擊倒中國奧數隊的幾何題應該怎麼解？
擊倒中國奧數隊的第三道幾何題是什麼鬼
中國隊此次在第一天比賽的最後一題遭遇滑鐵盧。這是一道幾何題：
「在銳角三角形ABC中，AB&>AC.設Γ是它的外接圓，H是它的垂心，F是由頂點A處所引高的垂足.M是邊BC的中點.Q是Γ上一點，使得∠HQA=90°，K是Γ上一點，使得∠HKQ=90°.已知點A,B,C,K,Q互不相同，且按此順序排列在Γ上.
證明：三角形KQH的外接圓和三角形FKM的外接圓相切.」
原題沒有圖，軟體畫出來是這種效果。
謝謝邀請。
這道題由烏克蘭提供，是歷史上較為少見的將平面幾何作為單日最後一題的情況。此題難度相當大，在世界範圍內，僅有 30 人得到滿分 7 分，平均得分 0.653
中國隊遭遇滑鐵盧，只有 @俞辰捷 做出來了，其他人都只得到了 1 分，鑒於中國隊一直以來超強的實力，在全世界有 30 人滿分的情況下，只有一人做出，有點失常。
個人認為，解答其實並不複雜，有一定競賽基礎的人都可以看懂，甚至覺得「其實也沒多難嘛」，但幾何題就是這樣，能看懂答案不意味著自己做就能想到，尤其是輔助線的添加，是不太容易想到的。
********************【解答一】
記 Γ 的中心是 O. 設 AX 為 Γ 的直徑.
這個問題所有的證明, 也許, 都需要這個事實: Q, H, M, X 四點共線.
AX 是 Γ 的直徑蘊涵 ∠AQX=90°. ∠AQH=90° 表明 ∠AQX=∠AQH, 進而 Q, H, X 三點共線.
AX 是 Γ 的直徑蘊涵 XB, XC 分別與 AB, AC 垂直. H 是 △ABC 的垂心宣示 HC, HB 分別與 AB, AC垂直. 因此, 四邊形 BXCH 是平行四邊形. M 是 BC, 進而也是 XH, 的中點. 從而, X, M, H 三點共線.
綜合起來, 我們知道 Q, H, M, X 四點共線.
不證明四邊形 BXCH 是平行四邊形也是可以說明 M 是 XH 的中點. 從而, X, M, H 三點共線.
事實上, 對任何一個三角形 ABC 的垂心 H, 外心 O, 以及 BC 的中點 M, 熟知的一個性質是 OM∥AH, 且 OM=1/2 AH.
這性質很直接很強烈的表達了 M 就是 XH 的中點.
延長 AF 交 Γ 於 Y. 注意∠HKQ=∠HYX=∠HFM=90°,
於是三角形 HKQ 的外接圓, 三角形 HXY 的外接圓與三角形 HMF 的外接圓在 H 點相切.
QK 與 XY 的延長線交於點 V. 於是 VQ?VK=VX?VY.(圓的割線性質)
故而, V 在三角形 HKQ 的外接圓與三角形 HXY 的外接圓的根軸上. 這個根軸就是 VH（這步是關鍵！）， 並且 VH 是三角形 HKQ 的外接圓, 三角形 HXY 的外接圓與三角形 HMF 的外接圓的公切線. VH⊥QX.
AX 為 Γ 的直徑蘊涵 XY⊥AY. 於是 BC⊥AF 表明 BC∥XY. 設 U 是 VH 與 BC 的交點. H 是 △ABC 的垂心揭示 F 是 HY 的中點. 至此, U 是 HV 的中點. ∠HKV=90° 蘊涵 UK=UH. UH 與三角形 HKQ 的外接圓相切, 故而 UK 也與三角形 HKQ 的外接圓相切.
U 在三角形 HMF 的外接圓與三角形 FKM 的外接圓的根軸 MF 上. UH 與三角形 HMF 的外接圓相切. 然後, UK=UH 蘊涵 UK 是三角形 FKM 的外接圓的切線. 於是 HKQ 的外接圓與三角形 FKM 的外接圓相切, 因為這兩個圓都與 UK 切於點 K.
【解答二】
延長 AF 交 Γ 於 Y.
在三角形 KQH 與 KAX 中, ∠HKQ=∠XKA=90°, ∠HQK=∠XQK=∠XAK, 於是, ∠KHQ=∠KXA=∠KYA=∠KYH.,這說明 QX 與三角形 HYK 的外接圓相切.
設 U 是三角形 HYK 的外心. U 在 HY 在中垂線 BC 上. QX 是三角形 HYK 的外接圓的切線, 所以 UH⊥QH. 於是 UH 與三角形 HKQ 的外接圓相切. UK=UH 說明 UK 也與三角形 HKQ 的外接圓相切.UH⊥HM, HF⊥MU,
根據射影定理 UK^2=UH^2=UF?UM.
這導出 UK 是三角形 FKM 的外接圓的切線. 既然 UK 是HKQ 的外接圓與三角形 FKM 的外接圓的公切線, 從而 HKQ 的外接圓與三角形 FKM 的外接圓相切.
【解答三】
延長 AF 交 Γ 於 Y.
H 是 △ABC 的垂心揭示 ∠QMC=∠YMC, 於是, 四邊形 BYCQ 是調和四邊形, 由此 ∠QBY=∠QMC.
設 QZ 為 Γ 的直徑. 於是 ∠QKZ=90°. ∠QKH=90° 表明 ∠QKZ=∠QKH, 進而 K, H, Z 三點共線.
ZQ 為 Γ 的直徑, 於是 ∠ZKY+∠QBY=90°. 故此∠HKY=∠ZKY=90°?∠QBY=90°?∠QMC=∠MHY,
這說明 XQ 與三角形 HYK 的外接圓相切.
【解答四】
QK 與 BC 的延長線交於點 W. 既然 HK⊥KW, HF⊥FW, 於是 H, F, W, K 四點共圓. 故而
∠KFW=∠KHW.注意, 三角形 ABC, HBC 的外接圓的根軸是 BC; 三角形 ABC, KQH 的外接圓的根軸是 QK. 既然 W 是 BC 與 QK 的交點, 因此 W 是三個三角形 ABC, HBC, KQH 的外接圓的根心, 進而 HW 即是三角形 HBC, KQH 的外接圓的根軸. 設三角形 HBC, KQH 的外接圓的 H 之外的另一個交點是 S, 則 S 在 HW上.
設三角形 KQH 的外接圓與 KF 的 K 之外的另一個交點是 T; MS 的延長線交三角形 ABC 的外接圓於 K′; S 關於 M 的對稱點是 S′. 注意, S′ 在三角形 ABC 的外接圓上. 於是
∠QHS=180°?∠MHS=180°?∠MXS′=180°?∠QK′S.故此, Q, H, S, K′ 四點共圓. 因而, K 與 K′ 重合. 這也就是說, M, S, K 三點共線.
由於 H, S, T, K 四點共圓, 於是∠KFM=180°?∠KFW=180°?∠KHW=∠KTS.
這表明 ST∥MF. 進而, 三角形 KST 與 KMF 位似, K 是位似中心. 這也就說明了, KST 的外接圓與三角形 KMF 的外接圓在 K 點相切.
【解答五】
解答三的 K, H, Z 三點共線, 以及 XZ?=AQ?, 所以∠KHQ=∠HQZ+∠HZQ=∠AYQ+∠QYK=∠AYK.
或者稍微變通一下, AX 是 Γ 的直徑, 因此 AKX? 恰是一個半圓. 因此∠XQK+∠AYK=90°.
注意 ∠HKQ=90°, 於是∠KHQ=90°?∠KQH=∠HYK.
因此, QH 是三角形 HYK 的外接圓的切線. 所以 ∠QHK=∠HYK. 又因為 MF 是 HY 的中垂線, 故而
∠MKH=∠YKF.於是, 我們得出了∠QHK+∠MKH=∠HYK+∠YKF=∠HFK.
QK⊥HK, HF⊥FC 給出 ∠QHK=90°?∠KQH, ∠HFK=90°?∠KFC,
我們有(90°?∠KQH)+∠MKH=90°?∠KFC.
換言之∠KFC+∠MKH=∠KQH.
這說明, KQH 的外接圓與三角形 KMF 的外接圓在 K 點相切.
********************【參考資料】- http://www.imo-official.org/results.aspx
- IMO 2015 solutions
謝三人邀。一樓這麼辛苦我覺得我就不騙贊了吧www我大致說一下我的做法。作H關於BC的對稱點T，延長QK,BC交於點L。證明H,F,L,K與M,T,L,K分別四點共圓。以上。
哦哈哈哈哈！
圖片傳了好幾次_(:з」∠)_————————————我是看了有輔助線的圖才做出來的！如果我建立坐標系，用解析幾何暴力計算，這樣可以嗎？結算量略大，不過藉助MMA已經證明了，我在想，這種猥瑣的方法在IMO中應該不會被認可吧？
我是搬運工！來源是我的高中數學老師～
新浪微博 西安交大附中金磊
請看圖..
法學碩士弱弱的問句，Γ 這是什麼鬼東西？
最普通的方法就是高中用的那種！把所有的條件轉化為等式然後聯立方程。目標是要證出最後兩個圓的圓心距離等於其半徑和或者差。或者聯立最後兩個圓的方程，證明其只有一個解。
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