矩母函數屬於數學中哪個部分？

01-07

想系統性學習一下數學關於矩母函數、母函數相關知識，求問他是屬於數學中那個體系裡面的內容？概率論還是泛函分析啥的？另外能推薦文檔或者書籍介紹數學的整個體系就最好了。

感謝邀請~~

矩母函數（母函數或者生成函數，generating functions）被MSC2010分類在：

後面所提到的33Cxx, 33Dxx都是涉及特殊函數（special functions）的主題。所以我想generating functions可以同時作為組合學和特殊函數理論的子課題。

在特殊函數領域說到生成函數不得不提H.M. Srivastava和H.L. Manocha的著作：

A treatise on generating functions

這本書被引用過900+次。內容不難，涵蓋了所有基本的涉及特殊函數的有關generating function的結果。

此外，E.D. Rainville所著Special functions中也有一章是介紹generating functions的。（這本書谷歌學術顯示有2495次的引用。）

組合學領域中，涉及generating functions的專著我不太清楚。但是，大部分的組合數學教程都會有相關的章節，介紹例如Stirlling數，Bernoulli數相關的生成函數。

中文書籍中有王天明編著的《近代組合學》，大連理工大學出版社。其中也有專門的介紹：

希望對你有用~~

生成函數是從冪級數中抽離出來的代數對象，一般最常見是用在組合數學中的計數問題，最典型的例子是解費波納西數列。在@羅旻傑的答案中提到MSC將其分類在組合數學底下就是這個原因。幾乎可以說 enumerative combinatorics領域就是利用生成函數作計數以及形樣配對的總和。

不過除了組合數學以外，在概率論跟統計中也不時會用到。例如利用動差生成函數(moment
generating function)來估計
tail probability，或是利用機率生成函數研究
Golton-Watson-Process。

在這邊介紹一本簡單的入門書，Herbert
Wilf所著的
Generating Functionology。

另外一提的是，由於組合數學和計算器科學兩者間密切的關係，在理論計算機科學中也有一派時常運用生成函數，並且催生了Analytic
Combinatorics 此一領域。

Analytic Combinatorics 此一領域主要是在得出生成函數後，利用複分析，解析數論以及代數幾何中的工具去研究生成函數，並由此推算數列的漸進行為(asymptotic
behavior)，這方面的研究可以看
P. Flajolet 以及
R. Sedgewick 所著的
Analytic Combinatorics

概率論