這個賭局的漏洞在哪裡？

01-07

假設一個賭局——拋硬幣，投入n，正面可獲得2n，反面獲得0。
在如下策略中獲利：第一次投入1元，若反面，第二次投入2元，若再反面投入4元，以此增長，只要出現一次正面即可收回所有本金並且盈利
然後再從投入1開始循環進行下去
這樣在1/2^n概率下連續虧損 n趨近於無窮時，才會期望收入等於投入，否則都是盈利的

與聖彼得堡悖論相比，聖彼得堡悖論按期望付出賭局投入∞並且是在1/2^n，n趨近於無窮概率下才不虧損
實際中你願意接受前一個賭局的模式嗎？
與聖彼得堡悖論的差異又在哪裡呢
至於說贏了只賺一塊錢的話……增加賭注的遞增倍數就可以了，比如2增加到3/5/10這樣…
情況假設市場可以借貸，賭局不需要時間完成，也就是你可以在瞬間進行多次直到贏了還掉借貸部分

題主你期望明顯算得不對……

就這個問題而言，假設初始投注額為1，獲勝概率1/2，停止條件為賭徒獲勝或是賭徒破產，賭徒本金能夠支撐n輪賭博（也就是連輸n次後賭徒破產）。

賭徒在第k局獲勝的概率是 $(frac{1}{2})^{k}$ ，收益是1；在第n局破產的概率是 $(frac{1}{2})^{n}$ ，收益是 $-(2^{n} -1)$ 。

賭徒收益的期望是 $E_{n}=Sigma_{k=1}^{n}(frac{1}{2})^{n} - (frac{1}{2})^{n} cdot (2^{n}-1)$

等比數列求和，並把右邊展開，得到 $E_{n}=1-(frac{1}{2})^{n}-(1- (frac{1}{2})^{n})=0$

當我們假設賭徒有無限大的賭本，無限大的時間時，實際上是在將n趨於無窮大。如果取極限 $lim_{n ightarrow infty }{E_{n}}=lim_{n ightarrow infty }Sigma_{k=1}^{n}(frac{1}{2})^{n} - lim_{n ightarrow infty }(frac{1}{2})^{n} cdot (2^{n}-1)=0$

期望依然是0。請注意賭徒在賭本無限的時候是可能永遠輸下去的，一直輸下去的概率以 $(frac{1}{2})^{n}$ 的速度趨於0，但是此時輸錢的數量以 $2^{n}$ 的速度趨於無窮大，把它們相乘得到的期望是一個有限值——剛好是-1。

這是一個零乘以無窮大得到有限值的例子，不論你有多少本金，收益期望都是0。

如果你認為本金無限的情況下收益期望是1，實際上你假設的是賭本無限的情況下一定能在有限局內結束遊戲。這是不對的，本金無限的情況下遊戲可以持續無限局。

你的假設有一個被你漏掉的地方，就是你假設了你的資金永遠足夠彌補上一次的損失，考慮極限的話，也就是雖然你沒明說，但你假設了你有無窮大的本金。

實際情況錢是有限的，也就是這個賭局你不管能不能借貸，算雙方的最大可用金，更多的贏面更大。既然你假設你和莊家的本金無窮大，那你的盈利就算按照你的博弈策略，假設是自己盈利以後停下，此時你的盈利額度是c,算盈利就算按照你的博弈策略和假設，在無窮的時間和本金中，你盈利到了某個c然後停下，但是考慮到你的假設前提是無窮時間和本金，所以你的盈利期望應該是c/無窮大，也就是0.......

所以並沒有什麼漏洞…… -，- 只不過你在把自己博弈策略算進去的時候，忘記算自己假設前提了，才會誤以為自己收益為正。

今天寫概率論作業的時候剛好有寫到這道題

這個叫做Martingale Betting System，這個概率被叫做「鞅」

以下摘自維基百科

鞅的原名martingale原指一類於18世紀流行於法國的投注策略，稱為加倍賭注法。

這類策略中最簡單的一種策略是為博弈設計的。在博弈中，賭徒會擲硬幣，若硬幣正面向上，賭徒會贏得賭本，若硬幣反面向上，賭徒會輸掉賭本。這一策略使賭徒在輸錢後加倍賭金投注，為的是在初次贏錢時贏回之前輸掉的所有錢，同時又能另外贏得與最初賭本等值的收益。當賭徒的財產和可用時間同時接近無窮時，他擲硬幣後贏得最初賭本的概率會接近1，由此看來，加倍賭注法似乎是一種必然能贏錢的策略。然而，賭金的指數增長最終會導致財產有限的使用這一策略的賭徒破產。

附上參考鏈接：中文，概率論，鞅

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9E%85_(%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA)

或者這個英文的關於Martingale Betting System的維基鏈接，英文：

Martingale (betting system)

在兩個維基上面有完整的公式計算過程，以及怎樣用常用軟體代碼去實現。適合不僅僅滿足於從初步了解這個問題的意義，而且還想繼續研究此問題的朋友們。

謝邀……無論是實際上，還是理論上，都不成立。

第一種思路：

簡單計算即可得知，你的資金越多，獲勝概率也越高，但贏只贏1元，輸的概率越低，但輸就是全賠。二者永遠是同步的，你用1億去賭，勝率99.999999%，贏1元，失敗率0.000001%，但1億全輸光。

總之概括：贏的概率很大，但回報率很小，輸的概率很小，但輸錢巨大。最終期望是零，也就是它不優於任何其他投注法。

至於所謂增加投遞倍數，增加到3倍、5倍，也沒有改變期望為零這個事實，只是計算起來更麻煩、讓賭徒更糊塗而已。

更何況，實際的賭場是有抽水的，期望是負數。

這與買彩票正好相反，彩票是用小資金、小勝率去搏大收益，而這個是用大資金、大勝率去搏小收益。考慮到一般人都屬於風險厭惡型，這種方法還不如買彩票。

有人會說，理論上，我有「無限」的資金。

如果你一定要說無限資金，那麼就必須考慮無限輸。就不要把「總有一次能贏回來」掛在嘴邊。

很多人都做出這樣的欺騙，也許是故意的，也許是無意的：在說資金的時候說無限，說輸錢的時候卻偷偷排除了無限。

這是選擇性無視，要麼就都有限，要麼就都無限。

第二種思路：

這一次投注的結果，並不會影響另一次投注的勝負。

聰明的你，只需這一句就該明白了。

對啊，既然每次投注是獨立的，勝負結果互不影響，那你何必根據上一次的輸贏來決定下一次的賭注呢？

1、2、4、8、16的投注法，拋開順序，就是五次獨立的投注嘛，它與4、8、1、16、2這樣投，有什麼區別呢？與按圓周率投、斐波那契投、XJB亂投又有什麼區別呢？——都沒有。

Doob定理

所以正規賭場每張桌子都有押註上線，到了一定的額度就不能加倍了

漏洞在於這個賭局沒有意義。

按照題主的策略，第n次的投入為2∧(n-1)元，累計總投入為(2∧n)-1元。但是，假設這次中了，則獲得2∧n元。也就是說，不論投入幾次，每次勝利都是贏得1元。

但是成本呢，在第10次，你的累計投入為1023元，在第20次，你的累計投入為104萬，如果進行了40次，你需要一共投入1.1萬億……

我覺得，反正不論你投入多少，每次都只能贏得1元，你要是錢夠多，存銀行吃利息也比這強，你要是錢少，還不如吃頓好的去工地搬磚來的實在……

這是紅眼下注法：越是輸越是希望一把翻盤，賭注越下越大，人也越陷越深。以指數速度步入家破人亡的悲慘結局。

紅眼賭徒莊家是又愛又怕的。愛他輸快輸得多，怕他輸不起死在自己地盤，所以要豢養打手，把輸急了的扔出去死外面。

既然理論上只有無限的資金才能保障穩贏一元錢，這種破玩意兒還有討論的價值么？

真正獲得實用的下注法是相反的：資金池越小（輸了）下注越小，雖然一次翻盤的機會小了，但是玩得久呀。玩得越久才越能翻盤，懂不懂？

好的賭徒從來不紅眼，都是精心計算，靠能力而不是靠運氣的。

都不對

這個賭局是不公平的，所以賭桌才有下注的上限。賭場當中下注的上限就是有利於莊家的設定。

雖然這個賭局每次的期望收益損失都是0，但是允許這種下注方法就意味著賭客一定會贏，除非有下注的上限。

即使是期望收益時0的遊戲也有獲勝的方法，不是期望收益時0的遊戲就一定公平。舉個不恰當的例子，不考慮上市公司收益和公司價值波動，股市短時期內可以認為是零和博弈，但是也總有人長期穩定盈利，有人總是虧錢。

類似的還可以思考一個遊戲：如果有一種遊戲，第n盤獲勝的概率是1/n^2，獲勝收入是n^2元，失敗概率是1-1/n^2，失敗損失1元。

雖然每一盤收益期望都是0，但是長期來看賭客必定虧錢，因為每一盤的收益期望almost surely收斂到-1。如果是對賭的話，當然一定會有人賺到極大數量的錢，但是這個人是你的概率就是0；如果是賭場開立這種遊戲，那麼賭場必定賺錢，賭場虧掉極大數量的錢的概率是0。

可以好好想想這個例子。

以上

每一次賭局的收益的expected value為2^i，而到第i次是所花的錢卻是1+2+4+...+2^i這麼多...

所以，雖然看起來只要有一次獲勝就可以賺錢，可是因為expected value是2^i而非4^i並不能夠cover之前所花的本金，從概率論的角度來講所虧損的錢反而會隨著賭局的深入而增加

手機上打latex太麻煩了所以格式比較亂...見諒

這個方法在CSI里出現過一次，毫無意外用這個方法的是受害人。

莊家有一萬種方法玩死你。

另外，殺這個人的不是賭場老闆。

當然，以上是殘酷的現實。

然而理論同樣很殘酷。

我想大家可能都考慮過生男孩的問題……

嗯……

我們說的不是48。

就是只要不提前預知胎兒性別，以50%的男女出生率，即使所有家庭都極度重男輕女，必須要生出一個男孩來，即——直到生出一個男孩才停止生育。

其結果是，最終生出的男女比例依然是1:1。

這個例子只是告訴我們，數學上是有很多反直覺的東西的。

而統計往往比臆測靠譜的多。

這個賭局的漏洞就是——它本身就是個沒用的東西。

因為對於個人和賭場來言，都是公平的，其最終的輸贏始終是55開。

為什麼這麼講，稍微計算一下就知道了。

假設你第n場終於贏了，那你贏了多少呢？

2^(n-1)倍基準本金？

錯，1倍基準本金！

因為你在此之前已經投入了1+2+……+2^(n-1)的本金，也就是說這一輪你的成本是2^n-1，而你從場上拿回的錢是2^n。

而對於個人來說，最大的問題是，你很難承受不斷翻倍的風險。

這就是這個遊戲里的隱藏因素——風險。我們把這考慮為做買賣，風險本身也就是成本的一部分。

理論上你是可以無限的1塊1塊地贏下去。

然而我們一旦把風險算進去，而恰好的是——風險的烈度和風險發生的概率相乘等於1。

1-1=0！

這個風險有多大呢？

我們不妨先換一種方法，一種更保險的方法。

這種翻倍投注有一種衍生方案，理論上也是可以包贏不賠的，而且風險完全可控。

怎麼做呢？

假如你有一塊錢去賭一半贏率的局。

把這一塊錢分成X份，X=2^n-1，第一次取一份入場，輸則加倍，贏則把所有錢重新分為(2^n-1)份，從頭開始取一份開賭。

就算你一直輸，那麼最高可以連輸多少次呢？

n-1次，只要你在第n次能贏，你就能翻身。

這個方法的問題在於，你要如何能下這麼小的注，或者說你要準備多大的本才能保險。

十連輸不算多吧，大家各種rank、天梯十連跪也不少了。

假設最小下10塊，你就需要20470塊的本錢。

而且需要注意的是，這個方案只能保證你在有限情況下的不輸。

如果你想贏，假設你是絕對的50%勝率，統計上講，你賭無限多場也會是不贏不輸。

假設你是60%勝率，也即是每10場，多贏兩場。取n=11，10000本錢，前10場，第一次贏是10000/2047，第二次贏是20480000/4190209。第二次比前一次多萬分之4.8852，也就是說，你會以每五次贏一次的速度贏錢，每次贏的比上次多萬分之4.8852。

設賭的總場數為a，第一次贏4.8852元，贏錢總額S=4.8852*(1+1.00048852+……+1.00048852^(a/5-1))。

假如你要賺10000塊，也就是本錢翻倍，你需要……

帶入S=10000，求a的值。

公式推導最後大概是1.0004852^(a/5)=10001.0004852。

最後算出來a約等於94937。

以一局1分鐘算，你需要需要不吃不喝7x24地賭，連賭66天。

以上計算的前提：

1、你是賭神，有60%勝率

2、你可以不吃不喝不拉不睡賭66天

3、別人願意跟你賭

4、別人不動手腳

其結果僅僅是你賭了九萬四千九百三十七局，才把一萬塊的本金翻倍而已。

注意，我們還沒有算一個東西，那就是即使按預設10場的連輸風險進行計算，你也會有每11場2048分之1的概率賠光。

也就是說，你還是不能連續輸11場，當然這個輸的期望很難算，我們就簡單把94937場劃分成n個11場來算，你也可能會賠光4次！

回過頭來看這個計算，保證你贏錢的不是這個方法本身，而是假設你有60%勝率。

在這個計算里，我們其實是假設你每玩5局就多贏一局。現在不妨把60%這個數字降低，將其無限逼近於50%，然後就會發現，你贏翻本的所需局數會無限增大，到最後，平均到每局上，你贏錢的期望就是——0。

這一刻，宇宙達到了空前的大和諧，我們終於看到了加倍投注法最後的贏錢期望，實際上還是——0。

再來說兩個東西。

一是，這種翻倍加註法的風險到底能翻到多恐怖的地步？

就以我這裡計算為例，在10000的封頂資金+允許10連輸的保險下，初始可投資金只有4.8852元。反過來，玩不到5塊的局，你需要的下場資金很快就會翻到一萬以上。

第二點，這個數學模型的核心是什麼？

就是你贏錢的收益和風險一定要平衡！

我看到很多答主新回答了這個問題，但是他們搞錯了一些東西。

比如這位答主用代碼模擬出的結果，可惜演算法從一開始就錯了。

這個東西是絕不能這麼算的，如果是1000塊，而以1塊為基準，那麼是必然的期望虧損。

相信看了我上面的計算，大家就會明白，你的基準投注必須是你可使用總金額的(2^n-1)分之1，不管多一分少一分，你最後都會虧。

多一分，你可承受連輸會少於n-1場。

少一分，你的贏錢收益會降低。

總體而言就是收益比風險會降低，最終計算期望就不平衡了，虧，是肯定的。

我們回過頭來看，這個遊戲里的另一方角色——賭場。

在加倍投注法里，既然自己的贏錢期望為0，那麼賭場，或者說莊家的輸錢期望也為0。

這才是這個遊戲好玩的地方，看上去遊戲的選擇權在賭徒手裡——賭徒可以決定在贏錢後結束。

而實際上，選擇權在誰手裡並不重要，重要的是翻倍的風險，這個風險對於賭徒和莊家都是一樣的。

所以理論上，只要你敢這麼賭，莊家是可以奉陪的，畢竟這個遊戲里他不吃虧。

但是為什麼莊家往往不會跟你這麼玩呢？

因為你這完全是拿了個炸彈，跟莊家玩接鼓傳花，最後誰擔不起翻倍的風險，誰就boom。

我們不妨在想一個問題，為什麼有人願意開賭場或者說當莊家呢？

因為人家是有辦法保證自己穩賺不賠的呀。

是真的穩賺不賠，而且可能賺錢效率還很高。

真是看的無言以對了，題主問的是數學模型哪裡錯了，結果一票人過來給題主講道理……

抽成、資金有限、風險考慮就算了還比較實際，用到零和博弈的那幾位居然還有幾十個贊， @acalephs 所有計算過程都寫下來了卻沒幾個人贊。

我以親身體驗來答！

知道快三嗎，原來互聯網彩票沒有封禁的時候，淘寶彩票有售，十分鐘開一把，規則就是搖三個篩子，然後針對開出來的號碼設計不同的壓注產品，比如壓大小，壓單雙，猜號碼，不同的壓法賠率不同。事實證明，方便快捷的下注方式，豐富多樣的玩法，都是為了榨取我們血汗錢！

我們最後看上了猜兩個號碼的玩法，比如我壓2和4，最後三個篩子開出來後含2和4，就算贏。我們算了下概率，任意組合評論出現的概率大概是13分之一(準確數據忘記了，當時算的)。於是我們設計了一套方案，統計每一把開獎情況，找到最久沒開的一對，比如4，6組合，已經20幾把沒有開啦，我覺得差不多可以了就開始跟，每把都壓4，6組合，第一把2元，第二把4元，第三把6元，，第四把12，，第五把24元，，，，，以此類推，保證每把中了的收益能夠覆蓋前面的成本並且有一定的收益，跟題主的思路類似，說實話，剛開始了個把星期，每天都有收益，高的五六十，低的十幾塊，投入大概兩三百的樣子(兩三百可以跟十把左右的樣子)。然而直到有一天。。。。。。。。。。。悲劇這樣發生了，我看到有個組合連續25把沒開了，於是我決定出手了，從2塊錢開始，連壓了十幾把，最後一把一次八百多塊錢，沒中，就收手了。收手的時候跟的組合43把沒開了，事後證明決斷對的，那個組合直到第53把才開。如果跟到最後，下注額應該在百萬級別，而我的最開始目標是賺點早餐錢啊！如果傻乎乎的再跟下去，早就破產了。反正前面贏得幾塊幾十塊在最後一把面前都不值一提。最後總的虧了一千多塊錢。

另外，設計方案的時候後面的整體收益率做的很低，否則增長更快，而且後面只想保本就好了。

所以，我跟題主提的問題差別就是我沒有無限的資金吧

後來就再也不玩了，支持國家禁止互聯網彩票！

看了一些答主的回答，忍不住答一下。

這個賭局顯然是完全公平的，因為

$E[ ext{return}]={1over 2}cdot(2n) + {1over 2}cdot 0 - n = 0.$

然而在現實中賭場辦這個賭局仍然可以賺錢（假設賭場的賭本很大）。原因可以通過Optional Stopping Theorem for Martingales證明，在平衡隨機遊走中，如果起點是a, 兩個終點是0和a+b，那麼兩者的概率分別是

$P(x_ au=a+b) = {a over a+b}, P(x_ au=0) = {b over a+b}.$

用人話說就是，如果賭局的終止條件是一方（莊家或者閑家）輸光自己所有的賭本，那在公平賭局中，這一方最後贏的概率正比於自己的賭本。也就是說如果莊家有9999萬，你只有1萬的話，那公平賭局裡你最後輸光的概率是99.99%（這裡可能反直覺的是，如果是9999億和1億，這個概率還是不變）。

所以這個賭局並沒有什麼理論漏洞，現實漏洞在於，你的賭本不可能無限，而且就算有信貸，信貸也是考慮風險的——如果他們有無限多的錢，為什麼不貸給賭場，而貸給一個風險大期望收益小的賭徒呢。

另：現實賭局的期望通常是負值，即使這個負值小到在一次賭局裡可以忽略，莊家仍然可以依靠大數定律獲得穩定的收入。

假設有1億元，單次投注1元，贏了繼續投注1元，輸了投注翻倍，直到贏了為止（凈盈利同樣是1元）。

漏洞在哪裡呢？

等等，我有1個億啊，我為什麼要1元1元的掙錢？

1個億存銀行都有每年300萬的利息

假如投硬幣每次都贏且每次只需1秒，連贏300萬次也需要不吃不睡35天。

然而，輸掉所有本金只需要連輸26次。

ps：

這個遊戲期望為0，上限收斂，下限發散。

如果反過來操作的話，曲線會更加一顆賽艇。

比如我拿出1萬元，找到王健林和他玩猜硬幣的遊戲。每當我輸了，就從1元重新開始，每當我贏了，就將之前的賭注翻倍。

說不定我能在輸光1萬塊錢之前有機會連贏26次完成小目標。玩笑

這種經典問題討論過N次了，去看看書。別瞎問。終日而思矣,不如須臾之所學。

賭局需要漏洞嗎？

呵呵。

寫個代碼就知道了

假設有10000名玩家，每人手裡從1000塊開始玩這個遊戲。

倍投基準1塊錢。那麼：

不要看最後那個堅持了多久，看前50個和前80個才能堅持多久。

假設這樣的剪刀石頭布一天100局，一年不要絕大部分人就傾家蕩產了。

沒有傾家蕩產，也欠錢欠得傾家蕩產。現實里不存在沒有時間限制的無限期無利息貸款。

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以下是代碼，隨便一寫

# -*- coding: utf-8 -*-

import random

GamblerNum = 100

startNum = 1000

gamblers = []

for i in range(0,GamblerNum):

gamblers.append({"record":[startNum],"last":0})

dead = []

win = 0

lose = 0

def PlayOneRound(player):

global win

global lose

amount = 1

if player["last"] &> 0:

amount = player["last"]*2

if random.choice([True,False]):

player["last"]=0

player["record"].append(player["record"][-1]+amount)

win = win+1

return True

else:

player["last"]=amount

player["record"].append(player["record"][-1]-amount)

lose = lose +1

return False

round = 0

limit = 10

printed = limit

while len(dead)& round = round + 1

localwin = 0

locallose = 1

for gambler in gamblers:

if not PlayOneRound(gambler):

if gambler["record"][-1]&<0:

gamblers.remove(gambler)

dead.append(gambler)

locallose = locallose +1

else:

localwin = localwin + 1

if len(gamblers)& print "第{0}局,總勝:{1},總負:{2},剩餘玩家{3}".format(round, win,lose,len(gamblers))

printed-=1

print "第{0}局,總勝:{1},總負:{2},剩餘玩家{3}".format(round, win,lose,len(gamblers))

這個賭局的漏洞在於，你只是單純用更多的錢來賭博而已。

舉個例子，我有1000元，你有10元，我們進行一次賭博。

假設你有千分之一的勝率獲勝，這意味著當你花費1萬元的時候，你有較大幾率贏取我這1000元（粗略計算）。

而你通過不斷翻倍賭金，事實上就是拿我這1000元和你越來越大的賭金進行賭博。

因為賭博的賠率不同，勝率也應該不同才算得上公平。

就好像我拿一千元去賭你1億元，雖然勝率只有百分之一，但我只要嘗試100次，我一定是賺的，你和我賭，拿1億元來賭1000元，也是絕對虧的。

因此，這種玩法增大了你的勝率，但是沒有改變你投入資金的獲益期望。

問題只有一個：這個賭局賺錢太慢了。我建議改成一次下注1個億，輸了兩個億，以此類推。這樣贏一次能贏一個億呢。如果還覺得少。一次1個億，輸了1個億*1個億，還輸再乘。這麼來賭賺錢更快。

當然，你都無限錢了，你還去賭博賺啥錢呢。。。

先放結論：用題目的策略期望收益永遠是0，即使可以進行無窮次賭博

這個賭局賭一次的期望收益顯然是零

如果可以賭n次（n有限），那無論用什麼策略期望收益肯定也是零

假設賭局一定會在第10局結束，比如兜里只有1023塊錢。那麼用題目的策略會有1023/1024的幾率贏1，1/1024的幾率輸1023。所以期望收益還是零。

如果n可以無限，那麼在任何有限的時點（比如第m次，m&

我覺得產生悖論的原因是當n趨於無限時，雖然賭輸的概率無限小，但賭輸所造成的損失是無限大的。人們直覺會傾向於無限小的概率是不可能發生的，所以會忽略掉潛在的無限大的損失

補充一個公式說明當n為無窮，賭局可以進行無限次時期望收益依然為0

$p=lim_{n ightarrow infty }{left( frac{1}{2}+frac{1}{4}+cdot cdot cdot +frac{1}{2^{n} } - frac{1}{2^{n} } imesleft( 2^{n}-1 ight) ight) }$

$=lim_{n ightarrow infty }{left( 1-frac{1}{2^{n}}-1+frac{1}{2^{n} } ight) } equiv 0$

即，在無限本金並且可以進行無限次賭局的情況下，按照題目的策略對未來收益的預期依然是0，即使這個策略看起來似乎「永遠不會輸」