怎麼理解微分和導數的區別？

01-07

本人10年級，剛去西雅圖留學，老師直接叫我上intro to calculus，然而其他同學已經學了一個學期，我現在是初學者，只能靠教材惡補，但是還有很多不理解的地方，首先就是微分和導數的區別。。還有剛學的話有沒有什麼好建議嗎，比如說學的順序什麼的

稍微解釋下@Yuhang Liu的回答。

微分是說一個函數在自變數做無窮小變化時函數值的變化。如果我們給定x的變化dx，將它對應到f（x）的變化df，df就等於f的導數乘以dx。但是dx是一個不嚴謹的概念（無窮小變化是變化多少？），因此嚴謹的表述是：df是一個把一個數（自變數的變化 delta x）映射成 f" delta x的映射，映射的值能近似表達函數值的變化delta f。從這個意義上說，df是一個將數軸上的一個矢量（delta x）映射成實數的線性映射，在微分幾何中這種映射稱為1-form，又叫協變矢量或對偶矢量。

補充：可以形象化理解，微分就是曲線的切線。給定一個橫坐標，我們可以在切線上找到縱坐標。df就是這樣一個映射。而f的導數就是這條切線的斜率。

微分和導數是兩個不同的映射。他們的定義域都是可微函數，微分的值域是1-form，導數的值域是函數。

給看不懂的人看的： 1-form就是形如 f(x)dx 的東西，函數就是形如 f(x) 的東西。

數學複習第一遍的理解是，導數是曲線在那個點的切線斜率，而微分是那個切線的一元線性方程。

微分的幾何意義是用局部切線段近似代替曲線段，即非線性函數局部線性化。

這是高等數學微積分書本上說的，等複習第二輪把微積分框架重新建立可能到時候會有更好的理解吧

更正：

我最近發現原來「differentiation"的中文翻譯是「求導」，而「微分」的標準英文翻譯是「differential」。這樣的話，「一個函數的微分」的意思有很多：它可以指關於這個函數的無窮小量（英文可以是「infinitesimal」或者是「differential」），微分形式（函數的外微分），雅各比矩陣，push-forward或者是微分形式—— 這個列舉是不完全的。

這個答案原本有一些錯誤或解釋不清的地方，不過我後來盡量地修正了。對此我感到十分抱歉。

首先，如果微分指的是「Differentiation」而導數指的是「Derivative」的話，那麼在你至少在你所學的基礎微積分中，導數和微分的關係是「導數是微分一個函數的結果」。不過有時候有人會也用導數(Derivative) 這個詞指代微分算符。Yuhang Liu 和鄒益健的答案中假設了你所指的「微分」是 "Differential"。如鄒益健所指出，"df"可以被看作是一個無窮小量，而這個概念在標準數學分析中是不嚴謹的，所以一般 f 的微分「df」指的是一個關於 f 的微分形式。不過我想指出的是，雖然微分形式是被嚴格定義的，它和無窮小量的關係是有些微妙的。它們有形式上的聯繫 —— 外微分算符「d」作用在值域為R的函數時和無窮小量中的「d」形式上相吻合。一般在流形上積分的數學物體也是微分形式（就如同基礎微積分中積分的物體看似是無窮小量一樣 —— 當然標準分析中其實無窮小量不是一個數學物體），而微分形式的積分當然是需要被定義的 —— 微分形式在流形上的積分被定義成了一個在R^n上的積分(經過了 Pull-back)。也就是說，微分形式在這裡只是被用來在符號上簡潔地表達在R^n上的一個特別的積分（而這個積分被我們稱作微分形式在流形上的積分 —— 當然這個概念本身是很有意義的）。再比如說，雖然微分形式也有無窮小量的「高階小量可以忽略」 (歷史上被稱作「Transcendental Law of Homogeneity」) 這個性質，不過這個性質其實是通過外積的定義直接被定義為真的。同樣地，外微分算符在作用在值域為R的函數的積的時候滿足「Product Rule」，這一點也和無窮小量中的「d」一樣，不過這也是外微分定義的一部分。

綜上所述，微分形式被直接定義成了一個滿足無窮小量所滿足的一些性質的數學物體，但是這並不意味著微分形式就可以讓無窮小量的概念變得嚴謹，因為：

1.在原本的Leibniz發展的無窮小量微積分中，無窮小量可以相除而得到相應的導數，而「微分形式除以微分形式」沒有定義。

2.人們覺得Leibniz的無窮小分析不嚴謹，原因之一也恰恰是人們不願意接受被Leibniz用來解釋「Product Rule」的「Transcendental Law of Homogeneity」。所以如果人們認為「Product Rule」可以直接定義為真而不需要解釋，那麼人們也就不會因此認為Leibniz的微積分不嚴謹了，因為他當然也可以不通過「Transcendental Law of Homogeneity」而直接把「Product Rule」當成基本定義，從而「解釋「Product Rule」。事實上是人們的確對Leibniz的無窮小量微積分不滿意而且因此發展了現代的數學分析，所以他們當然不會滿足於直接定義「Product Rule」。

雖然我對此並不怎麼了解（因為沒學習過），但是我知道有個被稱作「非標準分析」（「Non-Standard Analysis」）的理論，這個理論真正地讓無窮小量這個概念變得嚴格（它解釋了Leibniz的無窮小微積分中無窮小量所有的性質，而且它不需要把「Product Rule」或者「Transcendental Law of Homogeneity」直接定義為真。這個理論應該和標準數學分析是等價的。）

好像還有其它理論把無窮小量這一概念建立在了嚴格的基礎上，具體可以看一下 Infinitesimal - Wikipedia。

順便提一下（與題主問題無關），在微分流形上，對於一個從一個流形到另一個流形的映射 f，「df」這個符號可以有兩個意思，一個是流形上一點的Tangent space到另一個流形上的一點的Tangent space的映射 (也可以是一個流形的Tangent bundle到另一個流形的Tangent bundle的映射，不過這個映射不一定有良定義) —— 這個映射被稱為Push-forward或者Differential；另一個是 f 的外微分 (只在 f 的值是微分形式的時候，比如 f 的值域是R的時候(0-form)）—— 在 f 的值域是 R 的時候， df (在一個點上) 是一個Cotangent space的元素 (cotangent vector/dual vector)。也就是說，在 f 的值域是 R 的時候，對於有些作者, 關於 f 的在一個點上的 Push-forward 和 f 的外微分 (一個對於R上一點的Cotangent space的基底的關於 f 的Pull-back) 被符號上等同了。這個等同可能會使初學者感到迷惑（所以很多作者是用「 f* 」而不是「df」來指代 Push-forward ）。

好問題。

導數如@Yuhang Liu所說，是函數到函數的映射。

要理解微分，你得先理解dx，dx你把它當作是一個不同於f(x)的另外一個自變數。對於微分df(x)=f"(x)dx，你可以理解為dx是df的函數，這跟f"(x)完全是兩個函數，但它有它的幾何意義，就是表徵了f(x)上某一點的函數增量和自變數增量的關係。

求導數就是求導函數

求微分是求另一個跟導函數有關的函數

一元函數你看不出來什麼區別，但對二元函數來說，你沒法同時求對x和y的導函數，但你可以同時求對x和y的微分

我的理解是微分是dx，也就是一個微小的變化量，而導數則是變化率，即dx/dt

導數、微分、外微分都是截然不同的概念。第一個是（1，1）型張量，它等於切空間與餘切空間的張量積。第二個是餘切空間之間的線性映射，第三個是m次外微分式空間到m+1次外微分式空間的映射

既然是intro to cal那麼differentiation可以理解成微分也就是求導，形如d/dx. Liu大神說的微分是外微分，嚴格講叫exterior differentiation.