Math Studio 對任意函數的不定積分是怎麼實現的？

01-07

積分能不能用初等函數表示出來研究的比較早，主要工作基於 Liouville 定理。較近的文獻，比如（這是數學教育方面的期刊，並非 1993 年的研究成果）：

A. D. Fitt, G. T. Q. Hoare, 「The Closed-Form Integration of Arbitrary Functions」, The Mathematical Gazette, Vol. 77, No. 479. (Jul., 1993), pp. 227-236.

符號不定積分的演算法，基本的經典演算法主要是 Risch 演算法，在 20 世紀 60 年代末到 70 年代初被提出。（順便說一句，計算機方面的許多領域的經典理論和演算法有很大一部分都是在六七十年代提出的。）這個實用的演算法比 Liouville 定理的純理論要複雜得多。這個演算法本身可以寫成一本相當厚的書，我很久以前翻看了兩眼之後就果斷放棄了。最早的論文應該是 1968 年的

Risch, R. 「On the Integration of Elementary Functions Which are Built Up
using Algebraic Operations」. Report SP-2801/002/00. Santa Monica, CA:
Sys. Dev. Corp., 1968.

不過更多被引用的大約是

Robert H. Risch, 「The Problem of Integration in Finite Terms」, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 139. (May, 1969), pp. 167-189.

簡單的介紹可以看維基百科和 MathWorld 的介紹，後面有文獻參考：

Risch algorithm

http://mathworld.wolfram.com/RischAlgorithm.html

現代的符號積分系統可能在演算法上有很多變形和優化，具體到 mathstudio 很難說用到哪些變形。

這就要提到mathematica的作者在依稀記得是78還是79年的時候寫的一篇論文（不過我不知道叫什麼），講的是一個不定積分的演算法，如果最後沒積出來，就自動證明函數不可積的這麼個事情。

Risch演算法或者Risch-Norman演算法之類的。。。Maple核就是這個符號運算非常的麻煩你可以用wolframalpha求解一個不定積分然後要求顯示步驟來了解大概的過程