差分法只可以數值求解薛定諤方程的前幾個本徵態嗎？

01-07

我們使用有限差分法來求解薛定諤方程時，會將求解區間離散成n份，在對角化哈密頓量之後得到n個能級的波函數和對應的本徵值。
可是我在操作的時候發現，對於較大的n（較高的能級），解總會出錯。
以諧振子為列

橫坐標是能級，縱坐標是能量。當n比較小的時候，能量與能級呈線性關係。可是隨著n的增大，能量會偏離線性關係。
（n已經取得非常大了，畫圖只畫了前400個）
為什麼會出現這樣的情況？

真誠求問

很簡單的，你要算得准，就必須把空間離散化得足夠小，然而什麼是足夠小呢，必然是波函數在若干個離散節點之上是緩變的。。

低量子數的波函數，變化不那麼劇烈，在某個確定的離散化下，能級可以算得比較准。然而，高量子數的波函數，變化跟劇烈，自然導致計算不準。。

算高量子數的能級的時候，要想算得准，不換演算法的話，只能是把空間離散化得更小一些。。

當然，也有可能是演算法的問題，不知道你是怎麼算高量子數的波函數個能量的。。一種演算法是，先算低能級的波函數，在找能量最低的和之前算出來正交波函數，這樣一級一級往上算。。由於誤差積累的緣故，自然高量子數的結果就不準了。。

隨著激發數的增加，根據節點定理，波函數的節點會越來越多，震蕩次數越來越多，因此需要幾乎線性地的(經驗上說)增加步數。所以差分法一定程度上只適合求前幾個激發。

能量越高，動量越高，波長變短，解析度下降，這不是很直接的邏輯關係么。。。

很顯然，你要保證精度，區間劃分數量必須跟能量成正比：

$Delta x leqslant lambda/4= frac{h}{4p}=frac{hc}{4sqrt{(E-V)^2-m^2c^4}}$

空間上的離散距離最好不要超過波長的1/10，用n等分的離散算前n/10個能級還是靠譜的

換言之想算到個能級可能需要10n等分的離散