隨機變數除了離散型和連續型還有什麼類型？

01-07

今天在概率論課本上看到，隨機變數還有其他類型，忍不住想知道一下

除了離散型隨機變數，連續型隨機變數，以及他們對應的測度的convex combination構成的測度對應的隨機變數外，存在其他類型的隨機變數。

簡單的說，所謂離散型隨機變數（連續型隨機變數）指的是，該隨機變數對應的測度是absolutely continuous with respect to counting measure（Lebesgue measure）的。測度集中在Cantor集的測度，不 absolutely continuous with respect to counting measure和Lebesgue measure。

嚴格的說，我們有隨機變數 $X: (Omega, mathcal{F}, mu) o (mathbb{A}, mathcal{S})$ ,則我們可以定義一個 $(mathbb{A}, mathcal{S})$ 上的測度 $u : mathcal{S} o mathbb{R}$ ,即對於任意 $A in mathcal{S}$ :

$A mapsto mu(X^{-1}(A))$

$(mathbb{R}, mathcal{B})$ 上的Lebesgue measure記做 $lambda$ , $(mathbb{N}, mathcal{P}(mathbb{N}))$ 上的counting measure記做 $#$ 。滿足連續性隨機變數定義的條件是可以寫作 $u(A) = int_A f dlambda$ ，離散型隨機變數可以寫作 $u(A) = sum_{k in A}f(k) = int_Afd#$

注意：對應的必要條件分別是 $lambda(A)=0 implies u(A)=0$ 和 $#(A)=0 implies u(A)=0$ 。

-------------------------------------既不是連續型，也不是離散型的隨機變數---------------------------------------------

給定定義在 $[0,1]$ 上的Cantor集 $mathbb{C}$ ，我們定義一個分布函數 $F(x) = sup (mathbb{C} cap( -infty,x])$

這個分布不是離散的，因為所有可數無窮集合的測度是零，但可數無窮集合的counting測度是無窮。

這個分布不是連續的，因為Cantor集合的測度是1，但Lebesgue測度是0。

注意：這裡我們用到了隨機變數和分布函數可以相互轉化和分布函數確定測度的知識，見：

怎樣通俗地理解分布函數？ - 長澤雅美的回答

有啊，既不連續也不離散型。

先拋一個硬幣，如果是反面，隨機變數取0；

如果是正面，就讓隨機變數根據一個正態分布（或者你最喜歡的連續隨機變數）取值。

這樣這個隨機變數就既不連續也不離散

個人的一點點小的思考，肯定會有很多不完備的地方：離散和連續，好比物理學上的粒子和波動類似，離散是在一個時空節點的單一的可辨認的變數，而連續則是一串離散變數的flow，好比赫拉克利特的萬物皆流，比如三角函數，拋物線，對數函數，拋物線，連續的一條拋物線，就是連續，但是，我們對於某一個位置，從x軸或y軸，去通過連續的拋物線去測量其對應的值，大家都做過這麼一個簡單的數學題，但是，這裡有一個問題，那就取值的問題（代數），因為我們從一個連續的拋物線去選取x軸上的x=1，這個賦值的過程，本身可能就是有問題的，因為x=100和x=0.1，本身都是賦值過程，本身這樣去截取離散變數值得過程，很可能就是一個「測不準」的截取方式，但是，從大樣本的離散數據去演繹連續過程的時候，又能從這個級別看到更廣闊的拋物線，所以，測不準，不確定性，這裡有一個很微妙的自然現象在裡面，那就是越是精確的時候，越是模糊，越是模糊的時候，又有精確的成分在裡面。歸結一句話：不知道

既不是連續型，也不是離散型的

排隊論 $M/M/1$ 模型中穩態下到達顧客的等待時間

我也想知道。。