電路分析中拉氏變換怎麼理解？

01-07

最近學了拉氏變換，感覺雲里霧裡。計算的時候是直接帶入公式嗎？不知道為什麼每次都算不出來，答案參考過程也是一臉懵逼。而且也不明白這個定理是幹嘛的。網路上相關的課件和視頻也都找不到。急求！

既然題主的這個問題是在電氣工程及其自動化這個話題下面，那麼我想這個絕對不僅僅是個數學問題或者物理問題，當然了，這個問題所涉及的基礎知識還是數學知識。作為電氣工程專業的學生，學習電路原理或者電路分析這門課程，必然會學到用拉氏變換分析電路這一章節的內容。

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下面開始回答題主的問題，可能涉及到圖片比較多，建議最好WiFi或者電腦查看，同時可能需要您的一點耐心去看完。

首先你得理解什麼是拉氏變換？

拉氏變換法就是一種數學變化，它可將高階微分方程變換為代數方程以便求解。

請注意這裡的兩個關鍵詞 高階微分方程和 代數方程。後面我還會提到。

在電路分析這門課中，我們有學到過一個相量分析法，說的是啥呢，就是我們為了計算正弦量加減乘除方便期間，可以先把正弦量先轉化成相量形式，然後再計算，等計算完了再又把相量形式反轉換成正弦量。如下圖所示:

為什麼要這麼做呢？兩個字：方便！因為這樣轉換之後我們就可以把正弦量計算轉換為複數運算。

同理，拉普拉斯分析法也是為了方便。他可以將時域函數 f(t) (原函數小寫) 變換為復頻域函數 F(S) (象函數大寫)。

課本上介紹這一部分內容的思路是，首先它的定義式如下：

上面的式子存在條件是：

然後接下來電路原理或者電路分析課本上會給你介紹一大堆說是常用的函數的拉氏變換公式，比如指數函數，階躍函數，衝激函數，正餘弦函數等等，還會給你附贈一張唬人的拉氏變換表。作為一個過來人，明白告訴你其實只要把前幾個加粗的函數的拉氏變換形式記住就完全可以應付考試了。

然後課本又緊接著會告訴你拉氏變換的一些性質，比如說線性性質，導數性質啊，積分性質等。。。。。最後還會再贈送同學們兩個定理：（其實這兩個定理有時候還挺有用的）

最後課本會讓你們練習一些反變換的例子。這些套路在目前的電路原理課本上都基本類似。

請注意：到此為止，上面的內容和電氣專業沒有一毛錢關係，其實只要你學了《信號與系統》《複變函數》或者類似的課程，就會學到上面的基礎內容（數學）。

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那我們電氣專業為啥學這個呢？或者說我們本專業學的拉氏變換和兄弟專業有何不同呢？

那麼下面的內容才是我們專業的重點：用拉氏變換法分析電路！！！

重點在這個用字上，之所以說是用，說白了拉式變化只是一個工具而已，也沒有多麼唬人。

那麼怎麼用呢？別急，慢慢往下看。

1.變換方程法——也叫經典法

思路如下：

1、求出t=0-時的初值；

2、列出t&>0後的微分方程；

3、對微分方程進行拉氏變換；

4、求出響應的象函數；

5、利用拉氏反變換求時域響應；

我們可以看到，上面的過程中分別在第3步和第5步用到了拉氏變換和反變換這個工具。

但對於這種用法，我並不推薦，為什麼？因為這個做法其實就是解微分方程的一種方法嘛，可問題難點在於:對於一個給定電路結構，一階二階電路還好說，要是三階四階電路乃至更高階的怎麼破？這要列寫微分方程簡直就是一種折磨。那還可以怎麼比較好得解決這個問題呢？

這時候也別急，我們還有第二種方法：

2.變換電路法——也叫運演算法

說明一下：就是在S域中（復頻域中）建立R、 L、 C等元件的模型，組成S域中的相應電路，求出響應在S域中的象函數，最後再利用拉氏反變換得到時域響應。

兩大方法作圖比較如下：

重點知識：下面我們詳細說說R,L,C電路基本元件該如何建立S域模型？

1.電阻R 最簡單，它的S域和時域沒有多大變化，就是小寫變大寫。

2.電容 C

由電容電壓的表達式轉成S域而來。

備註：對於電容我們較多使用它的串聯電壓源模型。

3.電感 L

由電感電壓的表達式轉成S域而來。

除此之外，可能還有電源模型，互感模型，受控源模型等等，有興趣可以去翻翻資料了解。 上面的R,L,C三種元件的S域模型我希望你能背下來，只有好處沒有壞處！！！

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以上是電路元件的改造，還有一個值得思考的問題是，此時電路的中原先的一些基本原理和定理他們會不會變呢？往下看

1.歐姆定理——沒咋變

2.基爾霍夫定理——沒咋變

3.正弦交流電路

4. 類似的我們可以做一下準備

電路頻域分析的各種方法(節點法、割集法、網孔法、迴路法)、各種定理(齊次定理、疊加定理、等效電源定理、替代定理、互易定理等)以及電路的各種等效變換方法與原則，均適用於復頻域電路的分析，只是此時必須在復頻域中進行，所有電量用相應的像函數表示，各無源支路用復頻域阻抗或復頻域導納代替，但相應的運算仍為複數運算。

以上的以上，都可以說是準備工作，在正式解題之前有必要再說一下運演算法解題思路及步驟，老話說得好，磨刀不誤砍柴工嘛：

1、將激勵源的激勵函數作拉氏變換；

2、求出儲能元件在0- 時刻的初值；【求初值請參考電路原理相關知識】

3、畫出運算電路模型； ——難點和重點

4、套用方法、定理求解響應的象函數；——電路原理前幾章知識

5、利用拉氏反變換得到響應的時域解。

大約看到這裡，你可以自己去親自找些題目來演練了，同時謝謝您的耐心。

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簡單舉一例說明，已知：Uc(0? ) = 100 ， $i_{L}$ (0? ) = 0.5 A , t = 0時閉合開關k, 求 $i_{L}$ ， $u_{L}$ 。

計算初值並畫出運算電路圖如下：

看到上面這個電路圖，再想一下我開頭說的那兩個關鍵詞，可將高階微分方程變換為代數方程以便求解。此時的電路是不是就是簡單的數值電路，是不是你就可以輕鬆的使用迴路法啊，結點法等等工具來求解這個電路了？

具體答案我就不求解了。

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總結：運演算法其實很好用也很簡單，按照上面寫道的解題思路來，多聯繫幾道題就ok了。

【計算的時候是直接帶入公式嗎？】

不知題主說的是什麼公式，是不是電路元件的模型式子？如果是的，這個直接帶入。但請注意動態元件L和C的初值有時需要自己計算，請細心。

【每次都算不出來，答案參考過程也是不知道為什麼每一臉懵逼。】

作為初學者，算不出來，應該是上面所提到的數學基礎不牢固，或者是做的題少的緣故。建議按照我上面寫的方法的思路步驟一步一步來，不要著急，做電路一定要細緻一些，這樣答案基本就不會出多大問題了。

【而且也不明白這個定理是幹嘛的。】

注意，這不是一個定理，只是個工具。

【網路上相關的課件和視頻也都找不到。急求！】

http://jpkc.whu.edu.cn/jpkcsite/dl/uploadfiles/dzja/1004.swf

拉氏變換與電路分析

用拉普拉斯變換法分析電路

5-5線性系統復頻域分析法

希望對題主學習有所幫助。

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補充：

1、運演算法可以直接求得全響應。

2、用0-初始條件，跳變情況自動包含在了響應中。

題主的這個問題與其說是物理方面的，還不如說是數學方面的。

我們先來看一個類似的現象：例如計算12345+45678，這個計算當然很容易。但我們如果計算12345 X 45678，這就不大容易了。如果再計算類似 $sqrt{3.1416 imes 3^{12} imes 1.56 imes 10^{-8} }$ ，這顯然就更麻煩。

在計算機未發明之前，人們發明了一種計算方法，叫做對數。例如把 $10=10^{1}$ ，它的指數項是1， $100=10^{2}$ ，它的指數項是2。如果我們把某具體數換成指數項，我們就可以把乘除運算變成加減運算，把乘方和開放運算變成乘除運算，這樣就極大地簡化了計算的繁複程度。這種計算方法叫做對數運算。

例如：54的常用對數是1.7324，188的常用對數是2.2742。1.7324+2.2742=4.0066，再求反對數，得到 $10^{4.0066} approx 10153$ 。那麼實際值呢？54X188=10152，我們看到計算值十分接近。

上例中，我們把乘法運算通過對數變換變成加法運算，得到結果後再反變換回來就行了。

大家讀高數時讀到常微分方程，求解起來十分麻煩。在電氣專業和自動控制專業中，我們遇見大量求解求解常微分方程的計算。我們能不能利用某種方法把它簡化呢？答案是肯定的，這就是積分變換。

我們把實數域中的原函數映射到複數域中去，於是實數域中的微分方程變成代數域中的分式運算，極大地簡化了運算的複雜程度。運算完了，在來個反變換，回到實數域中，我們就可以得到結果了。

拉普拉斯變換的意義就在於此。

下圖是拉氏變換表：

有的時候，就不再變回來了，直接利用複數域中的結果。這就是自動控制原理中的傳遞函數。

這種運算方法又叫做積分變換，有一門課程，叫做《複變函數與積分變換》，講得就是拉氏變換和傅立葉變換。

拉氏變換屬於時域變換，而傅立葉變換屬於頻域變換。

由此可知，複數，這個在中學生看來無比玄妙的東西，在這裡卻有了應用價值，並且還非用不可。

從對數變換我們看到，原函數與變換後的函數，它們的定義域和值域不同；在積分變換中，不同之處就更大了，也顯得更有趣味性。例如歐拉公式可以從複變函數中直接推導出來。

歐拉公式的精妙之處在於：它把自然對數的底e，還有虛數單位j，還有自然數的最小值1，都給聯繫到一起了。

對於學生來說，積分變換這門課還非要學好不可。積分變換，不但以後入職後常用，連寫論文都要用到，它是自控專業的最基本工具。

不論是Fourier變換，Laplace變換，還是z變換，都在做積分運算。

而積分的本質是內積，是在基上的投影。

所以，這些變換的本質，和用一個二維坐標來表示一個平面上的向量並無本質區別。

只不過，在平面上表示向量的時候，基只有兩個，就是兩個過原點的，相互垂直的單位向量（0,1）和（1,0），而這些變換的基，有無窮多個罷了。

Fourier變換是把函數投影到一系列正弦函數上。這個過程中，往往會把時域的變數t消掉，導致只有頻域的變數w存在。比如把「振幅-時間圖像」變成了「分貝-頻率圖像」。因此可以觀察到函數的頻域特徵。

Laplace變換是投影到一系列幅值指數衰減的正弦函數上。因為幅值衰減，所以可以做這種投影的函數比Fourier的要多，應用範圍更廣。如果去掉衰減，那麼又變成了Fourier變換。

這些變換的意義，一方面是可以直觀看到在哪個頻段有波形，哪裡沒有，從而知道原函數的基本構成。另一方面是可以通過計算極點和零點，預測函數作為傳遞函數的時候，對外界的激勵做出何種響應。還有就是，來回變換一下，微積分的方程一下子變得很好解了。

參考：怎麼通俗地介紹拉普拉斯變換、傅里葉變換和 z 變換？ - 數學

為啥沒人提拉氏/傅氏變換的核函數是線性系統的特徵函數。

就是說復指數函數經過線性系統變換後除了乘一個複數項係數，本身保持不變，因此線性系統的性質可以完全化簡為復指數函數線性組合（由線性性）的性質。這和線性代數里坐標系下的線性變換是一樣的（除去可能是無限維范函空間的差別，我知道多一個專有名詞點贊數就會少一半）。

手邊正好有複變函數的教材，貼幾張圖

1、拉氏變換的來歷如下（所以樓上張工@Patrick Zhang文中的「拉氏變換屬於時域變換，而傅立葉變換屬於頻域變換」這句話我認為是錯誤的）

2、由於拉氏變換的微分性質，我們將原函數變為拉氏像函數，可以比較方便的處理微分方程，也就是題主所問的在電路分析中的應用。

3、再利用拉氏逆變換從結果中的像函數變為原函數

4、以下為實例：

以及電路分析中的簡單實例：

小結還是相當不錯的。

5、這本書是：

需要提醒的是拉氏變換在此處只是電學領域極為簡單的應用，後續的自動控制原理及相關專業基礎課即是建立在拉氏變換的基礎上，同樣信號分析與處理亦是建立在傅立葉變換的基礎上。因此建議題主及早打好相關的數學基礎。

以上，望斧正。

拉氏變換實質上就是求解積分微分方程的一種辦法。我不知道題主之前是否學習過複變函數。因為在電路的線性微分方程求解中，拉普拉斯變換可以很有效的簡化計算，題主要是學習電學相關專業以後還會學到自動控制原理。在拉氏變換，傅氏變換，和時域方程三個過程來回變換中還會應用。

拉氏變換不是定理，而是一種方法。在求解電路問題的時候還是記得積分微分特點就行

Il（s）Ls-i（0-）L＝V（s）

I（s）/sC+v（0-）/s＝V（s）

對應的就是變換的s域原件和添加的電壓源。電流源那個一樣道理，兩者會一個就能做題，推導一下沒啥。

拉氏變換就是用來求解常微分方程組的解，是一套數學工具，並沒有特定的物理意義。好處是將微分方程組拉氏變換後，通過四則運算就能得到輸出結果的拉氏變換，將其逆拉氏變換即可得到時域的解。在計算的過程中只需要直接帶入公式即可，注意有電路初始值的拉氏變換。

我猜題主是不了解下圖的微分形式和積分形式。

電路的時域分析的數學本質就是微分方程的求解，我們知道大多數微分方程是不易求解的；進行拉氏變換主要原因就是為了規避微分方程的求解，使求解相對簡化。另外，拉氏變換是分析線性時不變的有效工具。由於積分變換本身具有濃重的數學色彩，只有通過更加深入的學習，才能深刻地體會到其中蘊含的物理意義。

算不出來的話應該是複變函數與積分變換有的概念和公式還沒弄明白。

電路做拉氏變換是為了化簡用的，把時域中可能包含的難以積分微分的初等超越函數轉化為能夠利用代數運算做變換的多項式，從而大大簡化了計算過程。

有時候甚至用拉氏變換也化簡不了的，在一定條件下可以用Z變換。

總之都是分析電路時所用的化簡工具。

很簡單，拉普拉斯變換的意義就是:

它可以把一組微分方程組轉化為複數域內的代數方程組，經過計算還可以把結果用反變換再轉換到實數域…

電路中就是把時域微分方程組變換到復頻域內分析，然後根據需要可以再轉換到時域。