數學分析中實數理論有多重要？

01-07

最近開始自學數學分析然後發現為什麼實數理論不僅坑（感覺完全這個乾脆證明不了啊一眼就看出來的）而且居然還有整整一大章都屬於這個理論的相關練習和推導上然後就很好奇為什麼要花這麼多功夫在這種一眼看上去就那樣的命題的證明推導解釋練習上啊 PS我用的俄教版。

我們為什麼要學習實數？

從分析的角度看，實數軸是最簡單的Banach空間、Banach代數、Hilbert空間

從拓撲的角度看，實直線是最經典的可分的局部緊Hausdorff空間

從代數的角度看，我們仍然不知道是否有從有理數到實數的純代數擴張

從極限的角度看，實數軸是最經典的度量空間

從幾何的角度看，實直線是最簡單的曲線

實數是我們的基礎，雖然實數理論很枯燥，但是非常有用。例如，我如果讓你證明實數的局部緊性你能立刻寫出來嗎？

實數理論當然很重要.

數學分析中的實數理論那就另當別論,你大可以跳過不看,反正那些性質到拓撲那裡你還會再遇到一次的,那裡說得更清楚

因為實數理論是實分析的基礎，實分析是近代數學和現代數學的分水嶺之一。學慣用現代數學的思維學數學，從學好實數理論開始。

數學分析是溝通連續和離散的一門學科。走向數學分析，只引入了一種新的運算：取極限。

通過各種不同的方式取極限，就給出了數學分析的各種重要概念。

然而，為什麼能取極限？為什麼有理數對取極限不封閉而實數就封閉了？通過極限定義的概念有什麼性質？

研究這些問題，不可避免地用到了實數完備性定理。

在研究實數的完備性時，我們對這些定理加以進一步的抽象發掘，就走向更深刻和好玩的東西。拓撲，度量，測度…

話說，實數可基於自然數的Peano公理嚴格構造並證出完備性，然而好多書並不講怎麼構造實數，就只能循環論證了。可以看一下陶哲軒的實分析。

特侖蘇陶的《實分析》前言里有寫道他對於這種教學法的理解，題主不妨一看

我的印象中，特侖蘇的意思是，要通過這種嚴格的演繹訓練，幫助學生們擺脫他們之前建立在現實世界中的對於數學概念的「感覺」，使得他們建立一種基於邏輯和公理的「感覺」。這樣做雖然開始進度會很慢，但是由於前期的嚴格的演繹訓練，使得學生們對於數學分析中的定理證明的思路有了更好的理解，因而到了後期，學習速度是會越來越快的。

謝邀。這問題已經問了半年了，今天還在邀請說明你對現有答案並不太滿意，但我也說不出太多好玩的東東。7月份時你在自學，當時是高考結束么？如果是的話，現在已經上了一學期的數學分析了，不知道你有什麼感覺。

數學分析中的實數理論基本分兩部分: 什麼是實數和實數軸的拓撲性質。第一部分就是極限的嚴格定義，通過極限用某種方法（比如Dedkin 分割）嚴格定義什麼是實數；第二部分就是閉區間套，列緊，有限覆蓋等等性質，有時還會講這幾大性質的互證。

就重要性來說，第一部分是最重要的，是幾乎所有數學的基礎。第二部分是相對次要的，嚴格上屬於點集拓撲學的基礎，放到拓撲課上去學也無傷大雅，放到數學分析里只是讓學生提前體會一下拓撲是什麼感覺，方便後面的學習。

實數理論還有一個作用是心理上的。剛上大學給你打一悶棍，用事實告訴你真正的數學究竟是什麼，和中學數學區別在哪裡，你到底知道什麼，不知道什麼，並讓你學會問為什麼。舉個例子，

一般數學分析第一課第一個命題就是

證明：根號二是無理數。
第一個問題，什麼是根號二？你真的知道嗎？
中學教育告訴我們， $x^2=2$ ，取 x 的正根，就是根號二。那 x 是個神馬東西呢？是指代數的未知量。指代什麼數呢？實數。什麼是實數？你真的知道嗎？
好吧，這個問題有點難。我們先跳過去，看下一個問題。
第二個問題，什麼是無理數？
小學教育告訴我們，非有理數的實數是無理數。這又產生兩個問題，什麼是有理數？一個蘋果，兩個蘋果。。。從這種數量關係中我們可以定義自然數。一個蘋果平均切成四分，每份四分之一，我們可以定義分數。通過加法定義減法，再通過減法定義負數。這些放在一起是有理數。
什麼是實數？又回到了老問題。。。想個辦法繞過這個問題吧。
搞了半天我們實際上還不知道根號二是什麼。
大定義術發動：我們定義根號二是等腰直角三角形中斜邊與直角邊的比值。
原命題就變成了：等腰直角三角形中斜邊與直角邊的比值不是有理數。

這樣我們把命題中每一個詞的意義搞清楚了。證明略。

幾輪打擊下來，你就會發現，其實你什麼都不知道，你以為你知道的只是別人灌輸給你的，你並不知道為什麼，不知道什麼是根號二，也不知道什麼是無理數。數學分析的實數理論從最開始就通過種種事實讓你學會：我不應該盲目相信任何話，唯一可以相信的只有自己的邏輯。你接受這件事實之後，教科書就會從頭開始，用自洽的邏輯體系來讓你相信，它說的才是對的，而且是你用自己的邏輯驗證過的。從此，你學的數學就有了基礎，這基礎來源於你對自己思維邏輯的信任而不是對書或是對某個人說的話的信任。

其實不是每個人都能接受這個過程的，這就是對你有沒有做數學的天賦的第一步篩選。我現在在德國，有時會給數學系的華人學生做些輔導。在這裡，挨完這一悶棍，基本一半人就轉系了，大教室換小教室，後面的課也就不會有太多人掛科了（這在中國好像行不通）。看你過了半年還在提問，不知道你是對第一部分的重要性有懷疑還是第二部分。如果是第二部分，沒關係，點集拓撲還要學，只要你前面的課都按部就班跟下來，到時候你就知道問什麼要搞那些稀奇古怪的東西。如果是對第一部分沒法接受，我勸你還是找個機會離開數學系，因為後面還會有更多的你沒法接受的東西，你的大學生涯會過的很痛苦。

微積分是建立在實數集上的，因為實數集對求極限運算封閉，就是所謂的實數完備性。

你看看小rudin你就知道為什麼了

初等數學欠了很多賬，沒有實數理論，很多東西回答不清楚。

1、初等數學中，圓周率定義為圓周長與直徑的比值，但圓的面積公式S=pi*r^2就不是在初等數學中能證明的的，因為初等數學的證明必須在有限步完成，而圓形我們沒有辦法在有限步把它分解成多邊形，因此我們不能在初等數學中證明S=pi*r^2；

2、在立體幾何的範疇中，我們無法證明球體的面積與體積公式，即使四面體，我們也無法證明它的體積公式，（Hilbert23個數學問題中的第二個問題）；

3、在初等數學中，我們無法定義無理數，即使把無理數定義為無限不循環小數，我們也無法定義它們的四則運算，更無法證明運算的結合律、交換律、分配率等等；

4、初等幾何中的直線，本質上是與實數不同的，可以給出一個幾何模型，在該模型中幾何的公理都成立，但直線與實數不能構成一一對應。這說明初等數學中，「數軸」「笛卡爾坐標系」是錯誤的概念；

5、初等數學中的許多函數是沒有定義的，如指數函數，對數函數，因此「初等函數」在初等數學中是錯誤的概念。

以上這些問題，都是源於初等數學中沒有實數理論導致的！

我覺得讀金融理工科的學生第一次可以不用細讀實數理論，只要先有實數的連續性這一概念即可。待學完一元函數的微分學積分學之後再回過頭來細讀體會，也可以等完全學完了數學分析再回過頭來看實數理論！這比較符合分析學的發展規律，也符合人的認知規律！其實這sb玩意，根本不會對學金融的學生後續學習實變函數測度 pde 構成什麼威脅……

個人看法……

我想起來了，實數理論當時在我們教材的開頭章節，老師跳過沒講，讓自己看。

直接從微積分開始學保證行！

牛頓萊布尼茲年代根本拿起來就搞微分積分，

照樣能出很多成果！極限理論，啥實數理論都是後加上去的。現在的歷史教科書忽略了歷史發展的邏輯，先來實數理論極限理論，然後微積分，根本不符合歷史！