最近在學數值分析，有誰能跟我簡單講講啥是範數啊？

01-07

最近在學數值分析，有誰能跟我簡單講講啥是範數啊？為啥要定義1-範數，2-範數，無窮-範數？沒有直觀感受很困難

範數是抽象的長度概念，根據範數可以衡量空間中兩個「點」之間的距離，在n維線性空間中各種範數的定義之間是等價的，因為任意兩個n維賦范空間相互拓撲同構，也就是說，如果n維空間中一列「點」在A範數下收斂，那麼這列點也該在B範數下收斂。

由向量範數又能誘導出矩陣範數，對不同的問題採用不同的範數會使得計算的難度減小，而求矩陣範數就是在做帶約束的優化（x的範數為1時Ax的範數上確界，叫向量範數誘導的矩陣範數，約束就是x的範數為1），因而一般取二範數有利於求導，而通常在函數可微的情況下優化問題好解一點。當然也有選一範數分析問題簡單的時候。

以上都是在n維線性空間中討論，關於無窮維時候，兩個賦范空間就不一定拓撲同構了，所以一範數與二範數還有無窮範數之間定義的收斂就是不同的，比如一範數下的收斂就等價於一致收斂而二范卻不是，所以選擇什麼樣的範數來研究問題就顯得尤為重要了，對此，泛函會講得更深入一點

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運算元範數是線性映射一個單位球後的最大半徑

就是「長度」，離零元素的距離，絕對值概念的推廣