「只有」和「有且只有」的區別是什麼？

01-07

從語言的角度講，我認為應該從表達含義上沒有什麼區別，所謂表示強調也很牽強。從數學定理上講，據說是「有」代表充分條件，「只有」代表必要條件，「有且只有」代表充要條件，但是我實在理解不了，因為無法援引實例說明，求解答。

數學書中的「當且僅當」可以換成「僅當」嗎？ - 周子涵的回答

我本來想引用一下我這個答案，但是轉念一想：「當且僅當」和「有且只有」是相當不同的兩個概念。

這個問題下的其他回答也有混淆這兩個概念的，所以我先辨析一下二者區別，然後從數學角度談一下「有且只有」的含義，最後儘力給出一些生活的例子。

1. 辨析

a. 當且僅當

「當且僅當」表達的是一種雙向關係，「當」是從右向左，「僅當」是從左向右，加在一起就兩邊都通。

邏輯里「當」，「僅當」，「當且僅當」意思都不同。
A當B = B--&>A = （非B）或A =如果B那麼A = B是A的充分條件
A僅當B： A--&>B = B或（非A）=如果A那麼B =B是A的必要條件
A當且僅當：: A&<--&>B = （非A 且非B）或（A 且 B） =如果A那麼B 而且如果B那麼A = B是A的充要

這是之前答案里的解釋。

b. 有且只有

「有且只有」沒有表達任何雙向關係，而是「唯一性」和「存在性」的結合。其中，顯然，「有」代表「存在性」，「僅有」代表「唯一性」。這是對某一個客體的屬性的描述，而不是某兩個客體之間關係。所以單純的類比「有且只有」和「當且僅當」是行不通的。

2. 「有且只有」的數學含義

i. 如果要證明「有一個元素m，滿足條件C」，我們只需要證明這樣的m一定是存在的。

ii. 如果要證明「只有一個元素m，滿足條件C」，我們一般需要證明，如果n也滿足C，那麼n一定和m相等。

所以，事實上，「有」代表「至少一個」，「只有」代表「至多一個」。合在一起才是「恰好一個」。

大概有人要問了，為什麼「只有」代表「至多一個」？為什麼「只有」不蘊含「有」？為什麼「唯一性」不蘊含「存在」？

這就要回到我剛才說的證明方法。如果你仔細觀察 ii, 會發現，「只有」的更準確的表述是「只能有」，舉個例子：

先明確一下：大家應該都知道，三個不共線的點，可以決定一個唯一的圓。這是我們的前提。

現在我們用ii的方法證明，某個四邊形ABCD外切圓的「唯一性」。

我們應該知道，對於四邊形ABCD，如果存在一個四個點都在的圓，那麼一定是唯一的，因為假設我們存在：不同的兩個圓O，圓P，那麼ABC一定既在圓O上，又在圓P上，而根據我們的前提，ABC只能同時在一個圓上，圓O=圓P，矛盾，所以我們得到了，四邊形ABCD，「只有」一個外切圓。

然而假如ABCD不共面，或者ABCD共面但對角和不是180，那麼根本就不存在外切圓，所以如果想說ABCD「有且只有」一個外切圓，那麼，我們必須先通過ABCD共面，ABCD 對角和180來證明：ABCD「有」一個外切圓。

3. 生活中的例子

好像不需要了

首先要理解「有且只有」這種表達方式是怎麼來的。

它是為了在「有」的基礎上加以「只有」的限定，而不是在「只有」的基礎上強調「有」。

日常生活中說「有一個」，可能有兩種意思：

一種情況下，「一個」是重讀的，那麼意思就是只有一個，比如「我有一個孩子」。
另一種情況下，「有」是重讀的，「一個」是弱讀的。這時候，說話人只關注他所說的一個，而實際上可能還有更多。比如，「草坪上有一個孩子在跑」，那麼說話人就只關注了這一個孩子，可能還有別的孩子在跑，但說話人關注的是孩子的活動而不是數量。

數學上為了防止這種歧義，就在表達前一種意思的時候，加上「只有」的限定，明確地說成「有且只有」一個。

那麼有了「只有」之後，還有必要說「有」么？其實一般來說也沒有必要。

不過，有時說「只有一個」只是為了排除有一個以上的情況，並不強調排除沒有的情況。

比如那句經典的「真相只有一個」，如果是在有兩個人分別提出兩種「真相」的語境下使用，就只是為了說明兩個人不可能都是對的，這時語義的重點不在於強調「有真相」，而是強調「不可能有多個真相」。

數學上同樣為了防止有人鑽牛角尖，就把話滴水不漏地說成「有且只有」了。

另外，數學上很多定理要從「存在性」和「唯一性」兩方面來證明，「有且只有」可以明確提示這兩個方面。

用「只有」造句：1.我只有一個蘋果。2.只有吃了葯，病才能好。顯然1、2的只有含義不同，詞性不同。

1隻有表充要，動詞，等於「有且只有」，可以說「我有且只有一個蘋果」，意思不變略顯啰嗦。

2隻有表必要，副詞，和「有且只有」沒關係，無法比較，因為詞性不同。

「有且只有」能不能當副詞用不清楚，通常沒人說「有且只有吃了葯，病才能好。」雖然能理解想要強調。

拆開看大概可以理解為1隻有的「只」等於2隻有，牽強地說類似「必需」和「必須」。

一般來說，有且只有條件更強，說的是左右兩邊是同等條件。只有的話只算必要條件。

請大家盡量從結構而非語義的角度來考慮這個問題。

兩者之間不光是語氣的區別，從邏輯的角度來說，舉個簡單例子

只有下雨時，才打傘。表示打傘時一定是出現了下雨的情況。而下雨時是否一定打傘未知。

有且只有下雨時，才打傘。除了表示打傘時一定是出現了下雨的情況。還表示下雨時，一定打傘。

不知道這個回答您是否滿意。

補充:

上面這個例子可能換成當且僅當時更好理解，再舉一個例子：

我們班的學生中，有且只有小王是黨員。

這句話包含兩個意思：我們班有黨員，並且只有小王是黨員。

分別可以推出：我們班-&>有黨員，小王-&>黨員。

上面下雨打傘的例子也一樣，表示當下雨時會打傘，並且只有下雨才打傘。

也就能推出：下雨-&>打傘，打傘-&>下雨。

我認為大家全都答偏了，這個問題其實跟數學本身關係不大，也並不是刻意強調後者。

題主自己已經說清楚了：「有」代表充分條件，「只有」代表必要條件，「有且只有」代表充要條件。

但為什麼我們還是覺得這種表達彆扭？這其實並不是數學造成的違和感而是語言本身的局限性。

由於數學是一個務必嚴謹的學科，所以在語言表達上儘可能的要求準確傳達意思。或許日常里的對話我們用到這種形式時是為了強調後者，但數學裡要求的是準確，根本就沒有「強調」這回事。用日常語言來硬套學術表達是不合適的。「有且只有」「當且僅當」，這樣的表達其實都是想使用「A且B」的形式表示兩種情況共存，「且」前後也是平等的關係。

拋開數學舉例，我們說：

這個人老且胖。

這個橘子酸且甜。

我對他打且踹。

雖然我們日常並不會這樣說話，但這樣的語意表達是清晰的，意思傳達上並沒有問題。

這些表達和「有且只有」的區別在於「酸且甜」中的A與B也就是「酸」和「甜」是互斥的，而「有」和「只有」是包含關係，存在語意重複。就是這個重複讓我們覺得彆扭。

其實「有且只有」想表達的只有並列並且互斥的兩種意思，而並不是我們實際表達出來重複的兩層意思。我們要表達的意思是「有」和「只」，即「存在且只有一種情況」，實際表達出來的是「存在且只有一種情況的存在」。所以其實我們想表達的意思是「有且只」，而不是「有且只有」。而我們是不可能存在「有且只」這樣的表達的。

為什麼？

你要注意「酸」「甜」「打」「踹」是什麼詞性和在人類語言中的使用規則。

1、形容詞，動詞，這些都是可以獨立表達意思的詞；

2、只有相同詞性的詞才能用「且」「和」等連接詞並別排放。

什麼是獨立表達意思？舉例

A：他胖嗎？

B：胖。

A：打他嗎？

B：打！

「胖」「打」這樣的形容詞和動詞都能獨立造成意思。

但如果這樣問：

你只帶了一塊錢嗎？

只。

只你媽了個逼啊！

「只」是什麼？「只」是副詞，他只有跟動詞、介詞或者形容詞搭配使用才能完整表意。

在這就是第二方面說到的，「有」是動詞，「只」是副詞，不能並列，所以雖然我們需要且只需要表達「有且只」，但我們給不出「有且只」這樣的表達。

所以，在數學裡，不是我們不想給出既準確又不重複的表達，而是我們的語言局限性造成了我們不可能做到，存在語意重複我們也是情非得已。所以才會有「有且只有」「當且僅當」這些彆扭的存在。

舉的例子太複雜，太混亂。我來舉最簡單的：

1.草坪上有一個孩子在跳繩；代表著，草地上有一個孩子跳繩，這種情況也可能是草坪太大了有其他孩子在跳繩，而觀察者並沒在意，但不排除還有其他的。這個「有」，可換成「至少」。

2.草坪上只有一個孩子在跳繩；代表著，觀察者觀查了所有草坪上的孩子，發現只有一個在跳繩，但是草地上有很多孩子，可能他們在干別的，並不局限是一個。這個「只有」，可以換成「至多」。

3.草坪上有且只有一個孩子在跳繩；雖然我們在平常不這麼表達，但是邏輯上是正確的，表示草地上只有一個孩子，而且他在跳繩，這種我們平常話會說：「草地上只有一個孩子，他跳繩呢。」

在這一句里，「有且只有」可以換成「恰好」。

生活上表示存在和狀態，但數學上表示嚴謹的邏輯。

數學上「只有」和「有且只有」並不完全相同。

我們平時說話，有且只有，這2個「有」字表示同一個意思。但數學裡他們是不同的意思。

數學裡的「有」，表示這個意思：

如果有A，則一定B

數學裡的「只有」，表示這個意思：

只有A，才B （注意，這裡並無法表達有A則一定B的情況）

數學裡的「有且只有」是前面兩種情況的縮寫。

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分割線，為何數學的概念這麼混淆呢？其實英語也是這樣的。

if:

if A is true, then B is true （如果A是真，那麼B一定是真）

only if:

only if A is true, B is true （只有A是真，B才是真）

if 和 only if明顯表達的是不同的意思。

if and only if 只不過是2種情況混合而已。簡稱 iff

只有A才B，意思就是B可以推出A。

有且只有A才B，意思就是除了B推出A，同時A也可以推出B。

「有」和「只有」有區別。

「只有」和「有且只有」沒有區別，二者一模一樣。誰能從中讀出區別真不簡單。

當這兩個詞語和「能」搭配的時候區別就出現了。

只有她能讓我產生…… 她可以，但是她未必做了

有且只有她能讓我產生…… 她可以，她這麼做了

題主你感受一下

在數學語言里，「有」表示至少存在一個，「只有」表示最多存在一個。」有且只有「表示恰好存在一個。

但我覺得完全沒必要這麼規定啊！用「只有」表示恰好存在一個不行嗎？生活中誰會把「沒有」說成「只有」啊？

我只有你這一個女朋友（誰信啊）

我有且只有你這一個女朋友（是真的）

上學期期末語義學的paper寫的剛好是這個……不過我分析的是英語的「only」，結論是區別的確就是像數學說的一樣，而「存在」義另有來源。不確定普通話的「只」跟英語的only是不是這方面上完全一回事，不過看起來應該差不多。有空了更……

跟@巫制衡的回答原理有些類似。也是看到了他的回答才敢下這個判斷的……

其實我相信這個問題很多人都想過。

絕大部分人的回答都是：當（有）表示充分，僅當（有）表示必要，當時僅當（有且僅有）表示充要blabla……

這個回答有錯嗎？沒有錯。我們都知道、或者可以很容易地搜索出「有且僅有」的邏輯定義，可是並沒有解決我們的疑問：為什麼「有且僅有」依然聽上去那麼彆扭？為什麼直覺告訴我它可以被「僅有」替代？

在我們開始之前，我們先複習一下邏輯上此詞語的定義。

有：if，表示充分條件。例句：有A&<2，A&<3

僅有：if only，表示必要條件。例句：僅有A&<4，A&<3

有且僅有：iff，表示充要條件。有且僅有A&<3，A&<3

是不是很清晰明了？可惜的是，語言本身並沒有這麼精確。讓我們回到日常生活中的語境之中。舉個例子吧：

只有冬天下雪。

姑且不論這話是否正確（六月飛雪？！），這個論斷表明了下雪只能發生在冬天，而冬天不一定下雪。似乎完全符合邏輯上的「僅當」的定義？

那麼我們換一個語境。此問題來自於知乎之前的一個答案，由於我實在找不到更合適的，直接照抄如下：

員工問老闆：「何時放假」？

老闆答：「只有周末放假」。

那麼問題來了，有多少人會把這句話理解成「放假一定在周末，但是周末不一定放假」呢？如果在辯論大賽上，估計眼尖一點的人能讀出這層意思。但是日常中？我想大部分人會簡單地把這句話解讀成「周末放假」——一個充分必要條件。

這就是問題所在——在很多時候我們說只有的時候，可能恰恰表達了有且僅有的意思。我的理論是：當被提到的條件（condition）一般不可再分的時候，我們其實就是在強調「有且僅有」。邏輯上也說得通——如果一個必要條件無法再細分，那他必然也是充分的。但是一個條件到底可以不可以再分在絕大部分語境下都是相對的。所以有時候要運用上下文來分析。

另外，如果我們要明確表達邏輯上的「僅當」的概念時，我們會用一些諸如「能」、」會「的助詞來消除歧義，譬如

只有冬天能下雪。

只有冬天會下雪。

這一下「必要但不充分」的感覺就出來了。甚至更強烈地，直接上「可能」：

只有冬天可能下雪。

誰再說有歧義我不打死他！

話又說回來了，「只有」並不是只有（……）「僅當」的意思。還有一個挺常見的意思是表示擁有權的，類似

我只有四個蘋果。

我不知道在學名上這種命題和之前一直談到的那種有什麼不同，但至少它不是「if…then」類型的條件判斷語句。而且我們可以看出，在這種表擁有權的使用場合下，「只有」的意思就是「有且僅有」。沒有人會得出「我可能並沒有三個蘋果」之類的結論。我們可以大膽地說，在這種用法下，「有且僅有」就是多餘的，意思和
「僅有」完全一致。這和之前的情況就有巨大差別了。這一點，加劇了「有且僅有」這一短語的反直覺性。

只有，是要具備此條件才能達成某事，但條件是否存在不一定。

有且只有，是條件存在且要具備才能達成某事。

只有…才…是必要條件

比如只有A才B，可以寫成B→A

而有且只有…才…是充分必要條件

比如有且只有A才B，可以寫成A? B

如果…那麼…是充分條件

比如如果A那麼B，可以寫成A→B

if vs. if and only if (iff). 只是中文有點confused而已

只考慮整數情形，

有： {1,2,3,4,5.......};

只有：{0,1}；

有且只有，兩個集合取交，即只剩1.

當然實際中可以定義成有且只有很多個元素，這裡1可以理解成等價、充要。

只有共產黨才能救中國

有且只有共產黨才能救中國

明顯第二句更霸氣，說明我黨的宣傳能力還差一截