Gram-Schmidt 正交化多項式？

01-07

求助有個地方遇到了 Gram-Schmidt正交化多項式？真心看不懂啊。
求助大神給我講解一下，給出一本能夠講明白的書也可以。

謝邀。首先，我建議題主可以看看你的書本或筆記，你這樣問，我也不知道你到底不明白什麽。其實，Gram-Schmidt orthogonalization是任何數學物理課本都必定會提到的東西，在網上也很容易搜尋得到。

也許我可以大概說說這東西是什麽，技術細節就請自行查閱了。其實，在數學物理中有很多特殊函數，在電動力學、量子力學都會大量應用到，而且我們喜歡把這些函數化成向量，使我們可以利用線性代數的方法去處理。

當我們用向量表示三維空間時，我們會用 $mathbf{i}$ 、 $mathbf{j}$ 、 $mathbf{k}$ 作為base vector，他們的norm是1，而且互相垂直，所以用起來很方便。但在數學物理中，可能有無限個特殊函數，而他們可不一定互相垂直和normalized，所以我們才有Gram-Schmidt orthogonalization。這東西可以說是一個process，或一個algorithm。隨便找了找，歐氏空間向量的例子可參https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/gramschmidt/gramschmidt.pdf。如果是數學物理中的特殊函數，你要首先定義dot product才可開始這個過程。

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補充：

好吧，讓我用題主給的做一個例子。題主說的 $p_n(x) = x^n$ ，想正交化。首先是定義dot product，這個要看問題／題目，讓我大膽假設 $langle u, v angle = int_0^1 dx cdot u(x) v(x)$ 。按照Gram-Schmidt的方法，

$v_0(x) = p_0(x) = 1$

$v_1(x) = p_1(x) - frac{langle p_1, v_0 angle}{langle v_0, v_0 angle} v_0(x) = x-frac{1}{2}$

$v_2(x) = p_2(x) - frac{langle p_2, v_1 angle}{langle v_1, v_1 angle} v_1(x)=x^2-x+frac{1}{2}$

然後繼續算下去。。。我不知道我又算錯了沒

題主應該是想問 Gram-Schmidt 正交化延伸到一般內積空間下的情況。

以題主的問題為例，在 $left[-1,1 ight]$ 的區間上，多項式向量空間里的內積可以定義為：

$left=int^{1}_{-1}pleft(x ight)qleft(x ight)dx $

此時對元素 $1,x,x^{2},x^{3},x^{4},dots$ 採用 Gram-Schmidt 正交化，可以獲得一個無窮數列： $p_{0}(x),p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x),dots$

舉幾個例子：

$p_{0}(x)=1\p_{1}(x)=x-frac{langle x,p_{0}(x) angle}{langle p_{0}(x),p_{0}(x) angle}p_{0}(x)=x-frac{int_{-1}^{1}xdx}{int_{-1}^{1}dx}=x\p_{2}(x)=x^{2}-frac{langle x^{2},p_{0}(x) angle}{langle p_{0}(x),p_{0}(x) angle}p_{0}(x)-frac{langle x^{2},p_{1}(x) angle}{langle p_{1}(x),p_{1}(x) angle}p_{1}(x)\=x^{2}-frac{int_{-1}^{1}x^{2}dx}{int_{-1}^{1}dx}x=x^{2}-frac{frac{2}{3}}{2}=x^{2}-frac{1}{3}\p_{3}(x)=x^{3}-frac{langle x^{3},p_{0}(x) angle}{langle p_{0}(x),p_{0}(x) angle}p_{0}(x)-frac{langle x^{3},p_{1}(x) angle}{langle p_{1}(x),p_{1}(x) angle}p_{1}(x)-frac{langle x^{3},p_{2}(x) angle}{langle p_{2}(x),p_{2}(x) angle}p_{2}(x)\=x^{3}-frac{int_{-1}^{1}x^{4}dx}{int_{-1}^{1}x^{2}dx}x=x^{3}-frac{frac{2}{5}}{frac{2}{3}}x=x^{3}-frac{3}{5}x\p_{4}(x)=dots$

函數正交類似於向量正交，關於函數正交可以參考如何理解函數正交的數學或物理含義？

多項式的施密特正交化也可以類比向量的正交化

若首項係數an ≠ 0的n次多項式 $?_{n} (x)$ ，滿足

$(varphi_{j},varphi_{k} )=int^{b}_{a} ho(x)varphi_{j}(x)varphi_{k} dx=left{egin{matrix} 0,j e k \ A_{k}>0,j=k\ end{matrix} ight. \ \ j,k=0,1,2,...., \$

就稱多項式序列 $varphi_{0},varphi_{1},varphi_{2},varphi_{3},...,$ ，在[a,b]上帶權ρ(x)正交，並稱 $varphi_{n}$ 是[a,b]上帶權ρ (x)

的n 次正交多項式。

構造正交多項式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法

按以下方式定義的多項式集合 ${ left{ varphi_{0},varphi_{1},varphi_{2},...,varphi_{n} ight}}$ 是區間[a,b]上關於權函數ρ (x) ≥ 0的

正交函數族。

$varphi_{0}(x)=1 \ varphi_{1}(x)=x-alpha_{1} \varphi_{k}(x)=(x-alpha_{k})varphi_{k-1}(x)-eta_{k}varphi_{k-2}(x) ，\(k=2,3,,...,n) \$

其中

$alpha_{k}=frac{(xvarphi_{k-1},varphi_{k-1})}{(varphi_{k-1},varphi_{k-1})}=frac{int^b_{a} ho(x)xvarphi^2_{k-1}(x)dx}{int^b_{a} ho(x)varphi^2_{k-1}(x)dx}\ \ \ \ (k=1,2,3,,...,n)$

$eta_{k}=frac{(varphi_{k-1},varphi_{k-1})}{(varphi_{k-2},varphi_{k-2})}=frac{int^b_{a} ho(x)varphi^2_{k-1}(x)dx}{int^b_{a} ho(x)varphi^2_{k-2}(x)dx}\ \ \ \ (k=2,3,,...,n)$

證明可用歸納法，略。

wiki上已經講的很明白了

Gram

你把這個鏈接上右邊的圖仔細看幾遍，就會清楚這個演算法了。

這個過程的本質就是要構建norm為1的坐標系。

新生們開始學量子力學／線性代數了吧？

正交化的思想很簡單，就是把需要處理的向量在其他已經處理過的向量方向上的投影去掉，然後歸一化。

其他的就看wiki吧

Hope you can understand my demonstration.

As we know,Garm-Schmidt is a procedure that can be used to generate an othogonal basis from any.particularly Gran-Schmide process starts with a basis {u1,u2,u3.....,un} and generate a new basis {w1,w2,...,wn}according to the parrern

w1=u1

w2=u2+au1

w3=u3+ba2+ca1

.......

So,to determine the scalar a in the definition of w2,we use the condition u2(u1T)=0(u1T is the transpose of u1)

Thus,

(u1T)w2=0=(u1T)(u2+au1)

So a=-[(u1T)u2][(u1T)(u1)]

(Hope you can write the process on the paper and calculate the condintion w3,w4,....wi)

Put a =-[(u1T)u2][(u1T)u1] into the equation,then we can get

w2=u2-[(u1T)u2][(u1T)(u1)]u1

And this is th same to Gram-Schmide formula.More calculation,please acompilish by yourself.