請問將一個鞅停止於停時，得到的過程還是鞅嗎？如果是，如何證明呢？謝謝！?

01-07

今天期末複習剛推導這個，故來回答一發。是的，將一個鞅停止於停時即是stopped martingale（又稱stopped process）。設 $X_n$ 是關於 $mathcal{F}_n$ 的鞅，T是停時，我們證明 $X_{min{n,T}}$ 是關於 $mathcal{F}_n$ 的鞅：欲證明 $X_{min{n,T}}$ 是關於 $mathcal{F}_n$ 的鞅，即驗證 $mathbb{E}(X_{min{n+1,T}} | mathcal{F}_n) = X_{min{n,T}}$ 。首先拆項： $X_{min{n+1,T}} = X_1I_{{T =1 }} +dots+X_nI_{{T =n }} + X_{n+1}I_{{T ge n+1}}$ ；其次由停時的定義 $X_1I_{{T =1 }} , dots, X_nI_{{T =n }}$ , $I_{{T ge n+1}}$ 關於 $mathcal{F}_n$ 可測（完全由前n個觀測量決定），故可以從條件期望中提出：左式= $X_1I_{{T =1 }} +dots+X_nI_{{T =n }} + mathbb{E}(X_{n+1}|mathcal{F}_n)I_{{T ge n+1}}$ ；最後用鞅的定義 $mathbb{E}(X_{n+1}|mathcal{F}_n) = X_n$ ，左式= $X_1I_{{T =1 }} +dots+X_nI_{{T =n }} + X_{n}I_{{T ge n+1}} = X_1I_{{T =1 }} +dots+X_nI_{{T ge n }}$ =右式。

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補充一發。我證明的結論是： ${(X_n, mathcal{F}_n)}_{n=1}^infty$ 是鞅，則 ${(X_{min_{{n,T}}}, mathcal{F}_n)}_{n=1}^infty$ 是鞅。這個結論不依賴於停時定理，只要T是停時即可，對連續時間鞅也成立類似的結論。

看了其他幾位朋友的回答，發覺題主描述的「將鞅停止於停時」，或許和我理解的不同。事實上，從停時定理能推出另外一種結論： ${(X_n, mathcal{F}_n)}_{n=1}^infty$ 是鞅， $T_1 le T_2 dots le T_k$ 是一串遞增的停時，且滿足某種有界性條件，則 ${(X_{T_k}, mathcal{F}_{T_k})}_{k=1}^infty$ 是鞅。這裡的有界性條件在技術上保證了期望和無窮求和的可交換性，從強到弱有很多版本：簡單粗暴的版本是 $T_k le M_k$ ；稍弱的版本有 $mathbb{E}(T_k) < M_k, mathbb{E}(|X_k - X_{k-1}| | mathcal{F}_{k-1}) < B$ ，這個條件源自控制收斂定理（dominated convergence theorem) ，可用在賭徒輸光問題等；最弱的版本是 $P(T_k < infty) = 1, mathbb{E}(|X_{T_k}|) < infty, lim_{n oinfty}mathbb{E}(|X_n|I_{{T_k > n}}) = 0$ ，這個條件源自一致可積性（uniform integrability)，一致可積性是期望（積分）和極限可交換的一個充要條件。

滿足一定條件，是

這個定理叫optional sampling theorem，請移步維基百科，我就不逼逼了

Optional stopping theorem

鬼俠的證明是離散情況下，而且不是一般意義上的stopping time（可連續）。

黑貓舉個例子說那個不是鞅，原因是這個停時過程沒有下界啊。。。。一直向下啪啪啪，向上啪不了，自然不是鞅。

如果將他的例子改成，財富到達1或者-3時就停止，那麼這個過程就是個鞅了。

剛考過，梳理下連續版本的。

第一步：如果 $(X_t)_{tgeq0}$ 是u.i.鞅。 $S$ 和 $T$ 是停時且 $Sleq T$ ，則 $X_S$ 和 $X_T$ 都是 $L^1$ ，而且 $X_S=mathbb{E}[X_Tmidmathcal{F_S}]$ 。（特別的，由於 $X_t$ u.i, 則存在 $X_{infty}$ （同時為X的a.s.和 $L^1$ 極限）

$X_S=mathbb{E}[X_{infty}midmathcal{F_S}]$ 。）

第二步：繼續假定 $(X_t)_{tgeq0}$ 是u.i.鞅。由於 $twedge T$ 也是停時且 $leq T$ ，由第一步則有 $X_{twedge T}=mathbb{E}[X_Tmidmathcal{F}_{twedge T}]$ ，技術活就是證明 $mathbb{E}[X_Tmidmathcal{F}_{twedge T}]=mathbb{E}[X_Tmidmathcal{F}_{t}]$ 。當然了， $X_{twedge T}sim mathcal{F}_{twedge T}subset mathcal{F}_t$ 。

第三步：回到一般的鞅 $(X_t)_{tgeq0}$ 。對於任何 $sgeq 0$ ， $(M_t)_{tgeq 0}:=$ $(X_{twedge s})_{tgeq 0}$ 是u.i.(很明顯 $M_{infty}=X_s$ )。應用第二步到 $M$ ，對於任何 $tleq s$ ，則 $X_{twedge T}=M_{twedge T}=mathbb{E}[M_Tmidmathcal{F}_t]=mathbb{E}[X_{swedge T}midmathcal{F}_t]$ 。由 $s$ 和 $t$ 任意，可得 $(X_{twedge T})_{tgeq 0}$ 是鞅。

$L^1$ 和可測性均由第一二步保證。

Doob的optional sampling theorem，對於有界停時是對的，當然更廣義的情形，只要是個右閉鞅（exist last elements）也是對的。離散情形的證明有人給出了，連續的證明基於離散的結論，再要利用倒鞅（backward martingale）的收斂性。一般嚴格的教材都會有，比如gtm113。

手機打的有點亂，見笑了。