柯西列是否一定是收斂的？

01-07

泛函分析中的問題。書上講柯西列不一定收斂，但能夠舉出的反例都是柯西列雖然收斂但只是不收斂於數列所在的空間而已。比如有理數空間下的柯西列有可能收斂於無理數，故有理數空間不是完備的，這一點我沒有異議。
我的問題是，是否存在發散的柯西列？

題主看看第一章試試，任何度量空間都可以完備化。換句話說，只要你願意，你就可以構造一個比現在空間稍微「大」一點點的空間，把原空間等距嵌入該空間，使得在該空間下柯西列收斂。直觀的想就是把所有「距離」為0的Cauthy列定為新空間的同一個元素。

所以，你的問題，不成問題。

柯西列不一定收斂。

柯西列都收斂的度量空間叫完備度量空間。

每一個度量空間都可以實現完備化。

也跟題主有相同的困擾，我的看法，離開範數跟空間談收斂都是耍流氓。你所謂有理數域柯西列收斂到無理數，其實就是發散，因為沒有收斂到這個數域里的元素啊。所以有理數域在一般的距離度量下，不是完備的度量空間。