如何理解範數的等價性？

01-07

範數等價性表述為
這其中mM，

均未說明大小
那上式是如何得來的呢？

說一個集合是開集，隱含的意思是，開集里的任何一點周圍都有開鄰域，即以此點為球心的"小球"包含在此開集內。小，表示可以任意小，所以常數m，M的大小是無所謂的。球，暗示用到了距離，這個距離可用不同的範數來定義，既然這些範數相差一個常數，得到的開集自然沒什麼差別（因為小球可以任意小）。

開集一樣，拓撲也就一樣了。

容易看出只要說明Rn中任意一個範數和二範數等價。

定義B為二範數下的單位球面，那麼B是緊集(有界閉)。

對於Rn中任意範數p(x)，由於p的連續性，p在B上可以取到上下確界，記上確界為M，下確界為m，則M≥m＞0。則對任意x∈B，有

m≤p(x)≤M (1)

噹噹當~這就是那個m和M的一種來源~

然後對於任意y∈Rn，令x=y/(y的二範數)，帶入(1)即可。

(打得好醜啊抱歉)

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(以下個人看法個人看法個人看法，歡迎抽打)

其實個人感覺m和M的大小不是非常重要...就好像有的時候我們只是要有一個界來保證一些性質，但是具體多大對於性質沒什麼影響。

我覺得重點可能在於這說明了Rn中依某一範數收斂可以推出依其他範數也都收斂。比如Rn中分量收斂等價於依二範數收斂，等等，一來判斷收斂性的時候可以挑一個好判斷的，二來在沒有指明某處範數是怎麼定義的時候，你仍然可以知道諸如收斂或者說有界之類的性質...

還有就是，對任何有限維賦范線性空間，它上面定義的範數都是等價的。這就很帥氣，比如可以用到矩陣範數上判各種收斂性。(為什麼我一直都在說收斂性orz)

如果你是想知道範數等價性的證明，你可以去看矩陣分析方面的書，向量與矩陣的範數。

如果你是想知道範數等價性的意義，我講一個自己的理解。向量範數就是向量「大小」的一種刻畫，向量的一些性質通常用其範數的一些估計式來描述。所謂範數等價，意思就是說，想要得到向量的某種性質，無論用哪種範數來估計，都可以獲得，因為各種範數之間可以相互控制。也就是說，使用向量的範數做估計（比如誤差估計），用哪種範數方便就用哪種，得到的結論本質上都是一致的。

賦范空間中，範數的最大的作用並不是計算出一個數值，而是判斷收斂性。範數等價也就是兩個空間有等同的收斂性

歪個樓，空間距離和心靈距離等價嗎？那要看是否有常數能夠相互控制，即是否有相同的價值觀：）