除了物理學之外，有沒有其它學科的數學模型用到了較高層次的代數學？

01-07

目前所知到的工學數學模型多數是以微分方程或是概率統計為基礎的，偶爾也可以見到幾何模型，但是對較高層次的代數學應用並不多，那麼較高層次的代數學除了在物理學中之外，還有其它什麼用途？

說一點剛想到的生物裡面的應用，忽略掉線性方程、本徵分析有關的東西：

最常用的，兩個生物分子的結構比對，為了將兩個分子形成最大的重合，其實在操作這兩個分子的時候用到了四元數；

如用群論分析病毒衣殼和一些大型的具有對稱性的分子機器；

與DNA、蛋白質等有關的拓撲（如扭結）以及與此有關的其它問題（例如結構的分類），有的也能化成代數問題來處理；

除此之外，跟生物序列有關的一些問題以及一些離散的優化也可以轉換成代數問題，例如討論基因重組，需要討論的擴張模式的代數和模結構（參考沈世鎰老師的書），此外，基因測序可以轉化為哈密爾頓圖問題（當然這個方面我知道的太少舉的例子也不是太代數啦）；

另外，即使是微分方程的問題，特別是隨機微分方程，討論譜的問題，常常也都是代數方法。

現代控制理論

代數統計學

音樂中的topos理論

跑題的答案：

Mathematical Models: Uses and Limitations

IEEE Xplore Abstract

Solomon W. Golomb

節選

Mathematical modeling is a technique that engineers use to solve any practical problem. Its severe limitations and pitfalls are illustrated.

In 1958, when someone commented to me that it was fortunate that the defense program lent itself so readily to mathematical formulations, I replied that this was largely illusory. In fact, I asserted, if the Federal government suddenly decided that the urgent national problem was garbage collecting, and funded it accordingly, there would soon be a mathematical theory of garbage collecting. But imagine my surprise, ten years later, to discover that garbage collecting has become an urgent national problem, under the more esoteric name of "waste management"-and, sure enough, mathematical modeling is being applied. So far, the funding level is only in hundreds of thousands of dollars, but as it gets up into the millions, there will no doubt be a differential theory of garbage collecting, a topological theory of garbage collecting, and a statistical theory of garbage collecting.

The principle of mathematical modeling has now become so widely accepted in the physical, biological, and that it scarcely seems necessary to present a case for it. Accordingly, I have prepared the accompanying chart (Table I) listing the pitfalls inherent in modeling. Perhaps one illustration provides the best overall advice to mathematical modelers; a rocky road, filled with potholes, and a large sign in the foreground, warning "Proceed-With Caution."

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No model is ever a perfect fit to reality. Deductions based on the model must be regarded with appropriate suspicion.

1. Don"t believe the 33rd-order consequences of a first-order model.

The "impenetrability" of the sound barrier.

2. Don"t extrapolate beyond the region of fit.

The world is flat, locally.

3. Don"t apply any model until you understand the simplifying assumptions on which it is based, and can test their applicability.

Perpetual motion inventors and angle trisectors have not read the fine print.

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Distinguish at all times between the model and the real world.

1. Don"t believe that the model is the reality.

Sticking pins in a voodoo doll.

2. Don"t distort reality to fit the model.

Gestalt perception of preconceived patterns (e.g., Martian canals?).

3. Don"t limit yourself to a single model. More than one may be useful for understanding different aspects of the same phenomenon.

Light is a wave or a particle, and heat and electricity can be regarded as fluids.

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A model must be permitted to evolve as conditions change or as additional data become available.

1. Don"t retain a discredited model.

Astrological forecasting.

2. Don"t fall in love with you model.

Network theorists who do not wish to admit any of the newer components into their circuits.

3. Don"t reject data which are in conflict with the model. Use them to refute, modify, or improve the model.

Astronomers pooh-poohed meteorites for centuries. Hypnotism was not believable.

There"s no sense in being precise when you don"t even know what you"re talking about.

--- John von Neumann

就我所學的電氣工程專業來說，電路，電子，電機，電力系統，自動控制，信號與系統。沒有一個不用的

arXiv:0711.3503v4 利用classical invariant theory的辦法作phylogenetics。

首先數學各分支都有可能用到較高層次的代數學。費馬大定理的證明便涉及到代數數論的伽羅瓦模理論。張益唐的證明，也利用了代數幾何的結果改進了解析數論的篩法。

除開數學學科之外，代數學在自然科學中也有廣泛的應用。量子場論和同調代數有非常密切的關係（順便提一下，最近的諾貝爾物理學獎其實是和Yang-Mills場論密切相關的，而這就是代數學中的非阿貝爾的規範場）。另外，搞宇宙學或者空間物理的科學家，都還懂一點代數拓撲。群表示理論在晶體力學，分子結構學中是基本工具。天才的香農將布爾代數用在開關電路中，成了數字電路的理論基礎。在數值計算方面，運算元代數和譜圖理論應當是不可或缺的知識。理論計算機中圖論演算法就搬運了不少代數圖論的理論，而密碼學、資訊理論也無法和代數編碼理論撇清關係。在圖形視覺方面，圖形學的研究者必須要知道一點兒張量分析，搞信號視覺的都多少懂點調和分析。計算機聚類分類里有範疇論的影子，事實上，有人寫了一本書叫《李群機器學習》。一談鞅論里得先提起σ-代數，隨機微分方程里的保結構演算法還得藉助李群。由於近年來交換代數在統計學發展得如此迅速，以致於出現了「代數統計」的稱呼。邏輯學和代數邏輯應有同源血脈。

以著名（是的，你一定聽過他的名字）代數學家韋達的話作為結尾，「沒有不能解決的問題。」

下面是

《系統與控制中的近代數學基礎》

前言

符號說明

第1章　數學與系統控制

1.1　數學和它的學科結構

1.2　系統與控制理論

1.3　建模、控制與優化中的數學方法

1.4　注釋與參考

習題

第2章　測度與積分

2.1　集合與勢

2.2　實數及其完備性

2.3　實數域R中的開集和閉集

2.4　R中的測度論

2.5　可測函數

2.6　概率測度與Hausdorff測度

2.7　勒貝格積分（I）-有界可測函數情形

2.8　勒貝格積分（II）-非負可測函數情形

2.9　勒貝格積分（III）-一般可測函數情形

2.10　勒貝格積分與黎曼積分的關係

2.11　不定積分

2.12　Rn上的勒貝格可測集和勒貝格積分

2.13　注釋與參考

習題

第3章　泛函空間與線性運算元

3.1　距離空間

3.2　賦范線性空間

3.3　內積空間

3.4　有界線性運算元

3.5　有界線性泛函和伴隨運算元

3.6　線性運算元的基本理論

3.7　有界線性運算元的正則集和譜集

3.8　緊運算元的譜理論

3.9　Sobolev空間

3.10　注釋與參考

習題

第4章　點集拓撲

4.1　空間上的拓撲結構

4.2　映射、同胚空間、子空間

4.3　分離與聯通性

4.4　緊空間

4.5　乘積空間、商空間

4.6　注釋與參考

習題

第5章　群、環、域

5.1　群與子群

5.2　群同態、群同構

5.3　環

5.4　域和域的擴張

5.5　伽羅瓦理論（I）-伽羅瓦群

5.6　伽羅瓦理論（II）-代數方程的解

5.7　注釋與參考

習題

第6章　拓撲空間的代數特徵

6.1　拓撲空間的同倫

6.2　基本群

6.3　復疊空間

6.4　範疇與函子

6.5　單純形與單純復形

6.6　同調群

6.7　注釋與參考

習題

第7章　流形上的幾何學

第8章　張量場、黎曼幾何與辛幾何

第9章　代數幾何初步

附錄　矩陣的半張量積

參考文獻

名詞索引

代數圖論不知道算不算。

我當時做過一個圖著色問題需要對這個問題用半正定規劃來建模，裡面用到了抽象代數和線性代數。由於本人做這個問題之前幾乎沒有什麼代數背景，所以惡補了好久。

對了，還用到了一個概念叫association scheme。

我做的那個問題主要用於研究資訊理論編碼裡面關於用最短碼長來表示最豐富的信息。比如你想用一個約束來找到一種編碼來表示信息，你想知道在一個碼長下，你的這個編碼裡面最大可以容納多少個碼字。

這個問題我是非常感興趣的，不過由於數學背景太渣，只能淺嘗輒止，不過以後有機會還想再深入研究一下。

這是我當時做presentation時候用的slides，

Semidefinite programming, binary codes and a graph coloring problem

還有就是programming language 裡面，函數式編程尤其是Haskell用到了大量的範疇論，Hask就是Haskell的Category。（Hask - HaskellWiki）

範疇論是集合論的基礎，而集合論又是代數的基礎。我認識的一個數學老師跟我說過，他說數學就是一門語言而已，別的什麼都不是。後來想想，確實數學和其他語言一樣，都是用於描述這個世界用的。。

轉載:

「自函子說穿了就是把一個範疇映射到自身的函子，

自函子範疇說穿了就是從小範疇映射到自身的函子所構成的以自函子為對象以自然變換為態射的範疇，

幺半群說穿了就是只有單個對象的範疇，給定了一個幺半群則可構造出一個僅有單個對象的小範疇使其態射由幺半群的元素給出而合成由幺半群的運算給出，

而單子說穿了就是自函子範疇上的這樣一個幺半群。

這都不理解么親連這種最基本的概念都不理解還學什麼編程！」

我的表情：

搜索引擎

機械里用到李群李代數

computer science 里用到的高層次圖論們算不算

PNP是不是高層次

computer graphics 用的矩陣是不是高層次

computational neuroscience 里對神經網路的建模似乎用的也是高層次

自己都不怎麼深入，匿了