向量空間的維數是不是就是對應矩陣的秩？向量空間的基是不是就是對應列向量組的最大線性無關向量組？

01-07

感覺線代課本里翻來覆去說的都是同一個東西…矩陣向量組向量空間性質都是一樣的是我的錯覺嗎？

問題的答案是正確的。其實從定義上就能知道結果，下面結合坤博的筆記回答一下：

可能知識點不止問題問的，但是已經包含了。

一、線性無關與線性相關

1.1背景知識

首先強調，接下來我們談論的概念都是基於向量組的，而不是基於矩陣。線性無關，線性相關是向量組內的關係，基也是一個向量組，不要與矩陣概念混淆。

首先從之前學習的 Ax = 0 方程談起。

假設 m*n 的矩陣 A：

1.2 線性無關與線性相關

我們之前也接觸了線性無關與線性相關的相關概念。接下來直接給出定義：

·線性無關：

除係數全為 0 的情況外，沒有其他線性組合方式能得到零向量，則這組向量線性無關。

設向量組為 1 ， 2 ， 3 … 。即 c 不全為 0 時，任何 1 1 + 2 2 + …… 線性組合的結果都不為零，則此向量組線性無關。

·線性相關：

除了零組合之外還有其他的線性組合方式能得到零向量，則這組向量線性相關。

註：如果一個向量組中有零向量存在，那麼這個向量組一定是線性相關的。舉幾個例子感受一下上面的概念：

1.3零空間的作用

根據上面的例題 4，我們再從矩陣的零空間與矩陣列向量角度重新定義向量組的線性相關/無關。假設現有一 m*n 矩陣 A：

·如果 A 各列向量構成的向量組是線性無關的，那麼矩陣 A 的零空間中只有零向量。

·如果 A 各列向量構成的向量組是線性相關的，那麼矩陣 A 零空間中除零向量之外還一定有其他向量。

很好理解上面零空間角度的定義。因為零空間反映的就是 A 各列向量的線性組合。

從秩的角度看來：

·線性無關對應向量組構成的矩陣，秩為 n，此時沒有自由變數，零空間中只有零向量存在。

·線性相關對應向量組構成的矩陣，秩小於 n，有 n-r 個自由變數，零空間中有很多向量。

1.4 生成空間

這個總結筆記已經回答了題主的問題，希望能夠幫到大家。

的確是一樣的。

向量空間的維數就是對應矩陣的秩。

（從計算的角度來理解是這樣的，但是從概念來講，是不一樣的。向量空間的維數就像是空間的維數，例如立體空間的三維。而矩陣的秩表示的其他的概念）

向量空間的基就是對應列向量組的最大線性無關向量組.

(向量空間的基是向量空間維度的表示，三維就有三個基本量。而最大線性無關組是向量組的簡化。理解好矩陣和向量組的關係很重要。矩陣的意義就在於將空間問題，多維問題轉化為方程組，利用已知的方程組的性質，來求解矩陣問題，進而解決空間問題)

這也正是數學的意思所在。

沒有人回答……然而我也不知道，反正是一坨漿糊

不對吧，對於齊次線性方程組的解空間來說，他的維數是未知量個數減去對應矩陣的秩

正解，對噠。

沒錯看定義不就知道了