認知科學如何解釋人類對抽象數學概念的理解壁壘？

01-07

在數學訓練之前，人一般會「樸素」地認為：「點總是有大小的」「無限趨近於零那極限仍然不是零」「概率為零的事件就是不可能」「現實世界不存在無窮大」等等，甚至認為「抽象概念一般沒有現實意義」。
是否人類本能偏愛能親眼看到的事物？認知科學上是否有相關研究，指出什麼原因讓人本能排斥這些抽象數學概念？數學學習過程中又發生了什麼，讓一部分人接受了抽象概念？這樣的數學訓練為什麼不是對所有人（比如民科）有效呢？

在數學的世界中，首先有公理，然後有推論，最後有了整個數學世界。

在人的世界中也是一樣，從小經過試錯和模仿得到的世界觀（公理）；然後有了自己的價值觀（推論）；最後了解了這個世界。當然因為未經訓練的人腦邏輯性不是那麼強，所以這樣自然形成的世界觀價值觀往往不自恰，有一本書《Do You Think What You Think You Think?》就是講這個的，還蠻有趣。

跑題了，接著剛才的說。對於大多數人，8-16歲智力開始發育，形成自己的世界觀價值觀的時候，受到的教育和影響，往往便會作為公理印在這個人腦中了，這個時候若沒有好的資源和條件接觸與科學有關的知識框架，就要等到下一次機會了。

第二次機會往往是大學期間，也就是18-25歲左右，大腦髓鞘化的過程。簡單的說，就是用一層滑滑的東西把大腦神經細胞包裹起來，讓神經傳導更快。這個過程完成後，人的世界觀價值觀便基本完善，除非有大的衝擊，否則不會有大的改變了。當然，這個過程之後人做事會更沉穩，而且可以看到一些西方國家的意外保險在25歲之後有些許降低（只是相關關係，無因果關係）。

我恰好運氣好，兩次機會都趕上了。在初中學數學的時候，老師就明確的說明了，點是沒有大小的等大部分基礎框架，作為公理印在了腦海里。第二次是上線代2（我們學校線代要上2學期，分1，2），老師說學這門課對現實可能沒有任何用處，但可以幫助你初步建立抽象思維的方法，結果就是，一半學生退課了，而我是必修，所以歪打正著的學會了一些抽象思維。

再說說數學訓練，其實數學教學中有一種奇特的方法，叫做類比，即把抽象的東西具象化，即使不那麼準確了，但學生一下子就懂了。但這裡的懂限於具象化的懂，限於做題考試，但對大多數人也就夠了。就比如說，我對門的舍友，堅定地認為導數就是函數一點切線的斜率，也沒影響他去劍橋水一個經濟的master回來。但真正花時間精力吃透基本概念的人，有時成績並沒有刷題的那麼好看，就會在各種競爭中處於劣勢。同理，現在教師也有指標，班上同學數學成績好排名高老師就有獎金，那還有多少老師在乎概念準不準確，類比是否有失偏頗呢？

又跑題了……根據以上，結論就是：

人偏愛的是在大腦發育過程中學習記憶下來的「公理」，而對大多數人，這就是直觀的，親眼看到以及能從直觀角度推理的「推論」。

在數學學習過程中，一部分人通過記憶等方式把數學的抽象框架加入了自己的「公理」，然後得到了抽象思維能力。

但不是對所有人都有效，就是因為部分數學內容可以通過具象化類比來教學和學習，特別是當此人不需要做數學物理相關的研究時，通過具象化類比的方式可以有更多的競爭優勢（學生更多時間刷題，老師成績指標完成更好），所以此現象不僅沒有收攏，反而有更大的發展趨勢（連我的小表妹也知道什麼「抽屜原理」）。

說句題外話，身邊所謂的「競賽大神」去法國那幾所交換的時候會疲軟，是不是也和這種具象化類比有關呢？

我的淺見是：

對於人來說自然語言的描述應該本能的會聯繫到視覺的體驗。因為自然語言大部分情況下，就是用來描述我們所能看到的世界，於是很多詞語都會定義模糊，主觀的添加了一些屬性。

數學則是把定義清晰的拆分成純粹的邏輯關係，不能有模糊的含義，把所有能區分的」不同「，都定義出來，到基礎層面只有不同和同。

一般來說，人的思維並不是完全只依靠清晰邏輯的。自然語言的模糊性，很多時候給生活帶來便利。這種對信息邏輯化能力的差別，認知科學上怎麼解釋。。。我就不清楚了。

說點個人感覺。

一個直覺上正確而簡單的結論。

第一類人的理解就是顯然，看似不存在任何理解障礙，但本質來說，他們對結論的理解只是浮於直覺本身。

第二類人的理解就相對困難，他們會找到明確的定義上，對定義反覆推敲，舉例，甚至試圖構造反例，以及證明反例不存在。如此下來，對結論的理解，更加深刻而抽象。

這兩類人從初期就會有區分。久了，就累積了巨大的對抽象的認知差距。前者最多只能理解一些符合直覺的推論，做出有限的技巧性的改進。後者，則可以所有結論質疑，發現漏洞，可以提出反直覺的特例。

我認為這就是不同人理解抽象的差距。第一類人居多，包括大部分大學教授。而第二類人較少，堅持到最後的，想必都是大師。

題主問的比較多，就我知道的部分給答案，可能不太全面，由於不在學校，不能查詢論文資料，有空填坑。

總的來說，抽象的問題不僅存在於數學中，可能數學給你的印象就這樣（逃。。。）。另外，至少數學系的普通努力的學生對抽象數學現在不太存在障礙了，只要去學，總能學會，要想在前進一步的話就比較難了。

人類對抽象的概念的認識，很大程度來自直觀的認識，比如你無法給一千年前的人普及手機的概念。沒有見過紫色，就很難想像。所以，直觀認識總比抽象認識來的容易，人們總是偏向更簡單省事的路徑（分明就是懶好么），所以排斥更加耗費腦力的抽象也就很正常了。

還有我不知道民科是什麼？知道的麻煩給我說下。如果是經過科學系統的訓練，認識抽象對大多數人不存在障礙。

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從許多事物中，捨棄個別的、非本質的屬性，抽出共同的、本質的屬性的過程，是形成概念的必要手段。——來自百度百科，抽象。

也從這裡看出，基本所有的定義都有抽象的部分，比方說:房子椅子，吃飯睡覺，搶劫殺人，鋼筋水泥，，，等等吧（有什麼奇怪的東西-_-#）

你這裡所說的抽象的概念，大約高中水平就可以理解（偶爾得來數據，現50%人未上過大學，暫認為未達到高中水平）。為什麼說高中呢？首先吧，點的概念，概率的概念這些大約弄清定義即可理解。無窮，數學系大一新生基本三個月內要掌握吧。

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既然題主特意提到數學（分明是國內的教育方法讓大家感到難的好吧），就來說說數學吧

我們可以看看數學的進化史，也就是三次數學危機。

無理數的出現，無窮的出現，羅素悖論。題主可以百度，有興趣可以自己搜論文了解。

這些都是抽象思維的進步。（有空填坑）

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這裡來說說，為什麼有的人學不會。

個人認為，抽象思維是與生俱來和可以訓練的。（待資料補正）

所有學不會的原因可以籠統的歸結於抗拒心裡和不積極的態度。你沒辦法叫醒一個裝睡的人-_-#。抽象思維是可以鍛煉的，它是概括能力的延伸，是一種歸納類比。你給一個不懂維度的人講一維二維三維還可以理解，因為現實可以舉例。但是一旦上升到四維五維n維就很難理解了，因為他根本不清楚維度是個什麼東西。

還是前邊的話，民科學不會應該是他們壓根就不需要或者是不想學。不懂裝懂和我不聽我不聽是沒辦法交流的╮(╯▽╰)╭。

人類作為一種生物來講，在幾百萬年的進化過程中，在沒有語言、文字等「語義性知識」之前，大腦里根本就沒有什麼「抽象概念」這種玩意，所以有這個壁壘很正常。

人類經常近乎本能的習慣於形象思維和抽象思維相互干擾的混合狀態，是抽象概念認識的最大困難。

其次抽象思維本身是要十分嚴密的準確的。許多人在己有的自我認識局限下不具備嚴密的抽象思維。

所以，如果沒有抽象思維的準確嚴密性，就不能準確界定概念和概念與概念間的關係。

準確地形成概念以及概念間的關係是抽象思維方法的最基本的規則。