有限元弱形式a(u,v)=f(v)中的v？

01-07

如題，用有限元時一般需要推導偏微分方程對應的弱形式a(u,v)=f(v)，其中，u是待求解的量。我看書上、文獻里對v的描述都是：v取解空間中的基函數。
我的問題是：
1、在我求解方程a(u,v)=f(v)之前，我並不知道解空間的基函數是多少，怎麼確定v是多少？
2、在程序實現過程中，v取一個值還是多個值？其個數根據什麼確定？

求大神指點!

從基本的一維線彈性問題為例講一下有限元方法中 $v$ 的意義和處理

Strong Form（強形式）: Governing Eqn.s and B.C.s

一維線彈性問題只要有合適的邊界條件就是well-posed problem，其Strong Form為

$frac{partial}{partial x}left(EAfrac{partial u}{partial x} ight)=0qquad inquadOmega$

$u=gqquad on quadGamma_g$

$sigma=Efrac{partial u}{partial x}=hqquad onquadGamma_h$

以上分別是momentum balance，Dirichlet and Neumann boundary conditions

$u$ 是位移場（未知量, primary variable），假設body force為零，彈性模量E和截面積A均為1，當然方程本身不重要。

Weak Form （弱形式）：Method of Weighted Residual （ $v$ 的意義）

一般直接用Method of Weighted Residual （加權餘量法？）構造弱形式，當然例子中的方程是典型橢圓方程，也可以通過變分法直接構造弱形式，不過對於以一般的偏微分方程還是MWR更加普遍。

概念上來看，對於Governing eqn的餘量 $u_{,xx}$ ，對其加權 $v$ 的空間積分為零； $int_{Omega}vleft(frac{partial}{partial x}left(frac{partial u}{partial x} ight) ight)dOmega=0$ ；此處 $v$ 又稱weighting function（權），是一個任意函數，所以Weak Form成立的條件是餘量處處為零，也就回到了Strong Form，這是概念性的理解一下Strong Form和Weak Form 為什麼等價，數學證明可以參考相關文獻。

作點變形可以在Weak Form中也引入邊界條件

$int_{Omega}vleft(frac{partial}{partial x}left(frac{partial u}{partial x} ight) ight)dOmega= int_{Omega} frac{partial}{partial x}left(vfrac{partial u}{partial x} ight)dOmega- int_{Omega} frac{partial v}{partial x} frac{partial u}{partial x} dOmega=0$ Integration by parts

$int_{Omega} frac{partial v}{partial x} frac{partial u}{partial x} dOmega=int_Gamma vfrac{partial u}{partial x}dGamma =int_{Gamma_h+Gamma_g} vfrac{partial u}{partial x}dGamma=int_{Gamma_h} vcdot h dGamma$ Divergence theorem

然後有Weak Form的嚴格定義

Find $uinmathcal{U}$ , such that

$int_{Omega} frac{partial v}{partial x} frac{partial u}{partial x} dOmega=int_{Gamma_h} vcdot h dGamma qquadforall vinmathcal{V}$

$mathcal{U}=left{ u(x)| u(x) in W^{1,2} , u(x)=g on Gamma_g ight}$

$mathcal{V}=left{ v(x)| v(x)in W^{1,2} , v(x)=0 on Gamma_g ight}$

$W^{1,2}$ 是Sobolev空間

Finite Element Galerkin Weak Form （ $v$ 如何處理）

MWR有多種形式，最有名的當然是Galerkin法，概念上可以理解為weighting function和trial solution用同一個函數空間，那麼其在有限元法下就體現為它們使用相同的形函數在單元內插值。那 $v$ 和 $u$ 能不能用不同的函數空間？當然可以，比如Petrov-Galerkin法中就不一樣。其實可以觀察之前Weak Form的推導，如果不用分部積分，那麼weighting function只需要連續就行了（ $C_0$ ），而trial solution需要兩次可導（ $C_2$ ），這樣如果應用Galerkin法，就必須使用高次形函數。

FE Galerkin Weak Form 為

$sum_{e=1}^{N_{el}}int_{Omega^e} frac{partial v}{partial x} frac{partial u}{partial x} dOmega^e=sum_{e=1}^{N_{el}}int_{Gamma_h^e} vcdot h dGamma^e$ 此處求和符號嚴格來說應該是Assembly符號，反正表示local(element) stiffness和residual，結合為global stiffness和residual（等式的左右兩邊）.

單元內應用有限元插值函數 $N$

$v=N^av^aqquad u=N^av^aqquad$ （Einstein notation）

$a$ 是每個單元的節點數目

則residual的矩陣形式是

$R^av^a=N^av^ahquad R^a=N^ah$

剛度的矩陣形式

$(v^a)^TK^{ab}u^b=N^a_{,x}v^aN^{b}_{,x}u^bquad K^{ab}=N^a_{,x}N^{b}_{,x}$

最後需要求解的方程是

$K^{ab}u^b=R^a$

a,b是矩陣行列編號

總結一下

弱形式不是偏微分方程的對應，是偏微分方程及其邊界條件的對應，兩者嚴格等價；
$v$ 是weighting function，是任意函數，其函數空間只要滿足其在Weak Form中的連續性和可積行；
Galerkin法中，weighting function和trial solution用相同的數值（函數）空間；
$v$ 不需要確定，本身應該是任意函數，應用有限元法求解的時候會在等式左右兩邊（consistent tangent moduli和residual）中都出現而消去。

前面的答案都已經解釋的比較清楚了，這裡試著從弱形式背後的邏輯來稍作補充，希望有所幫助~

首先多物理場的數值模擬是基於解PDE（偏微分方程）的。這些PDE通常是由一些守恆法則推導而來的，例如質量守恆，能量守恆，動量守恆等等。而弱形式的基本思想就是把這些PDE轉化為在一個域上的積分，以一種更快捷但不一定完全準確的方式得出這些PDE的解。這裡舉個簡單的例子。

這裡以一維的靜態傳熱為例（1D heat transfer at steady state）,假設熱源為零。由傅里葉定理可得：

$q(x)=-kfrac{partial T}{partial x}$ ，

其中k為傳熱係數，q為heat flux。T為溫度場，就是待求的未知量。再根據能量守恆，我們可以得到PDE:

$frac{partial q(x)}{partial x}=0$

對於這個例子，這個微分方程確實是手解都能解，但是我們試著從另一種思路來考慮它。

想把這個PDE轉化成一個域上的積分，最簡單粗暴的想法就是對它在整個域上做積分（這裡設這個域為0& $int_{0}^{1}frac{partial q(x)}{partial x} dx=0$

原PDE的解肯定是這個積分的解，但是這個積分的解不一定是原PDE的解。而且仔細想想，這個形式實在是太「弱」了。原PDE是要求 $frac{partial q(x)}{partial x}$ 在整個域上處處為零，而這個積分只是要求 $frac{partial q(x)}{partial x}$ 在整個域上的平均值為零。這顯然是不合理的。所以需要進一步提高。

於是我們進一步思考，其實在某一點滿足 $frac{partial q(x)}{partial x}=0$ 和 $frac{partial q(x)}{partial x}$ 在這點附近的很小的一個區域的積分為零是可以近似等價的。把這個思路擴展的整個求解域，於是我們可以用一組很多極小積分區間的積分來近似原PDE，如下：

$int_{0}^{0.01}frac{partial q(x)}{partial x} dx=0$ ，

$int_{0.01}^{0.02}frac{partial q(x)}{partial x} dx=0$ ,

......

$int_{0.99}^{1}frac{partial q(x)}{partial x} dx=0$

積分式子的數量越多，那解就越近似於PDE的精確解。可以想像，如果積分區域無限小，積分數量無限多，滿足這組積分的解就是PDE的精確解。

順著這個思路，我們換一種方式。那就是將被積函數乘以一個權函數（weighting function）再在全域上積分。而每個權函數 $ilde{T}(x)$ 都只在一個很小的區域內non-trivial。如下圖所示：

不難理解，這種方法和之前說的在一個極小區域積分是近似等價的，只要我們有很多個 $ilde{T}(x)$ 。於是我們就可以得到：

$int_{0}^{1}frac{partial q(x)}{partial x} ilde{T}(x) dx=0$

在有限元中，我們知道會用形函數（shape function）對節點值進行插值，而形函數正好就有上述權函數所需要的性質，即在某一小區域non-trivial，其他地方為零或接近零。所以有限元中通常將形函數作為弱形式的權函數。

由於q是T的一階微分， $frac{partial q(x)}{partial x}$ 實際上是T的二階微分。所以然後我們可以用分部積分，降低微分的階數，得到：

$-int_{0}^{1} q(x)frac{partial ilde{T}(x)}{partial x} dx+q ilde{T}(x)|_{x=1}- q ilde{T}(x)|_{x=0}=0$

帶入 $q(x)=-kfrac{partial T}{partial x}$ ，得到

$int_{0}^{1} kfrac{partial T(x)}{partial x}frac{partial ilde{T}(x)}{partial x} dx+q ilde{T}(x)|_{x=1}- q ilde{T}(x)|_{x=0}=0$

這裡我們就得到了這個問題的完整弱形式。

解空間是什麼

解空間的基函數的通俗說法就是：與微分方程邊界條件一致的基函數。

在求解微分方程之前，對方程解的了解就只有滿足邊界條件（一般是齊次邊界，不是齊次的也變換成齊次的，齊次簡單說就是邊界上等於0），不滿足邊界條件的函數必然不可能是方程的解。現在流行的有限元都是基於Galerkin法的，也就是權函數和形函數取同一組基函數。所以把方程的解表示成解空間基的線性組合，如果基函數不滿足邊界條件，顯然會導致解的錯誤，因而必須在滿足邊界條件的函數空間選基函數，也就是題目里說的解空間。

要選多少個 $v$

前面已經說了，需要把方程的解表示成解空間基函數的線性組合。函數空間基本都是無限維的，也就是說應該有無窮多個基函數。無窮個對於實際而言是無意義的，而且通過理論和經驗都能判斷，有些基函數容易出現，有些基函數則無關緊要，因而選取有限個就能達到一定精度。假設取了 $n$ 個基函數，就會對應 $n$ 個係數，換句話說，就有 $n$ 個待求未知量，求出這 $n$ 個未知量，與基函數組合得到的函數就是微分方程的近似解。

求 $n$ 個未知量自然需要 $n$ 個獨立方程就足夠了，所以選取 $n$ 個線性無關的權函數 $v$ 就可以了。

上述並非是針對有限元法的，而是針對一般的加權余值法。

Galerkin法就更為特殊了，因為權函數與形函數取的是同一組基，選了個 $n$ 個形函數，自然就得到了 $n$ 個權函數，也就是 $n$ 個 $v$ 。

有限元法除了具有Galerkin法的特點外，另一個特殊的地方在於，形函數是根據網格節點的場變數的值通過多項式插值構造的，換句話說，劃分了網格，確定了單元類型（確定單元類型的意思就是確定插值的方式），形函數也就得到了，形函數的個數也成為所謂的自由度。

所以，有限元並不需要考慮 $v$ 的個數，只要考慮網格劃分和單元類型，自然就生成全部的形函數和全部的 $v$ 了。

基函數是單元上的插值用的，要看你選的有限元的次數，當用局部坐標表示時，基函數由幾個基本的形函數組成。想深入了解弱形式還是看有限元的書吧。

實際上，u和v，在嚴格的理論中，需要在Sobolev空間中討論。在一本計算數學專業的有限元書裡面，都會有嚴格的定義和有限元解的收斂性的證明。但這需要一定的數學基礎。

這裡從數值方法應用者和lz說的程序實現的角度來說說。以標量的Possion方程為例，試探函數選為基函數是方便自然的：既保證了對稱正定性，又保證了稀疏性。對稱正定性意味著可以採用CG和ICCG之類的求解器去求解；而稀疏性是有限元的又一個大優點，這主要得益於基函數/試函數具有局部性的特點，假設你對基函數/試函數選擇了一個全域性的傅里葉展開，可就沒有這麼個優點了。

試探函數可以不必選擇為基函數的，比如在積分方程的矩量法中就是這樣的，但是有些性質如正交性還是要滿足的吧。試探函數的選擇會對矩陣的性態有很大影響，有時候甚至導致離散方程是不適定的。

從lz的問題當中，可以看出lz的一個誤區是，沒有認識到，在推導過程中，試函數是一組有限維的正交的基函數所張成的，張成的意思就是說，每一個基函數是確定的，記為Ni，可以簡單定義為在基點（節點）上為1，其它基點上為0，但是表示未知場u或v時，還需要乘以一個任意的係數，記為ui或vi。只不過vi在離散形式中，可以通過化簡，從兩邊約掉，即integ(vi*Ni*divgradu)=integ(vi*Ni*f)變為integ(Ni*divgradu)=integ(Ni*f)；Ni通過與微分運算元divgrad的分部積分，從而達到降次的目的，即integ(Ni*divgradu)=integ(gradNi*gradu)；再將u表示成Nj*uj，方程左邊就得到一個稀疏對稱形式integ(gradNi*gradNj)uj了。怎麼樣，v的選擇實際上退化為Ni的選擇了。

參見科爾莫戈羅夫范函中傅立葉分析之前的部分，有一章對偶空間那部分，有關於求解微分方程的解釋

在你解的時候已經知道解空間是什麼了

V一般取形函數