按紅色按鈕 100% 獲得 100 萬，按綠色按鈕 50% 幾率獲得 1000 萬，該怎麼選？

01-07

這個問題換個角度看，用100W買個50%得到1000W的概率回答者會不會換答案了呢？

數學期望來講絕對是選綠色啦

但是在作決定的時候的人不是機器，從保險人的角度來講這涉及到了風險的評估。

風險厭惡者在做決策的時候會規避風險，不同程度的風險厭惡者會對不同的風險產生不一樣的反應，這時候可以選擇外包一部分風險給保險公司，可以使保險公司和投保人的期望收益都增大。。。

(呃好像跑題了)

Newest Update:

-----------------------------我是深夜更新的分割線----------------------------- 2012/10/22

由於剛開始寫答案的時候憑印象去找了阿萊悖論但卻忽略了從效用函數(Utility Function)這個基礎入手來解釋人們關於風險的決策究竟是如何的，這樣能比較完善的解釋一些由感性認識生出的答案和評論。

首先，我們假定參與抉擇的是機器人，該機器人僅被寫入了簡單的執行程序：僅根據數值大小來判斷優劣，而這個數值大小在此是分析概率後的期望值。前提條件一定好，這個問題就會變得無比簡單：該機器人往max函數裡面輸入了兩個argument，在此過程中同時調用了Expectaion函數計算出隨機變數ξ~Bernoulli(0.5)並將1換成10^7計算出E(ξ)，比較後，機器人得到返回為綠色的函數值並按下了綠色的按鈕，然後拭目以待。
然後，情況變的複雜了，這是一個靈長類動物——人類來玩這個遊戲了。一個人之所以難以捉摸就是因為時刻變化的情感，個性，價值觀，還有面對瞬息萬變情況的理性或非理性的反應。很難找到一個一成不變的模型來刻畫人類的行為，就像Weierstrass函數一樣

且b是正奇數使得

處處連續(看起來有一套處事的規律)但又處處不可導(但又每時每刻無法預測下一步的行動)

這樣看來，我們需要引入一個不那麼一成不變的函數，而且必須是一個族，以便對不同的人不同的情況都能輕鬆應對自如。 效用函數(Utility Function) 便是我們需要的。通常記為u(ω)，其中ω通常看作是wealth，u(·)則是一個衡量一個人具體怎樣看待一定量的財富的數值，通常被稱為效用值。因為人們往往忽視了，自己其實不是通過直接對wealth的數值進行比較(ω大小)而是通過該wealth的效用值(u(ω)大小)進行比較，然後再來作出決定的，乍聽起來不好理解，我們可以看一下這個函數具有怎樣的性質並且是怎樣在人身上發揮作用的。

有兩個基本的假定：第一，理性人，逐利為首要原則。第二，風險厭惡，對於一般的大眾來講(除非你很特殊)，在確定的損失和具有同樣期望值的隨機損失之間，他們偏好前者。

一個顯然的結論是u(·)非減，因此邊際效用(Marginal Utility) u"(·)非負，而邊際效用是遞減的也即u""(·)非正。說到這裡，就可以解釋很多人提到的：當你沒有100w時，你覺得0和100w區別很大，而當你有1000w時你反而覺得按紅色沒啥意思了不刺激了，轉而去按綠色的按鈕，這正是風險厭惡者效用函數的邊際效用遞減造成的。 感性的認識至此方才找到了理性的根基。

一個典型的風險厭惡者的效用函數如下

這樣一個特性的人我們怎麼來處理呢？我們想到了關於凸函數的Jensen不等式

此處的E是數學期望，而X是隨機變數。

所以，很顯然對於一定量的財富w，損失X和凹函數u(·)我們有如下不等式

上式正好滿足我們的假定，也即在確定的損失和具有同樣期望的的隨機損失之間，理性人偏好前者，也正是「風險厭惡型」的。

簡而言之，雖然我們不能精確的決定一個個體的效用函數，但是可以通過上面提到的性質選擇適當的效用函數對其進行擬合。

綜上1和2，問題基本得到了解決，收工。

[1] 現代精算風險理論 Modern Actuarial Risk Theory by Kaas, Rob / Goovaerts, Marc / Dhaene, Jan / Denuit, Michel

--------------------------------補充的分割線---------------------------------------- 201210/17

剛剛去翻了下書《現代精算風險理論》在第一章中有基於效用函數簇類似本題的情況發生

Allais悖論(又稱阿萊悖論)

關於這個Allais悖論維基上面是這麼寫的

阿萊悖論（Allais Paradox）是決策論中的一個悖論，由法國經濟學家莫里斯·阿萊斯在1952年提出。對100人測試所設計的賭局：1952年，法國經濟學家、諾貝爾經濟學獎獲得者莫里斯·阿萊斯作了一個著名的實驗：

賭局A：100％的機會得到100萬元。
賭局B：10％的機會得到500萬元，89％的機會得到100萬元，1％的機會什麼也得不到。

實驗結果：絕大多數人選擇A而不是B。即賭局A的期望值（100萬元）雖然小於賭局B的期望值（139萬元），但是A的效用值大於B的效用值，即：

......【1】然後阿萊使用新賭局對這些人繼續進行測試，

賭局C：11％的機會得到100萬元，89％的機會什麼也得不到。
賭局D：10％的機會得到500萬元，90％的機會什麼也得不到。

實驗結果：絕大多數人選擇D而非C。即賭局C的期望值（11萬元）小於賭局D的期望值（50萬元），而且C的效用值也小於D的效用值，即：

......【2】

而由【2】式得：

......【3】

【3】與【1】式矛盾，即阿萊悖論。

阿萊悖論的另一種表述是：按照期望效用理論，風險厭惡者應該選擇A和C；而風險喜好者應該選擇B和D。然而實驗中的大多數人選擇A和D。

阿萊悖論的解釋

出現阿萊悖論的原因是確定效應（Certain effect），即人在決策時，對結果確定的現象過度重視。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E8%8E%B1%E6%82%96%E8%AE%BA

按10次紅色按鈕。

有同學問我為神馬不按10次綠色按鈕——因為我既貪婪又厭惡風險嘛！

顯然要去撮合一伙人都去選綠的，事後平分。

變態點，找人去選綠的，輸了你補給他 200 萬，贏了他給你一半。多找幾個好了。

這個是不能簡單用期望來計算的，因為這個」重要決策「是一個系統性的東西。

選擇數學期望的最大值只是整個系統的其中一層，他不能代表全部的理性，我認為理性的定義應該是系統的期望最大值。

舉個例子，某人A，賭錢欠了800萬，明天還錢，目前身無分文，無人救助。

如果他的系統是求生，選100萬必死，選後者還有可能生存，他會選後者的；

如果他的系統是過把癮就死，他選擇100萬的是可以理解的，然後怎麼過癮，你自己想吧

這是個經濟學問題

在面對收益時，絕大部分人是風險厭惡的

在面對損失時，絕大部分人是風險喜好的

所以都會選100萬

此問題等價於：

我有100萬。

按綠色，什麼都不發生。

按紅色，50%失去100萬，50%獲得900萬。

————————————————————————————————————

投資第一定律：如果某次投資失敗是你的現狀所承受不了的，就拒絕嘗試。

因此，如果你能承受失去100萬，選綠色。

你不能承受，選紅色。

取決於你現有資產有多少。

假如我有一個億，我會選後者；

假如我在假如的情況下竟然還是我陳昆廷，那我就選前者好了。T^T

最近剛好在學習 edx 的 AI 課程。

首先

綠色按鈕另外 50% 的概率會發生什麼結果：

a，如果是一分錢也得不到

b，拿掉你的腎

c, suddenly death

對於第一種結果，很簡單，數學期望是 0.5*1000+（1-0.5）*0 = 500 萬

對於第二種結果，好吧，假設一個腎價值 100 萬，數學期望為 0.5*1000+(1-0.5)*-100 = 400 萬

看起來也不錯，但是對於只有一個腎的人來說，可能剩下的一個腎就等於他的一條命了。

對於第三種結果，哪怕其幾率不是 50%，而只有 1%，很多人也是不會按下綠色按鈕的。

對於死亡來說，代價太大了，多數人都是風險厭惡（1）的。

其次，每個個體對於金錢的價值曲線並不一樣。

當金錢超過一定數量的時候，其能夠帶來的幸福感並不會線性增加。假設對於金錢 X，其能帶來的幸福感（或者其他什麼正常人類追求的東西）為 U(X)

對於這個賭博 L，{p：X，（1-p):Y}

幸福感期望為 p*U(X)+(1-p)*U(Y)

對大多數人來說，曲線很可能是這樣的：

假設 500 萬能帶來的幸福感是 0.8，而 1000 萬能夠帶來的幸福感為 1.0，且綠色按鈕的另外 50% 不會帶來任何其他不好的後果，只是沒有錢了。

則對於紅色按鈕，1*0.8=0.8

而對於綠色按鈕，0.5*1+（1-0.5）*0=0.5

那玩家還是會選擇紅色按鈕的。

（1）http://zh.wikipedia.org/zh/%E9%A3%8E%E9%99%A9%E5%8E%8C%E6%81%B6

受邀。

我要那個100萬的。

根據俺自己的配平經驗，那個50%的按鈕幾乎有50%的可能性是蒙人的。

即便是真實爆率，只要不是100%，對於個人，我都不會選擇

請注意如下幾點:

1: 題目最後一句強調"該怎麼選"卻並沒有說明可點擊的次數

2:在紅色按鈕上強調了"瞬間"這個詞

3:題目分類放在"心理學"下

這是一道誤導型題目

選A

選B

全選

不選

四個答案均在"該怎麼選"的集合範疇中

正確答案是:不需選擇 A和B 不停的按 A穩定出錢 B隨機出錢

商業的成功,對規則的理解及利用是基礎

行業法規是一個職業經理人制定商業策略的藍本

換一個問法:

A項目穩定為企業獲利100W

B項目有50%的幾率為企業獲利1000W

A和B項目的成本相同:僅僅是按下按鈕

你會怎麼選?

期望上來說是1:5，應該選綠色。不過對於我這種規避風險到偏執的人來說，肯定拿100萬跑路。

穩定獲利才是暴利。

隨機數的體會在遊戲中最明顯了。50%命中率的單位，連續 4 擊不中是再正常不過的事。100%命中率的單位都是香餑餑。——因為對每個個體來說，你永遠不知道你有多少次機會，你是否有機會等到你的概率為另外一半的時候。——而對100%命中率來說，只要你能按十次，你就可以穩定的獲得按後者兩次相同的數學期望。

所以我的答案：抓住機會，狂按十次紅色！

好像題主並沒有說明只能按一次還是可以按多次，

所以果斷按紅色按鈕100下！！O(∩_∩)O~~

風險管控的問題，你可以簡單的理解成一個投資收益率超過10倍成功率為50%的項目，資金要求為100萬，我們到底要不要投。

最簡單的方法就是去分析自己的風險承受能力。

不同的年齡段風險承受能力不同，55歲時100萬足夠養老我幹嘛要去搏那50%幾率？相反，25歲時擁有足夠的時間作為資本去賭，跌倒了爬起來拍拍灰再干，沒有什麼輸不起的。敢於挑戰風險是一個企業家必須具備的冒險精神，有這樣的膽識才配的上10倍的高收益。

財富的擁有程度也會決定抗風險能力，千萬資產拿出十分之一投入，剩下的資產足夠分擔投資所帶來的風險。

但你僅僅只擁有百萬資產去賭這50%的幾率，幾乎賭上了半輩子的努力，失敗了再想翻身談何容易。做決定一定要先考慮到最壞的打算。

切記不要被高收益蒙蔽了雙眼。

經過調查。

人群中風險厭惡者的比例絕對大於風險偏好者。

就是總的來說人們是不喜歡風險的。

如何在風險和收益中做取捨....數學模型是個不錯的選擇，例如期望。

我，按紅的。

這個問題不能只考慮期望。

首先，我們通常假設每個人都是風險厭惡的，也就是說，每個人都想要他們的投資收益最大，風險最小。這是非常合理的。我們可以把問題中的2中方案看成是，資產A（回報100w，無風險）和資產B（50%回報1000w）。為了方便說明添加資產C（回報500w，無風險）。稍加計算，得出各資產的期望回報率（Expected return）和標準差（Standard deviation） E[A]=100, sigma[A]=0; E[B]=500, sigma[B]=500; E[C]=500;sigma[C]=0。然後，將這些點標示在sigma為橫軸E為縱軸的2維圖上，大致方位是，B點在C點右側，A點在C點下側。再回過頭看我們做的投資者風險厭惡的假設，我們可以在圖上這樣表示：投資者對處在左上方的點（資產）更為偏好，因為它們收益高且風險低，這樣，我們可以說C優於B，C優於A（Dominance）。但A和B哪個更好，我們現在還不能下結論。這裡有一個權衡（Trade-off），投資者要考慮的是，他願不願意用400w的回報來換取500w的風險（承擔風險取得更高的回報）。

風險調整回報（Risk-adjusted expected return）=回報率 - lambda * sigma ^ 2 可以認為是考慮了風險的回報率，lambda是投資者的風險厭惡係數。因此，用E"來表示風險調整回報，E"[A]=100; E"[B]=500 - lambda * 2500000。lambda在等於1.6*10^（-3）時，E"[A]=E"[B]，當lambda進一步減小時，E"[B]略大，看來，這個投資者選綠按鈕；lambda只要略大於1.6*10^（-3），E"[A]就大，就是選紅按鈕。另外，lambda雖說依舊大於0，還是風險厭惡型，但1.6*10^（-3）顯然已經非常小了，這樣的投資者也不能完全看做是風險厭惡型了吧。

這項實驗只進行一次，應該大多數人會選100w吧

一切沒有先決條件的邏輯都是耍流氓。

這不應該是一個概率問題，而是一個社會問題。

這個人是在付出什麼樣的代價得到這個選擇機會？如果這個代價是可再生的是不是還要算算方差啊。錢作為這個社會的一般等價物，對於每個人背後等價的當然不同。舉一個極端點的例子，同樣是100w，對於一些官宦土豪，它就是一次消遣，附庸風雅擺一擺闊氣。然而，對於那些拿不出醫藥費，或者被高利貸逼上天台準備跳樓的人來說，那就是一條或者幾條命。

再有，是付出了什麼代價得到的這個機會？如果只是運氣好，一個土豪做個人性調查。然而如果這是你放棄入職500強高管，從基金拿的風投呢？這其中的風險計算方式是不一樣的。

不再舉例了，例子舉的太差。希望你們明白，概率學不是這麼用的。雖然我概率論和數據統計掛了三次，德州撲克玩的也一般。但是，我記著我的優缺點我覺得，能看到更多的棋子，和能看出更遠的棋路都很重要。如果只看一個棋子，說再多的棋路都是冗談。

選綠色。大家會覺得我是富人么？？？嘿嘿。效用學說是有道理的。比如這題數字變成1億和10億，或者100和1000，就會不一樣了。

李嘉誠、巴菲特、比爾蓋茨、王思聰會選綠色按鈕。

街邊上的乞丐、還在為買房到處借錢的人、吃了上頓沒下頓的人大多會選擇紅色按鈕。

不同狀態的人就會有不同選擇。