如何對待數學中的「可以證明」？

01-07

題主只是個非數學系的本科生，但是這個問題困擾了我很久。
例如在高數課上，常常有超過課堂的知識，往往是「可以證明」或「有」便帶出了一個定理，教師會和我們說，詳細內容可以看數學系的XXX。
數學是嚴謹的，可我卻總有一種將已推導的和未推導的知識雜糅在一起的感覺。有時候想自己推導一些學過的定理，卻發現中間有一步是「可以證明」的，這就使推導中斷了。

我可以選擇相信它是正確的，繼續下去，但這總不能使我信服。或是拿它的詳細證明來看，可有些東西尚且無法理解。這種情況總讓不知如何是好。

我自己寫東西也會用類似的表達來「省略」我覺得簡單的步驟，你需要知道兩點：

第一，不是這些結果有問題，或者證明的人其實是錯的，他們故意誤導你，這一點很重要，否則你容易為了抬杠而抬杠。

第二，寫了「可以證明」但是你看不出來幾乎百分之百的原因是：你的水平不夠，你沒看懂（雖然冷酷，但是基本是事實）。這個時候，你只有三個方法，第一個你自己用過了，找詳細點的證明。一般這樣處理就行。第二個方法，找人講給你聽，這就是同學和老師的作用了，實在不行你就在知乎／math stack exchagne上發帖問。第三個方法，自己補充細節。fill the gap，這個所有做數學的人看論文的時候幾乎都做過。但是，這個方法要求受過專業的訓練，由於你是工科生，你也許最大的問題是連嚴格的數學語言都未能理解，還陷於直觀無法自拔，建議找一本書系統學習分析學，我個人覺得陶哲軒的實分析還是蠻簡單的。

高數里出現「可以證明」但不證明一般表達兩層意思：這個定理是可以證明的，但非數學系學生沒必要掌握；以及可能書上會告訴你關於該定理的一個「直觀」證明（例如藉助於幾何直覺），但這種證明方式在數學科研圈裡是不接受的。但你也只需要知道這個事實就行了。

我印象里高數里大部分引而不證的證明都是可以有「直觀」證明，「直觀」理解的。這種理解無論是不是數學系的學生都需要掌握的。你先試試接受這些直觀證明。如果實在無法忍受，那就去看嚴肅的數學分析書吧。

知道證明過程在學習怎麼使用數學這件事上，基本只能起到滿足好奇心的作用，即使你看懂了某個定理的證明，這個能存在於教科書上的證明一般也是多次簡化修飾後的回答，很難從這一定理去理解它的提出背景、思考方式，甚至於就是從某個更大的結論中特殊化出來的一部分。

所以既然是運用，會用就好，當成計算機程序來看待，有輸入有輸出不用在意代碼。

怎麼說呢。。。

廚師蒸個飯，不會去了解天然氣管道鋪設，碼農編個程序，也不用理解晶元是怎麼造的對吧。。。

就當是個工具就行了

高等數學書，經過好多遍的修訂了。

刪去的證明一般都是太難懂的（針對工科生）。

能把保留下來的內容學好了，就已經很不錯了。

你得先從高數中特別簡單的證明題開始複習，練習，不要還沒走穩就想跳。能夠出現在教材中的證明題，不說百分之百，百分之九十九點九九的題目都是邏輯嚴密的，如果中間有些步驟你不懂，那是因為你基礎知識不夠紮實。

就比如說在做一個高階函數極值問題時，難道還得把一元二次方程的公式法證明寫詳細？(誇張一點的說法)

簡單的，就和顯然，易證一樣對待

不簡單的，你先去看看嚴格證明看不看得懂再來看怎麼對待

你就把它當成一個黑箱，會用就行了。就好像你不用學微機原理也可以用電腦。

那可能是因為你學的還不夠深，我是數學專業的學生，有些證明不是老師不給你寫，是真的寫了也看不懂。就例如高代中的高斯定理，人家高斯在20歲的時候就證出來了，而我們20歲卻可能看不懂。還有一種解釋是為了老師上課方便，不可能因為一個結論來把中間複雜的定理來全證一遍，拖延了上課進度。