White和Cluster估計出來的標準差一定比homo估出來的標準差更大么？

01-07

如題。還是單純只是不一樣而已？

一般來說是的，但是感謝 @Loser Loser提醒，之前是我想當然了。

White異方差和同方差都可以寫成如下形式：

差別在於中間那個 $hat{u}_i^2$ ，如果下標沒有i，就是同方差的情況；如果有i，就是異方差的情況。

一般來說根據Jensen不等式，平方是一個凸函數，比如：

$1^2+2^2+3^2=14geq12=2^2+2^2+2^2$

所以如果用White異方差，中間 $hat{u}_i^2$ 的平均一定是更大的，但是麻煩在這裡中間是 $hat{u}_i^2cdot x_ix_i$ ，而不是單純的 $hat{u}_i^2$ ，所以如果 $hat{u}_i^2$ 與 $x_ix_i$ 是負相關的話，會出現White-robust比同方差更小的情況。

注意這不是一個小樣本性質。即使在大樣本情況下，也會出現這種情況。在大樣本情況下，是： $E{[E(u_i^2|x_i)-E(u_i^2)]x_ix_i$ ，可以粗略看為是 $u_i^2$ 與 $x_i$ 方差的相關係數，如果相關係數為負，那麼的確可能出現大樣本條件下White-robust比同方差更小。

比如下面的這個反例：

clear set more off set obs 50000 gen x=rnormal() gen u_star=rnormal() gen sigma=sqrt(1/x^2) gen u=sigma*u_star gen y=x+u reg y x reg y x, robust

結果：

對於Cluster的標準誤，我們一般有以下結論：

所以組內的誤差項相關性有沒有可能是負的呢？看來也是不一定的。當然絕大多數情況下，是正的。