牛頓插值法和拉格朗日插值法哪個精度高？

01-07

數值分析插值法中，牛頓插值法和拉格朗日插值法具有相同的誤差公式，它們兩的誤差是一樣的嗎？但是在實際計算時，得出的值卻不一樣，誰可以解釋一下，他兩的精度哪個高？

兩者都是用多項式來插值，多項式插值具有唯一性，因此Lagrange interpolation和Newton interpolation得到結果是一樣的，誤差自然也是一樣的。

牛頓插值精度更高

1. 兩者的主體部分一樣

兩者都是多項式插值，雖然思路不一樣，但很容易能想到兩者是一樣的，因為只有唯一的n次多項式過n+1個點。

當然，你不信也可以證明插值多項式的存在和唯一性定理，很簡單。唯一性定理告訴我們

$N_{n}(x)=L_{n}(x)$

使用牛頓插值法時，當增加插值節點時，只要在原來的基礎上增加部分計算工作量，而原來的計算結果仍可利用

2. 兩者的余項並不一樣

只有當f (x)在(a,b)上有n+1階導數時，兩者的余項才相等

牛頓法更高

你把插值公式中的每一項中相乘的每一項都加一個dx然後展開只考慮一階項比較一下就行了

簡單來說就是牛頓法比拉格朗日法乘運算數量少，乘運算會將誤差指數倍放大

等我過幾天作業寫完做個實驗

一般情況下，由於計算時計算機的舍入誤差，還是牛頓法精度高些。以下是劍橋大學 POWELL 教授寫的教材中的原話：An advantage of using Newton"s method instead of the Lagrange formula is that one usually obtains smaller discontinuities in the calculated interpolating polynomial.

得到范得蒙行列式之後，我們可以知道其不為零，那麼多項式只有唯一解，所以說，不論牛頓插值還是拉格朗日插值他們得到最後的插值多項式是唯一，包括其插值余項。所以說，兩個方法最終結果是相同的，不過牛頓插值更加直接，簡便而已。

拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡便，與拉格朗日插值多項式相比較，它不僅克服了「增加一個節點時整個計算工作必須重新開始」的缺點，而且可以節省乘、除法運算次數。同時，在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數值計算的其他方面有著密切的關係。

所以！！從運算的角度來說牛頓插值法精確度高

從數學理論上來說的話，我傾向於拉格朗日大神！！

話說拉格朗日當初不搞天文，不搞物理，專弄數學，估計是數學歷史上最偉大的數學家了，沒有之一。