三角函數：正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割，這些名字的來源是什麼？

01-07

這些名稱中的弦，切，割來自於哪裡呢？最初是哪裡引進過來的呢？為什麼有種是從日語中引進的外來詞呢？
近來看到日語中正接余接對應中文的正切餘切這種對應是漢語借用日語呢還是日語借用漢語呢？

所有三角函數都可以由單位圓周邊各種線段的長度來表示。

正餘弦，正餘切，正餘割，分別對應特定的弦，切線，割線的長度。

任何有基礎幾何的文明，都有弦，切，割的概念。

翻譯時完全可以意譯，無需引入外來詞，不用互相借鑒。

《幾何原本》相關章節是第三卷，由徐光啟從拉丁文翻譯 [1]。

日語把切線叫做接線，而漢語中也有內接圓這樣的說法。

下圖是更多變態三角函數。圖中AC是半個弦，EF是切線(tangent)，OE是割線(secant)

圖片均來自http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions

[1] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%8E%9F%E6%9C%AC#.E6.AD.B7.E5.8F.B2

這些漢文名詞，在明朝的西洋人來中國著書的時候，就已經確定下來了。順帶一提，徐光啟、利瑪竇、開普勒、伽利略，都是崇禎年間的人，崇禎是明朝最後一個年號。

換句話說，數學爆發，是發生在明末清初的法國。

而兩三百年後的清末民國，是電磁學爆發。

三年內戰十年文革，是計算機爆發。

現在，我們終於在和平年代，趕上互聯網。

幾次技術革命，我們全在亂世。眼下知識尚未再次被完全壟斷，理應藉助互聯網，發展起來——這句話不是說國家，而是說個人。

現代的三角學，是基於弧度的函數。

古典的三角學，是基於圓的幾何學。

原本這幾個詞都是圓上的幾種線，現在全都轉變為比值了。（各種比值定義自己翻數學書，這裡只講幾何定義——其實比值定義，只不過就是把幾何定義里的圓半徑看做單位一時的長度）

先來，搞清楚什麼是「正」，什麼是「余」，來看總圖。

這是四分之一圓的八線圖（除了三正三餘，還有二矢，現在這不重要，往下讀）。

正，就是我們認定的那個當正角兒（juer，主角兒，主要角色，正主兒）的那個角（jiao）。

余，就是餘角，直角90°減去我們認定的那個正角兒，就是餘角（直角是規整的，我們拿出需要的那個正角兒，剩下的就是余出來的）。

然後，搞清楚「弦」是什麼意思。

弦，就是弓弦。

在圓里，弦和弧組成了一張弓。

當這張弓成為半圓的時候，它的弦就成了一個直角三角形的斜邊。

這就是為什麼我國把直角三角形三邊稱作「勾」、「股」、「弦」。（股，是有肌肉的那一截腿，比如屁股、大股、小股。勾，就是彎折起來的又小又短的那一段，對於腿而言，腳就是勾。）

現在，可以進入主題了。

來看正弦、正切、正割。

看到正矢這個量了沒（甲丙的長度），現在已經不怎麼用了。矢就是箭，箭就是矢（聖鬥士星矢，就是雅典娜射的箭），看那個矢，是搭在弓上，正是射箭的時候準備向後拉弦的狀態。

原本，正弦，是叫做「正半弦」，但是簡化了，所以其他所有名詞就都跟著簡化了。

再重複一遍，現代的定義呢，不關心這些線的幾何作用了，只關心他們和圓的半徑構成的各種三角形里的各種比例關係（如果圓的半徑是1，那麼他們的長度，就在數值上等於他們在現代含義里的比值）。

切，就是貼合的意思，這裡的切可不是切除的切啊！！！是貼切的切！是親切的切！是切合的切！是第四聲！

看到沒有，重點不是切下來的東西，重點是刀和上圖右邊的韭菜無縫貼合——這就是切線的含義，切線就是那把刀，圓就是和刀緊密貼在一起的「韭菜」，用刀切出一個圓形來，刀與圓的邊緊密貼合，所以才把切線叫做切線。

割，就是把圓「割開」的那條線。

割和弦的區別，就是割有位於圓外的部分，且經過圓心，而弦的端點是在圓上。

再然後，余字輩兒的意思，就應該都明白了。

小註：

這張圖的四餘，是對正角而言的，其實就是餘角的四正。

關於函數圖像：

x軸是弧度（角度是六十進位，計算它對應的弧的「弧長/半徑」，就得到十進位數，把這個數起名為弧度。如此，六十進位的角，就綁定出了十進位數——它的必要性與三角函數求導公式的表達形式有關——試想，如果仍用六十進位表示角，那麼在sin圖裡的斜率，就是十進位數比六十進位數，可我們若要用cos來表達sin"，因為cos值是十進位，那就要加多一個和六十進位有關的常數才能表達出sin"這個半十半六十進位的斜率——這樣換來換去的表達太麻煩了，所以為了大一統方便，就創生出同為十進位的弧度）。

然後把上述單位圓圓心放在坐標原點。

這樣，算二弦比值的時候，二弦線有正負，半徑無正負（三角形甲乙丁和乙丁己，這裡配套的半徑不合坐標軸方向，沒法兒有正負）。

算二切比值，二切線有正負，配套的半徑也有正負（三角形丙丁戊和丁庚辛，這裡配套的半徑直接是在單位圓坐標系的軸上）。

算二割比值，二割線無正負（方向不垂於軸，故無正負可言），配套的半徑有正負（三角形丙丁戊和丁庚辛，這裡的半徑，也是和二切配套的半徑）。

於是，y軸上的比值，就這麼確定出來了。

所以教科書上在畫正弦圖像的時候，會畫個圓在旁邊，這就是原因——只不過正弦圖像在y軸上的正負，正好是單位圓所在坐標系的正弦線的正負，所以直接就用這個圖，讓人以為只要轉啊轉的，圖像直接就出來了。

但是畫出其他圖像的機理，可不是這麼簡單的，因為正負號的確定是一坎兒，具體怎麼做，之前我已經講過了。

感慨：

古典的概念，再抽象，也必然是以具體的現實實物為基礎。

不要拿現代的這種不必有實物即可定義的思維，來理解古人的知識。如果用抽象解釋抽象，那會有很大偏差，甚至是胡扯。

八線圖引自：

為什麼有的人臉看起來「寡淡」？

來源是文言文。

把詞語拆成字逐個分析。

「弦」代表長，也就是斜邊，從「勾三股四弦五」中遷移過來。

「正」就是正對，表示直角三角形中角的對邊。

「余」代表相鄰，表示直角三角形中與角相鄰的直角邊。

「切」有垂直之意，在圓的切線中有體現。

這樣一來，正弦就是對邊比斜邊，餘弦就是鄰邊比斜邊，正切就是對邊比（與對邊垂直的）鄰邊。

我們常說切割，在數學裡，切和割是相差很遠的，比如切線和割線。所以在三角函數里，切割相反。

據我所知，在三角函數的名稱中使用「正，余」和「弦」這一組辭彙，來自於公元12世紀之前的印度文獻Sūrya-siddhānta。在該文獻中，引入了與現代涵義基本相同的正／餘弦概念，同時術語也非常接近。但是印度有非常悠久的三角學歷史，被稱為jyotpatti-ga?ita，意為「研究計算如何構造『正弦』的科學」。這裡jyotpatti是jyā（正弦）和utpatti（構造）的連音。

＊需要注意的是，印度的三角函數與現代三角函數有一個並不重要的區別：印度的三角函數是一個角在圓周上對應弧長的函數，並不像現代的三角函數被定義為一個角的函數。＊

印度人引入了如下三種三角函數：jyā, ko?i-jyā, utkrama-jyā

jyā 是現代的正弦函數，本義是「弓的弦」，同時被借用作「一個圓弧的弦」的意思。但是到後來，婆什迦羅第二（Bhāskara II）注意到，jyā這個詞如果用作三角函數，被用來指ardha-jyā，即「半弦」。針對這個混亂的用詞，數學家Parameshvara評論道：

一個圓的一部分，形狀像弓，所以它被稱為dhanu（弓、弧）；
連結它的兩個端點的直線被稱為jivā（弓弦），實際上它是指一整條的弓弦samasta-jyā；
它的一半被稱為ardha-jyā（半弦），一條半弦所對應的弧的一半被稱為這條半弦的dhanu;
一條弧的jyā和ko?i-jyā（正弦和餘弦），所指的總是半弦。