你覺得比較好的線性代數學習路徑是什麼？

01-07

除了大的學習路徑，選哪本教材，小技巧等都歡迎分享

1.理解線性代數的結構

線性代數是結構體系相當鮮明的科目，學線性代數首先要清楚地明白它的邏輯體系。

這就是說，要明白線性代數的來源(線性方程組)、如何從方程組的解和形式一步步導出向量、矩陣、向量空間、秩、基底等概念，矩陣乘法為什麼是這樣，哪些條件是矩陣可逆的充要條件，特徵值和特徵向量意味著，什麼矩陣的相似、合同以及為什麼要引進，怎樣賦予線性空間更多的結構——這些問題是貫穿線性代數的主線，如果真正明白這些，學習線性代數的時候會輕鬆許多。

2.理解線性代數的語言

一句話概括，線性代數主要是研究向量空間和空間之間同態(線性映射)的一門學科，但實際上其中的內容相當豐富，甚至有許多相當高深的內容(比方說 $mathrm{sl}_n(mathbb{C})$ 在李代數中就是很重要的例子，張量積是一種表示)。如果不能適應線性代數的敘述方式和思維模式，學起來就會很吃力，也很難找到概念之間的聯繫。

3.嘗試從多個角度看同一個問題

線性代數很多時候是在用不同的語言描述同一件事情，對待它也應該這樣。比方說，非齊次線性方程組的解等於相應的齊次方程組的通解加非齊次的一個特解；用映射的角度說，對於 $varphi:V ightarrow W$ ，如果 $varphi(alpha)=eta$ ，那麼 $varphi^{-1}(eta)=alpha+mathrm{Ker}~varphi$ .

4.嘗試從更抽象的層次看同一個問題

可能有許多人會覺著線性代數很抽象，向量空間、線性映射本身就不是那麼具體的。一方面，很建議從集合的角度去理解這些概念，因為有許多來源和描述對象就是幾何；另一方面，如果把這些概念聯繫起來看或許會不同。矩陣的相似和合同是看上去相近但實際很不同的概念，但如果用張量的觀點，兩個概念是同一件事情，是同一個張量(分別是(1,1)和(2,0)型)在不同基下表達的關係。

5.最好的辦法：多做點題目唄

如果說看書，就個人而言我會看不止一本，每一本的角度不同，講法和體系結構也會不同。不過更重要的是看完之後的思考，想為什麼是這樣的定義，定理揭示了哪些概念之間的聯繫，能不能推廣或者在其他的條件下會變成什麼？最關鍵的是能用自己的方式明白概念、定理之間的聯繫。

謝邀。

我本科學高代是比較不好的一條路徑，直接看的復旦自己出的高代教材，然後做了復旦那本高代白皮書上的一部分習題。老實說白皮書的題目還不錯，復旦自己的高代教材就算了，只是做到了「該講的都講了」而已。。

不過我現在在TA這邊的線代本科生課，用的教材是「Linear Algebra with Applications, by Otto Bretscher

Pearson, 5th Edition」這本書。我隨便翻了翻，每一節都配置了上百道習題，不過都不難，有些還是和現實生活相聯繫的「應用題」。看目錄覺得整本書的內容比較淺，我覺得這本書適合於「沒有任何線代基礎、沒見過矩陣、甚至不知道歐氏空間的標準內積長什麼樣子」的初學者學習。

Ciao（義大利語的「Hello」，拼音讀起來像「謝邀」……原諒我的無聊……）！

見我在另一問題下的答案吧：線性代數從矩陣和行列式入門真的是最恰當的學習方法嗎？ - 張樂陶的回答

我現在覺得線性空間→線性變換和矩陣→行列式這個順序超好的呀.................

第一，我很同意上面那位匿名用戶說的：

先有個目標，線代學了要幹嘛。

應付考試啊，作為數學專業進一步研究的基礎啊，作為控制專業的一種工具啊等等，學習的內容、深度、路徑都有區別。

第二，我覺得應該多自己動手總結歸納。

現在真是個信息爆炸的時代，一個知識，可以找到許多教材、許多公開課、許多人寫的總結性文字，從多方面了解是一件好事情。

但是千萬不能停止自己的思考，根據自己動手整理各部分內容的框架，之間的聯繫，試著用自己的語言簡述一個知識，是很重要的自我審問，自我消化的過程。如果能夠把一件事情講出來並讓別人明白，這就是真的通透了。

第三，嘗試了解事情的來龍去脈。

一項技術，一門學科，都是從無到有，慢慢發展起來的，了解它的歷史，尤其是哪些東西是為了解決哪些問題被提出的，個人覺得很有幫助。（但對線代來說。。。這點貌似很難啊。。。）

第四，推薦一個網站。

現代啟示錄，台灣網站，現在貌似不用翻牆就可以上了。https://ccjou.wordpress.com/

我的想法略微有些不同，我大一時候完全是跟著老師學的，老師跟著書本講的，都是中規中矩，可是你知道大學教材真的是爛，可以說只是科普了一下，可是我現在重新看mit的課程和外國教材《線性代數及其應用》卻很簡單，所以鑒於線代十分抽象，我覺得可以前期適當簡單入門，之後再認真學習，這樣的第二次學習可以說輕鬆自由，就像品嘗一壇美酒，雖然陳，但是味道卻正濃，不像純複習那樣枯燥無味。學渣觀點，不喜勿噴

題主好像要推薦教材，但我其實更推薦mooc課程，例如學堂在線上馬輝老師的線性代數就不錯的，講解的很詳細，視頻做的非常好，其內容大體是MIT的教材內容，國外的教材還是挺好讀的，具體的例子很多。在學堂在線上可以找到相關的中文講義，學習中遇到問題的話也可以在馬輝老師課程的討論區提問，有助教解答的。

希望我的回答對題主有幫助。

《Linear algebra done right》，你不會後悔的。特點是從抽象代數的角度入手，而不是著重那些 i j 下標的數字。

奇怪為什麼沒有人提到這本書。數學家 John Conway 也推薦。

《線性代數及其應用》，先有個目標，線代學了要幹嘛。
其實我學的是北大第四版的《高等代數》，教材挺好，不會一上來就矩陣行列式，先從方程組開始(第一章多項式就不說了)。

線性代數實際上是最不需要做題的一個數學分支，而且是最容易「學完一遍就永遠不會忘記」的學科，但是如果沒有從相對正確的角度去理解線性代數，那麼你會對線性代數的很多概念一知半解，例如矩陣的行列式，對角化，相似矩陣等等。

1.不需要做題

為什麼說線性代數最不需要做題，因為線性代數是概念性偏重的學科，而不是技巧性偏重的學科，在題目的多樣性方面和分析學或者說微積分相差甚遠了，你會發現，其實線性代數的題目出來出去僅僅就那麼些類型，例如讓你實現一個實對稱矩陣的對角化，讓你解一個線性方程組的通解形式等等，題目與題目之間的不同之處不過在於矩陣內的元素髮生了點變化而已。

2.最容易記憶

線性代數只要學習方法得當，一遍以後就能永遠記住，而不像其它分支需要反覆溫習。為什麼這麼說，原因在於：

線性代數是一門和現實世界，人類的幾何直覺關係最為密切的學科，很多定理的得來都可以從我們的直觀感受中得以印證，很多情況下，對於一個定理，雖然我們不知道具體的代數證明細節，但是只要我們稍加想像就可以知道命題的是與否，這就是線性代數的魔力所在。也是我之所以說線性代數最容易記憶的原因。

3.個人對於如何學習線性代數的觀點

線性代數的理論也比較多，我只想講幾個關鍵的理論。其它龐雜的東西不是骨幹，而只是血肉，所以就避而不談。

行列空間理解矩陣

學習線性代數當然要從線性代數的本源開始學習，而最好的切入點就是線性方程組的求解 $Ax=b$ ，姑且不論教科書里所說的什麼Gram-Schmit法則，也不論什麼可逆不可逆，我覺得看待一個線性方程組最好的方式是從 $A$ 的列空間來看矩陣相乘，等式的左邊實際上是 $A$ 列向量的一個線性組合，這是很容易在空間內想像的。那麼無論 $A$ 是不是可逆，抑或是是不是方陣，我們都可以得出結論，等式有解當且僅當 $b$ 在 $A$ 的列空間內。如果不在該怎麼辦，這就是最小二乘法的來源，使用投影的方法將 $b$ 投影到 $A$ 的列空間內再進行求解，對這一方面進行研究就可以得出矩陣的偽逆，所以實際上很多課程講線性代數為什麼到最後才講偽逆，明明一開始就可以講。偽逆實際上就是兩步投影。

1.將 $b$ 投影到 $A$ 的列空間

2.將一個特解投影到 $A$ 的行空間

對於這方面可以看我的另一個解答，關於偽逆的物理意義的。

Ax=b，對於A的偽逆求解，x = (A^(T)A)^(-1)b，有什麼物理意義么？ - 破魔之箭的回答

矩陣變換理解矩陣

接下來可以從矩陣變換的角度去學習矩陣，恆等矩陣其實對應恆等變換，對角矩陣對應伸縮變換，不同的矩陣對應不同的變幻方式。我們熟知一個單位球體的表達式是 $x^Tx=1$ ，那麼如果對球體做了一定的變幻 $x=Ay(y=A^{-1}x)$ ，那麼看y的表達式就是 $y^TA^TAy=1$ 如果記 $C=A^TA$ ，那麼就可以看出二次型結構 $y^TCy$ ，實際上，從這個角度去學習矩陣就可以進入另一條主線，即二次型，正定性，半正定性，相似對角化，特徵值的求解等等。這裡也很容易和現實生活中的橢球聯繫起來，正定矩陣實際上對應於一個橢球體。具體的可以看這個回答

xTAx 這樣的矩陣變換的幾何意義是什麼？ - 破魔之箭的回答

矩陣分解理論

其實在前一節中，從矩陣變幻的角度理解矩陣已經涉及到了矩陣分解，即特徵值分解，這在求解了特徵值之後就可以進行，但是矩陣分解理論由於沒有能夠和現實聯繫得很緊密，所以講起來也比較晦澀，但是一句話概括矩陣分解的內容，那就是：尋找矩陣列空間的一組新的基，並將列向量用新的一組基進行表示，但是要使得分解得到的矩陣有一定的性質或呈一定的形態，例如LR分解就要求L的是一個三角矩陣，特徵值分解和奇異值分解實際上是重新尋找一組正交基。QR分解也要求尋找正交基等等。這一部分可能記憶的元素多一些，但也不是非常難以理解。

學到這裡，大學本科教材可以說算結束了，大多數國內非數學系的就學這麼多。學習線代：

1.從幾何角度去理解問題

2.從行列空間，矩陣變換等多個角度去理解問題

注意:本文學習路徑比較適合數學系的同學，或將來準備學習數學專業以及想把線性代數學透的同學。

建議直接從抽象代數入手，適當了解點泛代數，要對子代數，積代數，商代數，同態等語言十分熟悉(因為每個代數系統都會有這些討論，這是最基礎的)，群上再額外關注一下自由群，對自由模的理解有幫助。環其實掌握到對理想十分熟悉就夠了。接下來就進入最關鍵的模的部分。

為什麼我們要從群環模學起？因為一般的教材都是直接從向量空間的若干條公理講起，如果沒有經歷從什麼運算都沒有的集合逐漸添加運算，添加公理(算律)，一步一步搭建廣群，半群，獨異點，群，環，幺環，整環，域，模....等代數系統的過程就只能機械記憶向量空間所需要滿足的這若干條件，很生硬。而有了模的概念就可以把向量空間理解成在除環上的(左)模，而且大多數線性代數書都是只討論在域(甚至就是實數域)上的向量空間，所以有交換性，都沒有左右模之分。

在模上我們可以進行我們已經很熟知的子代數，積代數，商代數等討論。和群中關於「自由」和「生成」的討論一致，引入了有限生成的自由模的概念，從而有了基的概念，進而有了坐標。而與群的「自由積」類似，我們有模直和的概念。

而線性映射就是模同態，同態基本定理(或者叫第一同構定理)也是自然成立的，而我們主要關心在有限生成的自由模上的同態，可以通過定義一組基上的同態像來唯一確定一個模同態，這樣就引入了用矩陣表示確定基下的模同態的方法，從而根據我們需要滿足的表示性質，可以定義矩陣的加法，乘法(對應同態的複合)，數乘。我們可以驗證，如此定義的矩陣具有環結構，並且和對應的同態環是同構的。需要注意的是一個同態在不同基下的矩陣不同，為了調和這個差距，我們也用矩陣表示基的改變(一個模同構)，這樣在自同態的意義下就引入了矩陣的相似。矩陣的逆和同態的逆也是對應的。

比較有趣的是，在模中矩陣的轉置有很好的解釋。我們說在環K上的模M，而環K本身也可以理解成一個模(數乘就定義成環中的乘法，需要有單位元)，而我們把M到K的同態稱為一個線性型(英文linear form 中文應該是這麼翻譯的吧)而我們可以給線性型的全體賦予一個模結構，稱為模M的對偶模M*，而對於每一個模M到模L的同態f我們可以定義一個對偶模M*到L*的同態f"＝u°f，而f"在對應基下的矩陣表示就是f對應的矩陣表示的轉置。而我們把對偶模的對偶模稱為雙對偶模(bidual module)，可以證明雙對偶模M**與M之間有自然同構，根據這兩個概念我們可以證明所有轉置矩陣的性質。

當模的基環是除環時，基有更好的性質，我們可以證明此時所有的基都有相同的個數，這樣就引入了維數的概念，此時的同態基本定理告訴我們

dim(M)-dim(Ker(f))=dim(Im(f))，而模的笛卡兒積對應的維數也有對應的計算公式。到這裡我們就可以引入秩的概念，同態的秩定義為同態像的維數，其對應表示矩陣的秩也由此定義，向量組的秩是其生成空間的維數。

接下來還有多重線性映射和多重線性型以及張量積，交錯線性映射等概念，進而引入行列式的定義，以及對仿射空間的討論，這塊有空補...

以及矩陣的分解以及矩陣分析的內容

有空再寫吧...不知道有沒有人看...

對了，教材什麼的可以隨便找本抽代看看，國內比較常用的是Hungerford的《Algebra》，再看Roman的《advanced linear algebra》，諾特環，主理想整環部分第一次看可以跳過，線性代數這沒有太難的概念，這本GTM大一也能吃得消。

李尚志的線性代數，比國內其他教材高到不知道哪裡去了，從來不會像其他教材一樣莫名其妙丟出一堆概念，先提出問題，再誘導你如何去解答，國內教材基本上第一章就講行列式，李書上先講線性空間，在自然的導出行列式。再比如說clay hamilton定理，用兩種方法推導，並且刻意規避了丘等書上的不嚴謹的地方，指出為什麼不嚴謹。等等例子。習題質量也極高，題目難度中等偏上。習題質量上要強於丘的高代。如果水平高，可以直接去看查建國和李炯生的線代，分分鐘提高姿勢水平---------------------------------------------補充。。。完成之後，可以看現代數學基礎系列的黎景輝的高等線性代數學（正在學習中），從更高的角度看待線性代數問題

聽說網易公開課上的MIT線性代數的課不錯，好多人說看了之後豁然開朗。。。

MIT線性代數的課件、作業等下載：http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/

路徑不清楚，推薦幾本教材吧。

俄選首推柯斯特利金的《代數學引論》，用它學線代還能讓你順帶了解幾何和代數結構，他們在這套書中是一個體系。

國內的就是李尚志吧，其他的我也讀的不多，不好瞎說。

線性代數最重要的是知道怎麼用線性變換的觀點去思考，怎麼用矩陣去計算，以及線性變換和矩陣之間的關係。

線性變換和空間的觀點基本就是讓你學習一個阿貝爾範疇的實例，聯繫一下同調袋鼠的觀點。

大部分的計算，尤其是應用類的，都是需要矩陣。所以會算也很重要，能熟練的算約到標準型，可以說線性代數里的主要計算就差不多了。

不要過度刷題，主要理解概念，行列式是什麼，空間是什麼，秩是什麼，特徵值是什麼，svd是什麼等等。當然可能一下子理解不了，先打個基礎，等要用的時候，學到其他課程，那時就方便理解了，不要當做一門課，學完就學完了，放長線，線性代數是工具，不用沒意義，用到了，就加深理解了

首先一般大神不會回答這種問題，也只有我等渣渣回答了。線性代數的學習你可以用類似哲學的語言說，矩陣是大電腦，線性變換是小型儲存器，trace和det是不變數，可以描述矩陣或者線性變換（不是完全描述），如後面表示論的特徵標實質就是trace。那麼線性變換看似比較方便一些，當然這些建立在線性空間上，不過如果有人說線性代數的核心是矩陣或者是線性空間我可能不會認同。當然直接說，不廢話，李炯生線性代數做完（ps:老老實實做不要找答案）你還能不知道什麼是線性代數嗎，如果這樣我第一個不服。

當初學線性代數很痛苦，讀研究生時發現這麼簡單的東西，當初竟然學得糊裡糊塗。

1.線性代數與數分概念差距太大，對初學者非常不自然。所以時間允許條件下，最好先搞明白概念，比如矩陣乘法為什麼這樣定義。這部分工作量相當大。

2.挖掘線性代數的幾何直觀，進行類比，比如行列式與有向體積。

3.引入泛函和運算元觀點，如《線性代數應該這樣學》。比如行列式可以看做交錯線性泛函，行秩=列秩需要考慮對偶空間等。

4.熟練掌握線性代數常用基本方法，推薦李永樂的線性代數習題（天朝線代玩得最轉的資料在數學一里）。

5.抄書。找本你認可的教材，抄一遍。

我在百度傳課上買了一個專門做自考的劉老師的課，我覺得此人講東西真的簡潔明了，比可汗的要好。啟航自考。用他的課入門，之後該加深難度的自己去看書，我覺得可以有。

李尚志，線性代數的課講的是真的好