六度理論如何證明？

01-07

任何兩個人之間的關係帶，基本確定在六個人左右。兩個陌生人之間，可以通過六個人來建立聯繫，此為六人定律，也稱作六人法則。
曾有一個實驗，一個股票專家做過一個實驗，將一封有關股票信息的電子郵件發送給一個陌生人，並要求這個陌生人把這封電子郵件轉發給一個熱愛炒股的人，當這封郵件第六次轉發的時候，竟然轉發回了股票專家手中，經過無數次的實驗，從發出到收回平均經過6次轉發，所以得出了一個初步結論，即：任何兩個人之間的關係帶，基本確定在六個人左右。兩個陌生人之間，可以通過六個人來建立聯繫，此為六人定律，也稱作六人法則。
不知有沒有嚴格的數學證明？

可以從Random graph (Random graph - Wikipedia)的角度進行數學描述：

將全球所有的人視為節點數量 $n$ 趨近無窮的一個圖，圖中任意兩個節點之間的連線是否存在是隨機的。我們想要的是：任意『兩個人之間的最短路徑』這個隨機變數的期望。嘗試將這個隨機圖的生成過程用 preferential attachment models（Preferential attachment）描述：

在 $t$ 時間，假設已經有一小撮人生活在地球，其人數亦為 $t$ （理解為每增加一個人時間+1）。這 $t$ 個人以某種隨機的方式相互認識or不認識。記他們之間的無向圖為 $PA_t$ , 在 $PA_t$ 中每個節點 $v_i$ 的度數為 $D_i(t), forall ileq t$ .
在下一時刻 $t+1$ ，新加入一個人 $v_{t+1}$ ，這個人認識 $v_i$ 的概率是 $mathbb{P}(v_{t+1} ightarrow v_t)=frac{D_i(t)+epsilon}{2t+2epsilon}$ ， $epsilon$ 取值取決於實際模型。可以看出，模型假設之前的 $t$ 個人誰認識的人越多（度數 $D_i(t)$ 越大），那麼就更有可能被新加入的人認識。
以此類推，每時刻增加一個人，以概率 $mathbb{P}$ 與之前的人隨機認識，直到 $t$ 等於全球人數 $T$ ，我們就得到了一個龐大的無向隨機圖 $PA_T$ ，它描述了全球所有人之間的相識情況。

需要注意的是這個隨機圖基於 preferential attachment model 的假設，所以你也可以試著用更廣義的configuration model (http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/5352/fall2013/csci5352_2013_L11.pdf )去假設概率，自己規定合理的連接模式，比如每個人認識其他任何人的概率都是一樣的，等於總人數分之1（然而這個顯然不合理= =）。

接下來可以證明（https://www.win.tue.nl/~rhofstad/NotesRGCN.pdf）在最終的全球人口的無向圖 $PA_T$ 中：

任意一個人 $v_i$ 認識人數為 $k$ 的概率約為 $mathbb{P}(D_i=k)=k^{- au}, ext{其中} au=3+epsilon$ 。
任意一個人 $v_i$ 認識的人數的期望為： $mathbb{E}[D_i(T)]=frac{T}{i}^{frac{1}{2+epsilon}}$

有了上面的概率 $mathbb{P}(D_i=k)$ ，我們就可以干很多事情了。比如:

推導兩點之間距離，即最短路徑，記為 $dist(v_i,v_j)$ 的期望 $mathbb{E}(dist(v_i,v_j))$

這就是題主要的東西，對於特定的模型參數 $epsilon$ ，可以使得這個 $mathbb{E}(dist(v_i,v_j))=6$ .

推導這個隨機圖的直徑 $sup dist(v_i,v_j)$ ，有篇論文(http://www.win.tue.nl/~rhofstad/diamCMrev.pdf)

總之，我們很難統計出幾十億人之間準確的關係，然後據此畫一個圖來看六度理論是不是成立。但是可以利用基本假設（比如PAM的連接模式）去構建一個隨機圖，從概率論的角度推導『兩個人之間的最短路徑』這個隨機變數的期望。另外也可以在基本假設下，用計算機很簡單的模擬具有大量節點的隨機圖，然後直接去算兩個節點之間的平均距離。

這個叫六度理論，現在還沒有被證明，因為這不是個數學問題。要建立人與人之間相互關係的數學模型幾乎是不可能的。此前，Facebook通過自己的後台數據證明了六度理論是正確的，但是Facebook的後台數據也僅是人際關係中很小的一部分。

嘗試著證明一下。

不妨反過來看，當所有人的一度人脈中互不相交的人數為定值m時，若通過不超過n次的轉接後，可以實現全世界總人數A都能被覆蓋，那麼這個n的最小值為多少。

不考慮一度人脈中的人脈重疊，不考慮m在人群中的數值差別。

如果做一個極為粗糙的模型那就是

m^n=A

n=ln(A)/ln(m)

當A為定值時，m越大則n越小。

假設全地球有100億人，若要n=6，m大概是46人，也就是一個人只要有不少於46人的一度人脈，就基本能實現通過6次轉接，通世界上任何一個人構建關係。

也就是說，如果你能有大概46個互不認識的朋友或者普通人。而這46人又各有認識著46個一樣性質的朋友，不斷迭代下去。

大概轉接6次，你就可以覆蓋100億人了。

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吃完晚飯回來看到樓下@斷水流大師兄的一個有趣的問題，其實這個問題的本質就是一個統計問題。上述的模型很粗糙但是表達了一個基本的原理，查了資料發現早已經有數學家把這個玩的很6了，鏈接戳這裡

拉姆齊定理

當然我是來偏一下題回答大師兄的答案的。

很簡單，初中生可以用抽屜原理解決這個問題，不要想偏了，跟地球上有多少人沒有關係。

我補充個圖，下面是5個點，這5個點代表人，如果用實線表示這兩個人認識，用虛線表示兩個人不認識我們可以看到

假設出現了上圖這種狀況，規定兩人相識兩人不相識，那麼問你最後一根線可以是什麼？

無非是實線或虛線，因此這五個點要麼有三個人是三根虛線要麼就會有三根實線。更重要的推論是，一定會有2根交點相同的線，他們的虛實性質是相同的。

更簡明的理解是給你男生女生共5隻，讓你給他們排隊，一定會有2個性別相同的人相鄰。

現在讓我們把圖移動一下。畫一個五角星

圖中打問號的線是還不知道該畫實線還是虛線，我們已經儘可能的避免了有兩根線性質相同的線有在ABCDE上的共同交點。

那麼問題來了，這最後一根線不管是實線還是虛線，都必定帶來兩根性質相同的線相交在ABCDE點上，原理和上面那個五邊形相同。

如果這兩個圖相疊會帶來什麼，我看到有人若有所思感覺到領悟到了什麼，

但是別急，往下看。

我想說，這道題的命題是被證偽的。

為什麼？因為5不是這道題的最小值，證偽如圖

亂七八糟的是虛線。。畫圖弱。。。

這道題的拓展是，【如果任意選擇了n個人，要滿足有任意其中3個人兩兩相識或兩兩不相識，那麼n的最小值是多少？】

有興趣的可以繼續利用抽屜原理。這裡不劇透了。好賤…

我的一個 FaceBook 好友的 FB 好友是 Amilia Windsor ，她是聖安德魯斯勳爵的女兒，聖安德魯斯勳爵的父親是根特公爵，根特公爵的父親是喬治王子，喬治王子的姪女是伊利沙伯二世。

根據六度理論，我認識英國女王。但這並沒有卵用。

這根本就不是條數學定理怎麼找數學證明，這只是個現實世界的量化（數學？）描述而已...

當然有研究社交網路的人做這個研究，之前data mining某牛教授提過Jure Leskovec在驗證這個...

可以證偽。剛剛出生的嬰兒的社交度是抱他那個人的社交度+1。

除非你認為他不是人。這玩意兒就是一個觀察到的現象，哪裡是什麼定律。

而且也是現代，桃花源里的人怎麼去認識某個印第安人？開玩笑嘛。

轉一個今天剛看到的文章相關部分吧：

六度分隔理論(Six Degrees of Separation)，又稱作小世界理論，最早是由美國哈佛大學社會心理學教授斯坦利?米爾格蘭姆提出的。他做了一個實驗，他隨機選了300多個人，要求他們盡自己可能將一封信寄給一名住在波士頓的股票經紀人，這300多人沒人認識這個股票經紀人。最終，竟然有60多封信件到達了波士頓股票經紀人的手上，並且平均經過了5個人。這就是著名的六度人脈實驗，它揭示了「當時」社會人與人之間普遍聯繫的規律。

先來簡單做一個數學題，來看看六度人脈理論的影響力。

假如你有19個朋友，加上你一共20人。而每個人的朋友數量大致跟你相同。那麼六度人脈覆蓋的人數：

20的6次方＝64,000,000＝6400萬。（比北京和上海人口之和還要多）

而社會學的研究指出「每個人與之保持社交關係人數的最大值是150人」，這就是著名的「150法則」。我們用150人這個峰值計算一下六度人脈覆蓋的人數：

150的6次方=11,390,625,000,000
這個數字大得我都不會念，總之遠遠超過目前星球上的所有人類數量，即便再加上所有人類近親，猴子、猩猩、狒狒，都遠遠達不到那麼大的數字。

上面的簡單計算，說明了六度人脈的適用性和科學性，看起來有相當高的bigger和正確性。但是，上面的實驗存在一個先入為主的假設，就是人與人之間的關係是靠人來聯繫的，簡單說就是人脈只是人在起作用。

但是，在21世紀，我們明白，這樣的假設並不正確，局限於時代的六度人脈理論註定不能在互聯網時代繼續適用，因為在我們這個時代，人與人之間還有機器和網路。

以上內容轉自「人人都是產品經理」，想看全部的同學，可以點擊傳送門：從6到1，人脈理論的顛覆

只是個大致說法而已，不會有嚴格證明的。類似於我們說人都有十根手指一樣，你想數學證明嗎？@六指琴魔

今天剛在steam吧看到一個好玩的測試，在你等級最高好友的列表中找他等級最高好友，如此反覆，會找到p神(曾經steam等級最高的人)，我3級，好友最高20級，然後我點了4次找到了st4ck（現在steam等級最高的人，1713級），然後我又從等級第二好友(12級)開始找，之後還是找第一，點了3次找到了p神。

現身說法，答主在校大學生，朋友圈不小不大

今天下午我男票把銀行卡丟了，然後我在所有的交際平台都發了啟事。沒一個小時就在一qq群里收到了回復。

回復我的是我在學生會同部門的一朋友，撿到卡的是這個朋友的舍友的一個高中同學（現在也大學同校）；並且，這兩個人都是我男票的同班同學。

雖然有點繞，但是也足夠說明這個理論體現在生活上的神奇了～

暫時沒有嚴格的證明，準確來說這個理論是由社會網路總結出來的一個有趣的現象，先是哈佛大學社會學家做得一個實驗，然後提出的一個假設，最後通過大量的網路實例來佐證出這個理論的合理性。樓上所說的Facebook的後台數據也佐證了這個假設。假如你有興趣可以看汪小帆等人編寫的《網路科學導論》，裡面詳細介紹了複雜網路這門學科的發展和相關研究方向。

現實社會中的WWW網路，Internet網路，航空網路，經濟貿易網路，交通網路這些複雜網路表面上各不相同，但是透過現象看本質的話，他們還會有很多相似之處。研究人員建立了各種各樣的模型來解釋和描述這些網路，還是很有意思的。

和我聊天的朋友，我是幾年前通過朋友認識他的，而且我在市裡，他在縣裡，他很少來市裡感覺很巧很神奇...

這個理論是基於每個人會有大概50位比較熟的人（說朋友不夠這個數，說認識的人又遠超50，糾結），假設第一個人認識的50人認識的另外50人沒有重疊，這就是一顆50叉樹（害怕），地球人口撐死不到100億，取對數算一下，(log_50^{10^10}=frac_{log(50)}^{10}=5.886)

當然考慮到這個50叉樹中間還有節點這個最終的數目還會再降一些，又考慮到其實樹可能有重疊，所以估計來說6個人差不多能覆蓋全地球的人口。

當然要是只說認識的話，除了沒上大學的學生以外每個人認識100人不過分吧。。

六度是不準確的，嚴格來說是科學家為了吸引眼球的包裝手法。這類包裝手法在國外研究中經常被使用，無非是為了好記，印象深刻，博人眼球。

六度只是一個數百封郵件實驗得到的估值，意在表述網路的APL並不大。但隨著網路規模擴大，APL也是增長的，只不過與網路規模呈無標度式增長規律。你要的答案在複雜網路的入門學術綜述論文里能找到答案。如果要更簡單些，建議看看巴拉巴西（BA無標度網路提出者，複雜網路著名科學家）寫的科普讀物「鏈接：網路新科學」

不請自來,

先說結論我不能證明這個定理，我只是站在碼農的立場提供一個視角，拋磚引玉。

一，DOM（文檔對象模型）

是一個規範的公用API（應用程序介面）。在DOM中每個節點或者說元素都有各自的特點，數據和方法。借用了數學上「樹」的概念，節點之間形成了一個層次結構，這就是DOM樹。

二，人類對象模型之樹

遍布地球的所有人類，無論其是何種膚色何種文化，何種信仰，其實都是由一個或幾個共同祖先繁衍而來（萊士和威爾遜，他們在1987年分別帶領兩個實驗室通過檢測細胞線粒體內的遺傳物質脫氧核糖核酸發現，所有現代人的祖先可追溯到約15萬年前非洲的一個女人「夏娃」）

這個共同的源頭作為「樹」的根元素向下發散，形成了「人類之樹」。

你所認識的每一個人，所聽過的每個人，曾經有過的每個人，所有的獵人與強盜，英雄和懦夫，各種文明的締造者與它的毀滅者，國王與農夫，發明家與探險家，教授道德的先賢們，貪污的政客，超級明星，至高無上的領袖，人類歷史上每一個聖人與罪犯，都在這顆「人類對象模型」之樹上有著特定的位置。就像每片葉子之於一顆自然界的樹，我們每個人都是這顆人類之樹上的一個節點而已。

三，抖個機靈

別說已知六個人（節點）那麼多了，哪怕只知道你自己本身也能查詢到這顆人類之樹上的任何一個節點啊，怎麼做？不斷的.getParentNode().getParentNode().getParentNode()然後.getChildNodes()咯噹然前提是你得有「地球online」的管理員許可權。。。。

手機排版，將就著看吧。

題目原例：曾有一個實驗，一個股票專家做過一個實驗，將一封有關股票信息的電子郵件發送給一個陌生人，並要求這個陌生人把這封電子郵件轉發給一個熱愛炒股的人，當這封郵件第六次轉發的時候，竟然轉發回了股票專家手中，經過無數次的實驗，從發出到收回平均經過6次轉發，所以得出了一個初步結論，即：任何兩個人之間的關係帶，基本確定在六個人左右。兩個陌生人之間，可以通過六個人來建立聯繫，此為六人定律，也稱作六人法則。

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是否有這個實驗存疑，而且這個實驗描述也很不嚴謹。先引用百度百科中「六度空間理論」的定義（這個定義還未必是最終公認的）「你和任何一個陌生人之間所間隔的人不會超過六個，也就是說，最多通過六個中間人你就能夠認識任何一個陌生人」，百科上還引用這麼一個故事，幾年前一家德國報紙接受了一項挑戰，要幫法蘭克福的一位土耳其烤肉店老闆，找到他和他最喜歡的影星馬龍·白蘭度的關聯。結果經過幾個月，報社的員工發現，這兩個人只經過不超過六個人的私交，就建立了人脈關係。原來烤肉店老闆是伊拉克移民，有個朋友住在加州，剛好這個朋友的同事，是電影《這個男人有點色》的製作人的女兒在女生聯誼會的結拜姐妹的男朋友，而馬龍·白蘭度主演了這部片子。

那麼第一，「從發出到收回平均經過6次轉發，所以得出了一個初步結論，即：任何兩個人之間的關係帶，基本確定在六個人左右。兩個陌生人之間，可以通過六個人來建立聯繫，此為六人定律，也稱作六人法則。」拜託，轉發六次，除開第一個陌生人跟專家，應該是還有5個陌生人。。。。，同時我也手癢（？）看了下百科例子的人物數量。

（老闆→加州朋友→同事→女朋友→結拜姐妹→父親→演員白蘭度）

（朋友←同事←---男朋友←結拜姐妹←女兒←製片人←演員白蘭度）

第二，「要求這個陌生人把這封電子郵件轉發給一個熱愛炒股的人，當這封郵件第六次轉發的時候」，就表示其實這六人+專家間的聯繫其實是「互有郵箱的股票相關人員」，也就是說社交關係是相同的，換句話說，是個圈子。而百科上的這個例子，可以說每個都是不同的社交關係。所以，從題目的例子中根本引申不出「六個陌生人」的說法。

第三，題中大意應該是「只」轉發給一個，然後，還經過「無數次」的實驗，從發出到收回平均經過6次轉發。這從實際上來說是絕不可能的。先假設現在所有玩股票的人都只有兩個有郵箱的股票相關人員「朋友」，而要達到6次傳遞（最優解）就從第一個陌生人到最後專家那裡，必須保證每次都是投遞到2個朋友中」正確的「一個，概率為為2的6次方分之一，也就是64分之一約為1.56%。那麼就是說1.56%的概率為6次，其餘的為6次以上，不知道怎麼算出來的平均6次。即使改為5人傳遞也好不到哪去。這裡還需假設所有人的好友互不重疊，以及部分路線的回傳等挺多因素的，需要技術黨來操作了。但是依本人大致估計，考慮上每人的好友數增加（會增加連接數，也會減少連接率），好友可能重疊，路線回傳（最終抵達情況變多，但是傳遞次數也變多）等情況，要保證6次的平均數據，最多只能是個50人以下的」好友間「互有郵箱的股票相關人員」圈子「，這TM的叫陌生人？

我想靜靜（捂臉）。跪求你們建個群。

總結：這個例子是一個知曉了相關理論以後，未經一定的合理性推理就寫出來為證明或說明而存在的例子。

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至於題目中提到的「不知有沒有嚴格的數學證明」，我比較贊同 @胡寒志提到的「準確來說這個理論是由社會網路總結出來的一個有趣的現象，」也應該說這隻能是一個社交現象或理論，而不可能是數學命題（類似的還有」長尾理論「）。各種條件極度不嚴謹：昨天不認識不代表今天不認識，什麼程度叫認識，通過3個還是9個還是平均數個「陌生人」。。。。前文中寫的連接數什麼的讓我想起了迅雷（我眼中P2P的典範），同樣的，我在上文第二點中提到的是「只」，如果不是「只」，而是「都」的話，反而是說明了六度空間理論的可怕性，或者說是指數成長的可怕性（40的六次方為41億）。

上面王小賤引用的米爾格蘭姆例子，「20世紀60年代，美國心理學家米爾格蘭姆設計了一個連鎖信件實驗。米爾格蘭姆把信隨機發送給住在美國各城市的一部分居民，信中寫有一個波士頓股票經紀人的名字，並要求每名收信人把這封信寄給自己認為是比較接近這名股票經紀人的朋友。這位朋友收到信後，再把信寄給他認為更接近這名股票經紀人的朋友。最終，大部分信件都寄到了這名股票經紀人手中，每封信平均經手6．2次到達。（引用百度百科）「裡面有一句重要的說明，」自己認為比較接近「（請自行對比原例中的轉發說明），這裡就體現出了一個」尋徑「的思維，懂這個詞的都懂了。可以說六度空間理論天然地和網路社交聯繫在了一起，再加上「大數據」等新名詞，畫美不看。至於到時候會引起多大的逆反心理，就不是我現在所能猜想的了。（莫名想到了後搖）

百科中提到」六度分割雖然是個社會學的理論，但是實際上它更像一個數學理論，「而我的理解正好相反，不完全歸納後的數學上的證明更多的只能說明六度空間理論的可靠性或者說範圍適用性。但我嚴重同意其中的一句話」這個理論在很大程度上讓人們對於信息時代的人類社會有了很深的理解與探索。」

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再多說幾句，以上內容，所有都是「學來」或者剛看來的（包括翻些網頁），包括一些引用的，以及引用引用的，以及。。。。那麼這其中有沒有可能也有如題目原例中類似的錯誤，或其他原則性呢？我不知道，在這信息爆炸的年代，我大概不可能再去為了某次答題而從頭去證明一切。那麼我又如何保證我的「想法」是「正確」的，而「正確」又是什麼？

「我」的「想法」是「我」的嗎？

人們對於信息時代的人類社會有怎麼樣的理解與探索？

門衛關於人生的三大終極問題是否會在信息時代得到某些解答？

我還是不知道。

以上。

重度宅男就能打破這個～

另外6度人際關係確實已經是很大的跨越了，如果他們100%引薦我的話，我可以用4度關係認識絕大部分美國搖滾歌手…然後6度認識奧巴馬都不是沒可能的了…

問題是按照實際情況我能認識到第二度就不錯了～

——————補的晚了———————

1929年，有一個匈牙利的作家喚作Frigyes Karinthy，在他的一篇文章中提出了一個假設，「世界上任何不認識的兩個人相連，最多只需要另外的5個人」，於是江湖上奉他為「六度空間」的首創人。（總感覺是衛生巾廣告＝0＝）

時間倏忽而去，到了1950年，德索拉普爾和科肯用數學語言描述了該問題，但是證明了幾十年啥也沒搞出來，真是辛辛苦苦幾十年一夜回到解放前呢。

後來，有一個叫米爾格拉姆的美國人在20世紀60年代搞了一個實驗。他在內布拉斯加（Nebraska）找了幾百個人，並交給每個人一封信，讓他們自己想辦法把這封信交給一位住在波士頓的商人。當然他們不能親自送過去，而是必須選擇一個他們認為可能與這個商人有聯繫的人，讓他把信交給商人。在這1600多公里的路途上，平均信件經過了6次傳遞就可以到達商人手中。這個實驗讓「小世界效應」聲名鵲起。

但是，在如山鐵證面前，還是有人不服氣，他們氣勢洶洶的指出「用這種小範圍（美國國內）的實驗就想證明一個世界上的普遍真理，簡直Too Young Too Simple」。於是乎，又有人出來做實驗啦（囧）。2002年，鄧肯瓦茨（Duncan Watts）還有他的小夥伴們，把米爾格拉姆的實驗擴展到了全球的範圍。他們找了9.8萬志願者（以美國人為主），以及來自13個國家的18位目標人，每個志願者被隨機指派給一個目標人發Email。方法還是通過米爾格拉姆的方式，在人與人之間進行傳播。大規模的實驗過後，他們得出「想要將Email發給目標人，大體上還是要經過6次傳遞」。就這樣，「六度分隔」效應基本被證明了。

呼，世界何其之小。

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參考文獻：

《大連接》古樂朋，詹姆斯·富樂著，簡學譯，中國人民大學出版社2013年第一版。

有一篇專門的論文叫做 the small world problem對此有詳細的介紹。通俗易懂。

但是大概來說有學者曾經試圖建立一個數學模型來解釋我們身處其中的世界，最後失敗了。跟你說的那個不知道是不是一回事。手機碼字不便，之後再來補詳細的。

六度定理嚴格意義上來講是錯誤的啊，一些叢林里的原始部落里的人根本沒被發現，他們跟現代社會的距離是無窮大的。

偏個題，第一次聽到這個六度理論的時候老師沒有提及到數學證明，倒是證明了另一個說法:

對於任意的六個人，其中必定有三個人是兩兩認識的或兩兩不認識的。（經評論提醒改正）

這個說法細想也很有意思，數學證明也很簡單，有興趣可以自己試著推導一下。

這個可以參見四色定理，推理至七色地圖四色定理

裡面所提到的拉姆齊定理，拉姆齊定理即友誼定理，就可以完全滿足證明題主的問題了。