可以找一個和已知正交矩陣乘法可交換的正交矩陣嗎？

隨機生成一個n維正交矩陣A，如何才能找一個正交矩陣B，使得AB=BA?

最簡單的情況是B是A的冪次，這樣A和B當然是可交換的，除了這種情況，是否還有其他非平凡的B滿足這個條件？

和A可交換的正交矩陣構成一個子群。原因是假如B和C都和A可交換，那麼有BCA = BAC = ABC，得到BC和A可交換；假設B和A可交換，那麼由BA = AB可以得到AB^(-1) = B^(-1)A，得到B的逆和A可交換。

請問這個子群的維數可以確定嗎？如果它足夠大，又可以參數化，這樣就可以從中隨機選擇一個B，讓B與A可交換的同時，還能保持一定隨機性。

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先說復的矩陣，假設A是n階復正交陣，所以可以復正交對角化，把相同的特徵值放在一起，這樣得到的對角陣就可以寫成分塊對角陣，每一塊都是單位陣的倍數。即，其中是彼此不同的單位複數，.

容易證明，與這個分塊對角陣可交換的矩陣全體也是分塊對角陣，其中每一塊上是相應維數的正交陣。也就是說若，則，其中這個相似用的正交陣與A的相似矩陣相同，裡面的為階復正交陣（酉矩陣），所以這樣的矩陣全體應當為，維數就是每個加起來。

如果A是隨機取的，「A有相同的特徵值」是一個多元多項式的零點集，應該可以推出在正交陣全體裡面是零測的。（不知道對不對，感覺是對的，但是還沒想到嚴格的證明。）所以幾乎確定會選擇到特徵值兩兩不同的A，此時與A交換的正交陣在拓撲上恰好是n個單位圓的乘積，因為與同胚。

如果A是實矩陣，A的實標準型是分塊對角陣，其中有兩塊分別是單位陣和負的單位陣，剩下的分別是2階的旋轉，即，其中是旋轉的矩陣，具體表達式就是cos,sin,-sin,cos這樣子。

如果假設A的特徵值兩兩不同，那麼這個就依賴於n的奇偶性。如果n是奇數，那麼分塊對角之後有且僅有一個1或者-1，此時，其中兩兩不同(mod 2pi)。容易證明，若，則，其中相似的正交陣是同一個。這裡不需要兩兩不同。所以拓撲上這樣的矩陣全體是兩個的並。

如果n是偶數，那就討論一下A，或者裡面沒有，或者是有，一樣的，具體結論就不寫了。

我也不知道是不是特徵值兩兩不同的正交陣幾乎就是全部了，如果不是的話，那還得再討論一下。還是正交相似到分塊對角陣，不過這次換一個標準型。假設A可以相似到

其中，為階方陣，兩兩不同(mod 2pi)，並且.

可以證明（過程有空再說），如果，那麼可以用同樣的正交陣相似到，其中

這裡面，是正交陣，為階方陣，滿足和分別是某個酉矩陣的實部和虛部。也就是說，與A這樣的正交陣相似的矩陣全體同胚於

寫到這裡突然想到一個問題…………………………把矩陣相似標準化貌似是件計算非常複雜的事情。我們看到這玩意用標準型的語言可以討論的很清楚，但是沒辦法內蘊的說明，也就是只寫成關於A的表達式。因為我不懂計算，只說一下可能有關的結論性的東西。如果可以把A做譜分解（不知道難度怎麼樣），那麼事情是完全一樣的，把相似標準型的語言換成譜分解的語言就可以了。另一方面，如果只考慮那些特徵值兩兩不同的矩陣A，從上面的討論可以看出與A可以交換的矩陣恰好都是A的連續函數，如果是考慮復的矩陣的話，那就恰好是單位圓到自身的連續函數，那麼總歸可以寫成Fourier級數什麼的，這樣也許比較好處理。但如果A不滿足特徵值兩兩不同，那麼有些與A交換的矩陣不是A的連續函數，不知道怎麼做了…………

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我怎麼感覺這就是一個正交群在自身上共軛作用，然後考慮某個點的stabilizer的問題呢？

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