對於物理學家來說一個數值解有多大意義？
01-07
數值解是非常重要也是非常有用的。
數值解可以從兩個角度進行理解。一種是為了對物理系統有比較直觀的認識，即便有了解析解，還要作圖，得到某條曲線。這在實驗上體現的也很明顯，做實驗的只能得到數字，得到某條曲線，不會得到一個解析解。這種情況下的數值解，是輔助功能。
另一中理解，是在沒有解析解的情況下的數值解。
對於一個物理系統（比如說給定哈密頓量的量子體系），可以從解析和數值兩個角度進行求解。從解析角度看，可以嚴格得出解析解的系統少之又少，像氫原子體系和諧振子。但稍微複雜的系統，比如說氦原子系統，就不能嚴格求解。對於不能嚴格求得解析解的，如果系統的相互作用比較弱，可以藉助微擾論，一階一階進行展開。在高能物理和凝聚態理論中，經常需要計算格林函數，計算各種費曼圖。（計算格林函數是比較複雜的，可能需要進行編程，得到數值解。但這個數值解，應該屬於第一種理解。）如果微擾論 work 的，此處認為是可以進行解析求解（即便會出現迭代方程之類的，歸為一類。）但是，，，如果系統的相互作用比較強，微擾論無法使用，怎麼辦？？？？比如說凝聚態物理中的強關聯電子系統，像高溫超導，量子自旋液體等，不能用微擾論求解。強關聯繫統一直是凝聚態中最為核心也是最具挑戰性的問題之一。為了弄清楚高溫超導的物理圖像，人們提出了一些簡化的格點模型，哈密頓量也就是相互作用項，作用在格點處的粒子上。伊辛模型就是一種格點模型。描述強關聯繫統的格點模型，很難找到解析解，主要是藉助數值解來弄清楚系統的物理性質。整個數值計算的發展歷史，是一個如何發展演算法求解量子格點模型(或者說量子多體系統吧)包含的歷史（嚴格來說，好像不正確，貌似忽略了密度泛函理論，即第一性原理方法）。量子多體系統求解困難，根本原因在與希爾伯特空間會隨粒子數的增加而呈呈指數增長。
求解量子多體系統的方法，目前有五種，都是數值解的辦法：
1.直接對角化哈密頓量，但由於計算機硬體（內存，速度等）限制，可以對角化的矩陣不會很大。2..量子蒙特卡洛方法，但對於費米系統和阻挫體系存在根本性的符號問題，無法解決。3. 動力學平均場方法，但這個不適用與一維和二維。4. 密度矩陣重整化群（DMRG），適用於一維和准二維情形。5. 張量網路態方法（Tensor Network States)，一維和二維。DMRG可以歸為張量網路態方法（TNS),這時目前求解強關聯體系最有前途的方法。下面簡要介紹一下DMRG和TNS的發展歷史。強關聯體系最著名模型有兩個，一個是Hubbar model,另外一個是Kondo雜質模型。一維Hubbard model ，被 Lieb 等人解決了，是數值解，當然也是嚴格解，目前二維還沒有得到嚴格求解。關於Kondo雜質模型，學過場論的，應該熟悉發展了重整化群的 K. G. Wilson，作為這方面的大牛，他提出了數值重整化群（Numerical Renormalization Group)的方法，並在Kondo雜質模型中大獲成功,，此方面的工作使他獲得了1985年諾貝爾物理學獎。請記住，這是一個純數值的方法！可是NRG除了在Kondo模型中取得成功外，在其他模型中，並不work。Wilson的學生Steven R. White，在這個問題上花費很大功夫，絞盡腦汁，探尋不成功的原因，提出種種改進方案，終於在1992年提出了密度矩陣重整化群(Density Matrix Renormalization Group)方法。經過多年的發展，許多技巧被用到DMRG中，在一維體系中，其計算精度達到了令人髮指的程度。DMRG的成功，宣告著一維量子體系的成功解決。DMRG可以用於准二維，但在二維存在著根本性的困難。在2003年，一位做量子信息的學者G. Vidal，提出了一維量子態的一種矩陣乘積態表示（Matrix Product States），後來很快被F. Verstaete 等人推廣到二維(Projected Entangled Pair States)，取得了成功。現常將一維和二維統稱為 Tensor Network States ( TNS) 或 Tensor Product States (TPS). 其實DMRG本質上可歸為TNS的一維表示，即MPS. MPS（或DMRG）為什麼會在一維取得成功呢？本質上是某一大類一維量子體系的基態糾纏滿足Area Law。對於多體系統，最關鍵是把糾纏刻畫清楚。基態滿足Area Law，使得描述體系的自由度的多少只需要整個希爾伯特空間中很小的一部分來表示。DMRG 和 Tensor Netwrok States 等數值方法發展，大大刺激了量子多體物理的發展，特別是對於自旋液體，topological order, chiral states 等.這些新奇的物理，完全不同於凝聚態中傳統的朗道相變理論，它們不能用一個局域序參量來刻畫，需要用體系的整體參量來刻畫，即topological order與entanglement有很大關係。以上。
做得好的：近有 Francis Pretorius 靠著雙黑洞併合的數值解拿到了 Princeton 物理系的教職；遠有 Scott Tremaine 靠著只有 88 個質點的星系旋臂結構模擬在學界奠定大神地位。
做得不好的：我做大尺度結構的解析微擾論時，得依賴數值模擬來對各種參數下的微擾解做準確性的驗證——我們只有一個宇宙，實驗是不能做了。
你說茲磁不茲磁？
數值解的意義，取決於你能從中看出多少新穎的物理，這些物理用其它方法能不能得到。同樣的判據適用於解析解。
對於物理學家而言重要的當然是物理意義。你要是能從數值解中預言新的物理，那自然是意義重大。你好不容易拿到了解析解，結果卻沒有什麼新的理論意義，物理學界也是不care的。所以，It depends.
並不是所有的問題都有解析解，對於不適定問題，是沒有解析解的，目前多通過正則化方法求其數值解。
你要知道對於引力來說numerical 都很難。。。。我覺得本質的原因是物理畢竟不是形而上學。
格物致知，從實驗中來，到實踐中去。公式可以簡單美觀, 解析之解卻有時複雜難算，所以估算是伴隨物理一生的。如果數值解不重要，我想牛頓也沒心情做迭代法玩兒,而密度泛函就是破壞美感。
不要說話，看，千萬個電子的薛定諤方程多美。
當然是數值解更有意義。物理的精髓就在於近似，丟哪項、不丟哪項是很需要技巧的。比如以HEP來說，經常幾十甚至成百上千展開項，不近似是不可能的。沒有Mento Carlo、沒有numerical怎麼研究。北京的BES、日本B工廠、歐洲的CERN等等，每天那麼多數據，都要用到數值方法。這個時候Mathematica就不好使了，很多時候還要用到Fortran這門古老的語言。有用吧。
數學渣渣如我，在算一個里卡蒂方程都算不出來的情況下，會用計算機求數值解能解決燃眉之急。
當然，可以解析解如上面所說，能有很多本質上的東西可以挖掘。
解析解相當於你在商場里看實物 數值解相當於網購 有些東西要去商場買 有些東西網購就行了快還便宜
個人認為，對做實驗的來說，數值解就是全部。對做理論的來說，他們的目標應該是在任何情況下都能給出實驗上足夠精確的數值解。為了實現這一目標，他們試圖尋找解析解。如果找到了，解析解的價值當然是更高的，因為它給出了無數種情況的足夠精確的數值解。但找解析解不是唯一目標，甚至不是最重要的目標，我們不該把這當成物理的核心。太過追求完美和凝練的形式可能會使物理研究走入歧途。畢竟物理不是數學，更不是形而上學。吐槽的說下，計算機的發展，使得科研變成了一種廉價的體力勞動，從而使得在研究生擴招的大背景下，廣大的博士碩士同學，可以不受條件，甚至於理論基礎的局限，開展「數值研究」，發paper，最終順利畢業。
我這裡不是說數值解沒有科學意義，我這裡說的是另外一個問題，姑且可以算作是數值解對於中國的社會意義吧～
光光是一個單剛體運動的數值模擬方法就有很多門道。有時候數值解本身就是一門學問，就像誤差分析本身是一門學問一樣。對於計算機輔助工程，數值解的意義甚至要超過解析解。
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