分就是在刻畫物理規律、建立相應數學模型，所以我們就不能指望PDE都會是我們想像的那麼美好啊。PDE的複雜性就是我們這個世界本身的複雜性的一種反映。

看了一個答案覺得莫名其妙，你覺得解析解是高雅的藝術品我沒意見，數值解確實暴力我也贊同，問題是這是怎麼推導出做pde的就要被鄙視了？藝術品有藝術品的價值，暴力有暴力的價值，你不喜歡就可以鄙視別人了？

不知道這位兄弟在其擅長的領域內是否已經做出來了什麼驚為天人的工作，以至於有資格鄙視其他同行。我們這些做optimization的根本就找不到什麼解析解，大部分問題甚至不一定都找得到全局最優。這位兄弟既然覺得應用數學裡的問題屬於「我可以做的你也可以做」，要不就來做一下唄，畢竟現在的commercial software都不一定能解實際應用中規模稍微大一點的問題，想必可以秒殺全球萬千應用科學家。pde數值解算起來也無比麻煩，如果能開發高精度高效率的數值方法自然也能驚艷全球pde圈。

都這麼高的學歷了，不知道什麼時候才能學會尊重各個不同的學科

其實你搞錯了一個事情：方程在無解和有解析解之間存在很多其他可能性。其實大部分方程時沒有解析解的，因為方程的解涉及到這個方程的邊界條件，很多不正則的區域（邊界不是無限次可導）上的方程的解肯定不是解析的。但是，現實世界很多區域不是正則的，比如多面體。但是，這不代表沒有其他「解」，也就是說，很多方程沒有解析解，但是可能存在弱解，粘性解，墒解等等。你首先必須定義你想要什麼解，我才能告訴你它存在不存在。如果你認真學習偏微分方程理論，空間理論是最重要的一塊，你必須學習各種空間，然後證明在這個空間中這個方程是不是有解。不同的空間之間存在各種關係。

回到你一開始的問題，我只想說我已經想好我自己三個孩子的名字了，老婆在哪呢？夢不要亂做，該幹嘛幹嘛去。

首先，我失業了。先mark

會讓無數數值工作者失業(by 田神)。

上面說讓做數值的失業的真的懂數值么？

讓我一個數值pde剛入門小弱來試著回答下

首先恭喜你先去拿千禧問題三維ns的1000美元！

1。如果你的解是級數解，沒什麼用，因為高維的維數災難沒有解決

如果有積分，那也沒有解決維數災難，可能在三維問題解決好很多了，現在三維ns還是計算量太大

最大好處可能可以解決數值粘性？我也不確定

2。如果我的初值邊值沒有解析形式呢

其次如果我的初值邊值都不是函數，是離散的sample呢

你可能覺得了不起插值一下，那麼問題還有，如果這個動力系統是混沌的，你帶的一點誤差就會被放大怎麼辦？這就是颶風預測難得地方，引用一段話

It is impossible to definitely predict the future state of the atmosphere because of the chaotic nature. Furthermore, existing observation have limited resolution in both space and time, especially over large bodies of water such as pacific ocean. Lack of observations introduces uncertainty into the limit state of the atmosphere. To account for this uncertainty ensemble forecasting is used.

這個也就有了一個重要的領域UQ（不確定性定量

3。說到餛飩，其實和well pose差不多，上面說過反熱方程病態

大多數逆問題都不是well posed有大量分析要做，做逆問題的大牛每年都可以發篇anals

條件數差的問題的逆問題就很難算，有著貝葉斯逆問題一大堆理論支持

說到逆問題

參數估計這個問題你也沒有解決（通過解算係數，高維的方程極端難解哦，不然大家高維幹啥不用隱格式呢？

4。一個基礎數學的人非常不了解的一點是

在基礎數學裡等價的式子，在數值里不一樣

舉一個簡單例子

大家知道x^ne^x從0到1積分關於n可以狄忒

你們試一下用計算機從0到n遞推（n＝0你都可以給出來精確解），過不了多久都出來負的值了

再試下從15遞推到0，15的時候你隨機取值就好，到0的時候就是精確值

這是一個算e的快速演算法

比用級數快多了

原因很簡單

從n-1遞推到n的時候乘以了n

但是回來的時候除以了n

這是一個線性問題

誤差也乘以／除了n

如果除了n過不了多久就變成0了

這種例子在優化里特別多，不然凸優化那本書那麼多題目哪裡來的啊

5。現在的PDE不一定是對的，建模還有很大的任務

前兩天還在CFD教材上看到

現在很多問題直接算NS效果並不好，這是因為NS建模有誤差，但是這是pde的問題，我們cfd不看這個。。。。。我們只管算ns

計算機圖形學的流體模擬要在ns上加很多正則項才能work。。。。。

先寫那麼多，到時候想到了再來補充

什麼叫解析解？級數行不？特殊函數行不？

如果可以的話，就根據方程定義一個特殊函數，然後根據方程研究那個特殊函數的性質。

這樣做從本質上講，那個函數只是一個為了說話方便的架子，跟研究方程區別不大。

給定一個某區域上的PDE（例如 Lu=f ，加一定的初邊值條件），在題主眼中只有兩種情況：1. 存在一個定義在該區域上可以寫出解析表達式的函數 u 滿足該方程 2. 不存在一個定義在該區域上的函數滿足該方程（問題中的「無解」就是這個意思？）。

事實是，只要微分運算元L中的係數不夠光滑，或f不夠光滑，或區域不夠光滑，PDE如果存在解，則該解一般不會是C無窮的，更別說解析。

理解什麼是「解析函數」再來談「解析解」；

不指定求解空間的所謂「無解」都是耍流氓。

影響不會很大而且我覺得不太可能實現呀目前pde理論上提出的弱解啦廣義解啦基本上已經可以滿足計算和工程上的要求了

對數學學科本身即使是最簡單的離散logistic方程從3以後都會有混沌現象還有三體問題也是混沌的常見例子之一這種方程的解的長時間行為是沒有辦法預測的而在自然界中混沌現象更是比比皆是這就是為什麼說人類的命運並不是先天註定的所以要麼沒有上帝要麼上帝困了寫了一個隨機生成的程序 233333 你要是非要問他要解析解我估計他可能只會攤手吧

很多時候人們所謂的解析解嚴格解的意思是解是一個初等函數，而這意味著對應的pde是比較簡單的。因為pde看上去很複雜，所以就不指望解是一個初等函數了。即便假設它的解存在，用這個pde的解作為一個特殊函數來定義，也需要用一些方法表示出來，比如級數解，所以還是很複雜的。因為這個自然界就是蠻複雜的。。我覺得對現有科學的認識影響不是特別的大，除非這個表示有一些特別好的性質

瀉不知道誰的葯。。。

如果pde都有解析解的話，那世界可真是無聊透頂。。。

如果所有PDE（包括非線性）解析解都找到，人類可以創造宇宙，這不是開玩笑，就比如核聚變的等離子體的方程如果能找到所有穩定的解析解，核聚變問題立刻解決，還有生命的起源問題，估計都跟PDE有關。

意淫完了，說點正經的。

也許找解析解這個方式本來就錯誤，線型微分方程有Galois理論，但是我不知道非線型微分方程是否有類似Galois理論，先研究描述PDE方程結構的數學工具才是正確的方向！

很多做分析的尤其是做方程以及小部分做微分幾何的要申請不到基金了，甚至會失業。比如我老婆

首先pde的的複雜性正是這個世界複雜性的一種體現；即使所有pde的解析解存在，在工程上也不一定會採用，因為計算的複雜度太高，就拿行列式的計算作類比吧，行列式的解析解，也就是通解是存在的，但是在計算上不採用，為什麼呢，一是計算複雜，另外也可能出現病態解，而往往採用的方法是用各種計算的方法化簡成對角行列式來求對角線上的乘積

我覺得不會有啥大影響，因為在實際應用和計算中，都直接假定解存在甚至經典解存在，然後去處理實際問題或者做計算分析了。

比如現在很火的，醫學工程中的計算血管流體力學，都已經可以治病救人指導醫生開刀了，但是ns方程大解的存在性還是千禧年問題。

占坑，我二十年後再來回答

沒啥影響，因為很多方程並不足以完全模擬真實世界。

題目改成所有PDE都有個計算性能極好的evaluation的演算法吧聽起來比較科學

n-s的精確解值100萬美元！（千禧年七大懸賞）！科學界的影響！估計飛機氣動外形會更優化吧！

先MARK一下，有空來答！

這個問題可能超出了本科PDE課程的範圍，需要思考以下兩點

1. 理解什麼是pde的solution

2. 理解pde和應用問題中的聯繫

比如sde (stochastic differential equation) 就有所謂的weak solution 和strong solution. 同理對pde來說solution的定義是在一個函數空間里討論的。在某個函數空間無解不代表在更大的函數空間無解。你也可以自己定義一個函數空間並給出你自己的解。

2. 在很多經典物理問題中pde的解幫助了人們深入認識了系統背後運行規律的本質。然而需要注意的是這是因為pde的使用和解的空間的定義恰好描述了相對應的物理系統。比如經典問題使用歐幾里得空間，描述廣義相對論用的是非歐幾何，混沌系統使用分數維空間。而從數學層面來講這種定義只是一個特例。即物理和真實世界的運行規律是固定的，而數學的建模和描述方法是人為的。

那麼簡單的結論是對於任意一個pde，在某個空間下的解是否存在只是一個數學問題而已，這與實際問題沒有本質聯繫。

在實際應用中，人們主要依賴數值演算法來解pde問題，至於解在某個空間下是否可以有特定的表達形式則不是問題的本質。

當然我相信在實際應用中某些問題analytical的解的發現或許可以幫助人們了解不同系統背後深層次的聯繫。

我對PDE不能精確求解一直是怨念很深的。如果PDE能精確求解，PDE就能成為一門高雅的藝術，而不是像現在純粹是計算機暴力求解。所以我很喜歡PDE的精確解，比如Schwarzschild度規，Kerr度規，它們簡直像藝術品一樣。

好了，扯遠了，如果所有PDE都能精確求解，那些做PDE數值求解水論文的都可以失業了，數學專業的人也不會鄙視做PDE的人了。

對了，我想問一下解析解真的不重要嗎？如果黑洞沒有精確求解人們會相信黑洞存在嗎？正因為黑洞能精確求解我們才確信黑洞的視界是嚴格的不可逃逸的。還有愛因斯坦本人不相信引力波的存在就是因為引力波是線性近似解出來的，不是嚴格求解的。 @Yuhang Liu