為什麼 0+1=1 而 0+2≠1？

01-07

如果0代表什麼都沒有，1代表1個實物，0+1=1。但是數字是一個抽象的東西，他代表實物的抽象結果，那麼Log1代表把1個蘋果對數一下，這樣的問題是沒有意義的。所以，0+2為什麼不可以等於1呢？

誰說不可以的，當然可以。

問題在於，要使得0+2=1，那麼這個表達式裡面的五個符號0、+、2、=、1中至少有一個和通常的理解不同。

1、0等價於-1，所以0+2=1

2、+等價於一個二元函數a, b =&> b / 2 加 a，所以0 + 2 = 2 / 2 加 0 = 1

3、2等價於1，所以0+2=2=1

4、=代表不等於，所以0+2不等於1，所以0+2=1

5、1等價於2，所以0+2=2=1

所以，我們只要隨便調整一個符號的定義，就可以自圓其說。

問題在於，這種遊戲毫無意義，我們發明數學符號是為了和大家溝通和解決問題的。如果這些符號的含義不能達成共識，那麼0+2=1這種表達式和@^*%!^!這種表達式並沒有什麼區別，並不能用來溝通和解決問題。

所以我們使用數學的符號時，一定要使用其公認的通常所代表的含義，這個含義是人為規定的，所以你完全可以規定另外一套含義，沒有問題，只是別人不跟你玩罷了。

一般加法的單位元（identity）為 0，即 $x + 0 = x$ 。

如果要實現 $x + 0 e x$ ， 0 就不能是這個 + 運算的單位元。當然你是可以這麼定義的，但 + 就不是指加法運算，而要定義為另一種運算。

先直接回應問題：

他代表實物的抽象結果

這種認識，至少不能說是毫無道理的，但是

那麼Log1代表把1個蘋果對數一下，這樣的問題是沒有意義的

是一種錯誤的觀點，如果你仍然認為「1」是一個蘋果，那麼你不能說自己在談「抽象的數學」（除非你把抽象也重新定義了一下），如果對「1」的任何處理都能夠直接對應到一個蘋果或者一個鴨梨或者一個我，那麼這個」1」實際上是在表示「1個實物」，而不是「1個實物的抽象結果」。

至於

0+2為什麼不可以等於1呢

其實可以有兩種回答：

我們說0+2不是1，其實是在用「0」，「+"，」2「，」1「指代我們共同認可的數學中的運算和數字。當我們要像別人表達這些數字的時候，不得不藉助某些大家都認可的表達方式，不太可能跳過語言符號這一層直接傳達實際的概念。

然而，這些語言符號，也可以只當成是一些約定俗成的記法，而不與實際的數字相關聯，比如說，「1」其實是阿拉伯數字的寫法，用中文寫就會變成「一」，用英文又會變成「One」，日語似乎是說「いち」，用德語則會變成「Zwei」。對於一個中國人而言，後幾種記法可能只是無意義的亂碼而已，他當然也就可以認為「Zwei」根本不是1了。從這個角度說，表示數學意義上的1的表示方法，無論怎麼說也只是一個無意義的符號，因此「0+1=1」和「0+2=1」從某種角度來看也沒什麼區別。

但是，無論我們怎樣使用這些符號，我們不是希望無意義的亂叫，而是在使用我們的語言，希望能表達某種涵義。當我們說「0+1=1」的時候，我們希望對方能夠理解符號背後的數學涵義。這樣就有了兩個約束，第一是我們使用的這些符號組合，必須是我們的交流對象能夠理解的，否則我們的想法就無法被正確傳達；第二是我們要表述的事實在交流對象看來應該是可接受的、「合理」的，否則對方只會擔憂的為我們聯繫精神病醫生。

從上面兩個角度來看，我們就知道「0+1=1」和「0+2=1」為什麼會讓人感覺截然不同了。在很早之前，就已經有人嘗試過嚴謹的表述「0+1=1」這些符號背後真正的規律。就拿加法來說，他們認為：

加法中應該有一個「很空」的東西，所以可以使用加法作用的對象（並不是什麼都能加的，比如我加上一個題主，從大家都能接受的角度來看毫無意義），加上這個東西都不應該變。
……

這個很空的東西，當然應該應該有個符號來表示，否則每次提到它，都會變得十分麻煩。當然，嚴格說加法也可以有很多種，不一定只能是兩個數字相加，還可能是兩個矩陣相加，甚至也不是不可能把我和樓上的答主加起來（如果真的有足夠多人能接受這種表達並且理解出了什麼涵義）。不過這裡既然是談數學，談自然數，我們當然還是要試著理解自然數，對於自然數，大家基本都認可（認為自然數從1開始的人不這麼想，也許在他們看來自然數上根本就沒有「完整」的加法）：

自然數被認為應該是一個有順序的序列，並且有一個起始點
這個起始點應該被當成自然數的加法中「很空」的那個東西
……

現在就是給這個「很空」的「起始點」找個符號，現在大家都是約定俗成的使用「0」，所以我們會說「0+1=1」，如果堅持要說「0「「+」「2」「=」」1」，那麼：

如果認為「0」不表示那個「很空」的東西，那麼不管你用「0」表示了什麼數，你在使用另外的一種，大家不那麼認可的記法。
否則

你覺得"0"就是那個「很空」的東西，那麼你就會發現「1」等於」2「，換句話說，在你看來也許」2「和」One「一樣，只是數學的1的一種表示，你的記法還是不能被大家認可。
你根本就不覺得「+」是那個樣子的，現在你要麼是在用「+」來做某種大家不認可的表示，要麼是根本就不是在談論大家認可的數學。

所以不管怎麼看，「0+2=1」在我們目前的這個環境下都沒什麼意義，不如不加說明的直接說「0加1不等於2」比較方便。

【如果你堅持看到這裡，我要放出一個小彩蛋：「Zwei」是德語的2，確實不是1】

【如果你真的認為這個除了長就是長的答案居然對你有一些幫助，我個人的建議是趁這個機會去看看其他更完整、更嚴謹一些的回答，或者乾脆去找書看看】

【我覺得引號好像很亂，但是又不好改…好難受…（然而我不會去使用直角引號的）】

首先題主確實可以定義 0 ＋ 2 ＝ 1。

比如在1的完整剩餘系裡什麼的。

但是問題是，如果把函數定義為 $logx$ 的話，這顯然無法使得整數系形成一個自同構。

然而連一個同態都不是，因為：

$varphi (xy) = log(xy)$ ，而 $varphi (x)varphi (y)=log(x)log(y)=log(x+y)$ ，顯然的，這似乎不是一回事呢。

建議題主去看一看同構（isomorphism）的概念，大致來說就是兩個結構同構的話說明兩結構具有相同的運算結構且建立在兩結構上的映射為一雙射，只是結構2的元素命名方式與結構1不同。

舉例：初中學的三角形全等。兩三角形全等說明它們其實是同一個三角形，只是定點的字母不一樣。其實這是Dihedral群的最簡單形式。

建議噴題主的去學學抽象代數，這樣就會發現題主做法的合理性了。不然做代數的天天在做同構是不是有病啊。

首先數字不是實物的抽象。

用peano公理的語言定義，自然數就是在N這個集合里，從0開始一直往下數，數到無窮。也就是我們數到的第一個，說是0，接著往下數，就是1，再接著往下數，就是2。

我們用++代表一個數的後繼，也就是接著往下數的那個數，那麼1=0++，2=（0++）++

自然數是我們的定義出來的，我們定義，第一，0是一個自然數，第二，自然數的後繼也是自然數。

既然如此，那麼1=0++當然是自然數，那麼2=（0++）++=1++也是自然數。

這樣數下去會有一個問題，就是我們會不會數到最後又數到0了呢？例如你數星期，12,34567，最後又數回了1，數星期就有了7的後繼又成了1的現象。

所以我們再加一個公理：0不是任何數的後繼。也就是不存在自然數n，使得n++=0

但是這樣的數仍然很奇怪。假設一個集合只有0,1。那麼你數的第一個是0，它的後繼是1，1的後繼仍然是1，那麼就很奇怪。這個時候：

0++=1,1++=1，如果我們說1++就是2的話，那麼確實1++=（0++）++=2=1

但這個規律不符合我們直觀上對那個真實世界的「自然數」的概念。

所以我們又加了一條公理：不同自然數有不同的後繼。

也就是自然數m不等於n，那麼m++也就不等於n++

記住這個公理。我們一會回來。

現在我們還沒有回答這個問題，是因為我們還沒有定義加法。為了定義加法，我們必須增加一個公理，這個公理要求我們所定義數系可以使用數學歸納法。

這樣我們來定義加法，我們定義加法這個符號+的意義是，0+n等於n，並且（m++）+n等於（m+n）++

這樣我們可以遞歸的理解這個問題，當n等於1時，0+1=1,1+1呢？我們知道1=0++，那麼這個問題就是（0++）+1，就等於（0+1）++，就等於1++，這就是2。你可以證明，我們定義的這個加法和「真實世界」的自然數的加法是一樣的。

好了，我們可以回來看樓主的問題，0+1等於1，而0+2不等於1，為什麼？

我們仔細看這個問題，按照我們的定義，1=0++，2=1++=（0++）++

按照我們定義的加法，0+1確實是等於1，而0+2也確實等於2，這個沒什麼好說的。

所以問題就轉化為：為什麼2不等於1？

為什麼2不等於1呢？

我們剛才說了，2是可以等於1的，如果我們從一個集合n開始數，第一個叫0，下一個，也就是0的後繼叫做1，再下一個，沒有了，我們數的還是上一個數，但是由於這個數是上一個數的後繼，所以它叫2，由於我們數的卻還是上一個數，所以2就等於1。

為什麼2又不等於1呢？因為我們討論的是我們構造出來的數系，這個數系滿足一些公理。2等於1，不滿足我們的公理。

仔細看看我們規定了什麼公理。

a、0不是任何自然數的後繼。

b、不同的自然數有不同的後繼。

這樣我們用反證法證明這個問題。

首先，我們假設2=1.

那麼我們可以寫成：1++=0++。

根據公理b，不同的自然數有不同的後繼，也就是如果兩個自然數有相同的後繼，那麼這兩個自然數相等，所以1=0.

接著我們可以寫成0++=0.

這和公理a矛盾。

所以2不等於1.

從這裡可以看出，從我們定義的自然數系中，你說的現象是不存在的。當然我們之所以這麼定義，是因為我們想要去掉在「真實世界」里怪異的現象。但這不代表數本來就應該有這樣的性質，數其實有各種各樣的性質。

數學不是告訴你數的本質是什麼，而是告訴你如果假定數的某些性質，我們能推出什麼

log對數的自變數是無量綱數。對數的意義如下：你有一些蘋果，我有一些蘋果，我們蘋果數量的比值是一個無量綱的數，這個數的對數是對我們擁有蘋果數量的比較的一種度量，當對數是0的時候代表我們有一樣多的蘋果（即log(1)=0），對數為正時代表你的蘋果多，對數為負時代表我的蘋果多。這類似於我們的蘋果數量做差的效果，同樣是0代表一樣多。

至於0+2等不等於1，如果你希望0的意思是什麼也沒有，那麼0+任何東西都對這個東西不應該產生影響，所以它不會把2變成1。

你可以不用在意那麼多嚴格的數學定義，但是抽象的數學並不可以隨意擺弄，任何概念和運算定義出來都是有它被期望有的效果的，當你強加上別的規則時，原來的定義就要被修改，所以你表達出來的就是不知道是什麼的別的東西了。

那你可以做出一個理論來，裡面有0+2=1，只要前提條件都是可以的，當然，這時候你的0+2=1與實際生活中的阿拉伯數字之間的計算是不一樣的了。就比如近世代數里定義了乘法，那就和我們平時理解的乘法不一樣了，我們平時理解的乘法可以看做群論乘法的一種特殊情形；近世代數里還定義了加法群里的加。還有高等代數里的線性空間里定義的零元素，負元素等等。