有哪些冷門但有趣的數學定理/函數/猜想?

01-07

具有平凡切叢的球面，其維數與可除代數分類具有+1對應關係。

這樣的球面只有：S^1, S^3, S^7. 分別對應C，H，O三類可除代數。

@Yuhang Liu 寫了幾個關於正截面曲率的猜想，我這裡提一個關於Einstein metric的猜想：

Is there a (positive) Einstein metric on four-dimensional sphere other than round metric?

這個問題看似如此自然，但我認為可能並不比Hopf conjecture 簡單。注意如下熟知的結果：

A three-dimensional manifold with Einstein metric has constant sectional curvature.

由此來看，我提到的這個問題顯示出了令人呵呵的威力。

謝邀。

正曲率裡面有很多有趣的猜想。比如關於 $S^2 imes S^2$ 是否存在嚴格正截面曲率的Hopf猜想應該是很多人都知道的。不過下面這個可能知道得少一點，我也是上個月才被我老闆告知的。

Petersen-Wilhelm』s Conjecture.

If M → B is a Riemannian submersion between compact, positively curved manifolds, with fiber F, then dim F &< dimB.

就是說正曲率流形之間的submersion一定滿足纖維的維數嚴格小於底空間的維數。表述非常簡潔乾淨的一個猜想。對目前已知的所有正曲率流形的例子應該都是滿足的，但是要證一般情況的話，大家好像也沒什麼思路。畢竟正曲率是很難的東西嘛～

舉個不算太冷門，但是挺有趣的定理：

「笛卡爾定理」多項式f(x)的正根個數(重根以重數計算)，等於該多項式的係數組(等於零的係數不給它計算進去)的變號數，或比這個數少一個正偶數。如果多項式f(x)沒有等於零的係數，那麼它的負根個數(重根以重數計算)等於它的係數組中的同號數，或比這個數少一個正偶數。

通常該定理是先建立了「施圖姆定理」，然後再證明了「布丹-富里葉定理」之後給出的推論，當然也可以單獨證明。

例如：多項式h(x)=x^5+2x^4-5x^3+8x^2-7x-3.

註：手機打字無法排版，望多見諒。

係數組的變號數等於三，故由笛卡爾定理可知h(x)只有三個或一個正根的可能。另一方面，h(x)沒有零係數，且因為係數組中有兩個同號，所以h(x)或有兩個負根或者沒有負根。

更多參見：

庫洛什《高等代數教程》

柯斯特利金《代數學引論》第一卷

是否每一個能用窮舉法解決的問題都能用演繹解決，如果不可以的話需要什麼限制條件呢？

突然發現這問題本身就很有意思，什麼叫冷門，什麼叫有趣，這些肯定都是難以界定，目前的機器學習系統完全無法處理這種uncertainty inference的相關問題

但在知乎Quora上每天有無數這樣的問題被提出和解答，人類的交流似乎就是在這樣自以為是的自言自語中進行的。

有趣的定理或猜想很多，但只有很少的定理或猜想有意義。

數論里可以輕易地提出n個有趣的猜想，甚至有本書好像就叫「數論中未解決的猜想」。這些猜想像哥德巴赫猜想一樣，都沒有什麼辦法解決。即使解決了也就是個curiosity，沒有什麼意義。

有一個猜想，比其他的數學猜想都有意義。

先回顧一下著名的哥德爾不完備性定理：在每個公理系統中總存在一個命題，在該系統中既無法證明它為真，也無法證明它為假。

猜想：可以定義一種「幾乎所有」的概念，使得「幾乎所有」公理系統中「幾乎所有」的命題，在該系統中既無法證明它們為真，也無法證明它們為假。

可以這麼類比：哥德爾證明了「存在一個處處不可導的連續函數」，這個猜想說「幾乎所有的連續函數都是處處不可導的」。

這個猜想如果是真的，那麼現在的純數學研究就都是沒有什麼意義的。

這就是這個猜想的意義。