範數定義中，為什麼需要滿足正定、齊次、f(x+y)<=f(x)+f(y)？

01-07

希望大牛能從引進範數的目的的角度，分別解釋下，為什麼範數需要滿足這三個條件？

範數是歐氏空間中向量長度的推廣。大家熟知的歐氏空間中的向量長度自然是非負的，正齊次的，並且滿足三角不等式。

因為範數代表的是非歐空間下的長度概念。所以

1.非負保證了長度存在

2.齊次保證了描述同一長度的起始點唯一確定

3.三角不等式保證了長度的路徑唯一確定

這樣才能將範數作為長度在非歐空間下的推廣。

因為性質好。

@申力立已經說了norm是歐式空間中向量長度的推廣。在歐式空間里，這個定義構造的長度（也可以理解為點與點的差的距離）最符合我們的直觀理解。當然你也可以定義其他形式的長度函數，但是只要是滿足我們的常識的，必定滿足非負，齊次，三角不等式三個條件。

數學是用來解決現實問題的，現實生活中還有一些定義能抽象成norm，比如

誤差：非負，齊次，兩個誤差互相抵消小於兩個單獨的誤差

風險：沒有負的風險，齊次，兩個資產的風險互相抵消小於兩個單獨資產的風險

很多符合常識的定義都符合這三個條件，所以範數有很強的普適性。

有些場合某些條件可能不一定是必要的，但有的話有更好的性質。一個函數同時滿足齊次性跟次可加性的話就滿足凸性{ af(x) + (1-a)f(y) &>= f(ax+(1-a)y) }，如果最優化問題里目標函數滿足凸性，就可以全局最優化，某些問題還能找到解析解。把誤差最小化的最小二乘法就是一個很好的例子。

並不十分相關的答案。

首先正定性分為『正值性』和『 0 = f(x) 當且僅當 x = 0 』

參見範數

1.『正值性』可以由『齊次性』和『三角不等式』聯立導出。

亦即：取 x = 0, f(y) &<= f(y) + f(0), 得到 f(0) &>= 0, 故 0 &<= f(0) &<= f(y) + f(-y) = 2f(y), 此為『正值性』

2. 『 0 = f(x) 當且僅當 x = 0 』是使研究對象免於 trivial 的條件。

否則在某方向上有 y!= 0 且 f(y) = 0, 這樣這個方向上的範數就退化了一階。（說法不嚴謹，可大致看作一個投影）

3. 『齊次性』和『三角不等式』的目的是為了讓每一個向量可以通過一組線性無關的基來控制（就是約束大小的意思），於是可以進一步討論收斂的問題，而這恰是範數的目的。

才疏學淺，日後完善。請多指教。

下面是補充和擴展北海若的答案：

正定性或非負性（ non-negativity）：對於

非負保證了長度存在。

確定性（ definiteness），當且僅當x=0時，f(x)=0

確定性保證了描述同一長度的起始點唯一確定

齊次性（homogeneity），對於

齊次保證長度的可擴展的標準一致，例如在上面的公式中就是擴展t倍。

滿足三角不等式（triangle inequality），對於

三角不等式保證了長度的路徑唯一確定。

此回答在機器學習中的線性代數系列（二）：矩陣的操作和性質中有描述。