數學分析，黎曼積分的必要條件與無界函數的反常積分收斂的疑惑？

01-07

1.黎曼積分的定義（未要求函數f(x)一定有界）
2.關於積分和存在的必要條件
上圖證明了黎曼和存在，則函數f（x)一定是有界的。

3.對無界函數的反常積分定義
a為瑕點，根據2中對黎曼積分的必要條件證明中，如果f（x)在a的右鄰域內無界，設在（a,a+Δxi0)區間內那麼有
也就是對於任意的|J|,都有上式成立，那麼
這一項應該是可以大於任何正數M,相當於其是無界的。而且只要是f（x)是無界的，這個式子都應該成立。
而在無界函數的反常積分中，
此式若要收斂，則在任一（a,b]的任一無限小區間內，例（a,x1) (x1,x2).........(xn , b]

都應該是一個有限值，而不是向上面那樣在區間（a,a+Δxi0)上，可以大於任意一個正數M(否則，反常積分就不會收斂)
通過對比，2中和3中不就互相矛盾了嗎？不知道哪裡邏輯出現錯誤了，希望能夠得到解釋，謝謝大家。

瑕積分不是Riemann積分

Lesbegue積分也罩不住

能容納瑕積分的，應該是Perron-Henstock-Denjoy-Luzin積分。

雖然有人提議把Riemann積分換成更一般的理論，但是估計大眾課本五十年內都換不了。

如果你不是數學系的，瑕積分就湊合算一下就行。

廣義積分並不是在開區間上的黎曼和，而是計算開區間上任意一個閉的子區間上的黎曼和，雖然函數在開區間上無界，但是函數在任意一個閉的子區間上都是有界的，所以它可以在任意一個閉的子區間上都可積，而且這個積分的結果還可以有極限。

不能把開區間換成閉區間，是因為一般來說函數列無限求和和取極限本來就是不能換序的，中間隔著一個一致收斂的問題。雖然看上去黎曼和像是只有求和上下限被取了極限，但是實際上求和的每一項可以認為都是區間上下界的函數，而在函數無界的時候，這些函數列不符合一致收斂的條件，靠近邊界的部分收斂可以無限變慢，所以是不能替換成閉區間上的黎曼積分的。

謝邀。

初學者會有這樣的疑問很正常。這是個反直覺的事情。

$lim_{v o a+}int_v^bf(x)dx = lim_{v o a+} lim_{vleq x_ileq b}sum_i f(xi_i)Delta x_i eq lim_{aleq x_ileq b}sum_i f(xi_i)Delta x_i$ .第二個lim是黎曼和的簡便記號。其中那個不等號是反直覺的，這種事情就類似於「兩個極限不可交換次序」，一開始覺得這怎麼可以不成立，仔細想想，邏輯上確實過不去。

我也不知道有什麼直觀的方法來說明這件事情。就這麼說吧，比如我們看 $int_0^1 frac{1}{sqrt{x}}dx$ 這個例子，我們根據NL公式知道它是收斂的廣義積分。但是如果直接用黎曼和去算這個積分，那確實會是無窮大。注意到在題主引用的式子 $|f(xi_{i_0})Delta x_{i_0}|>1+|sum_{i<br /> eq i_0}f(xi_i)Delta x_i|+|J|$ 裡面， $xi_{i_0}$ 的選取是跟劃分{ $x_i$ }有關的。劃分{ $x_i$ }是可以任意變化的，只要它滿足最大區間長度小於 $delta$ 就行。對不同的劃分，上面不等式右邊的值是不一樣的，那麼我們要求相應的不等式左邊的值也跟著變化。對於

這個例子，我們可以選取越來越細的劃分使得 $frac{|sum_{i eq i_0}f(xi_i)Delta x_i|}{Delta x_{i_0}}$ 越來越大，從而要求 $f(xi_{i_0})$ 越來越大， $xi_{i_0}$ 需要非常非常接近0. 但是，如果我們事先固定一個v&>0，然後我們的劃分取在[v,b]這個區間裡面，那麼 $xi_{i_0}$ 就必須大於v而不能任意接近0，上述情況在劃分非常細的時候就不會發生。

順便說一下：在這個例子裡面， $1+|sum_{i eq i_0}f(xi_i)Delta x_i|+|J|$ 確實是一個有界的量，所以 $|f(xi_{i_0})Delta x_{i_0}|$ 也可以取為一個有界值，但是 $Delta x_{i_0}$ 是趨於0的，所以 $|f(xi_{i_0})Delta x_{i_0}|>1+|sum_{i<br /> eq i_0}f(xi_i)Delta x_i|+|J|$ 仍然會強迫f無界。

我知道上面的解釋不太直觀，有點拗口；但是真正要學好數學分析，就必須要有基本的邏輯學常識，必須對 $epsilon-delta$ 語言非常熟練，必須要學會用邏輯推理、數學演算來進行論證；同時，也要積累一定的例子。比如上面提到的 $int_0^1 frac{1}{sqrt{x}}dx$ 這種例子。有了具體例子，你就能更好地理解反直覺的數學現象，就可以通過具體的計算去驗證自己的想法對不對。

直觀上說，瑕積分的定義就是再講你在求面積的時候，你是先算a＋x到b的面積，然後當x一點一點減小的時候，面你一點一點添加a到a+x的面積。也就是說，在瑕點附近，你用矩形來逼近曲邊梯形的時候，這個逼近是足夠精細的。而直接套用定積分的定義，在瑕點附近，你可能會用一個好高好高的矩形來代替曲邊梯形，這樣就可能導致誤差很大很大。

2的證明裡說的是［a，b］上存在，然後把無界的範圍縮小到了一個一定存在的範圍。。。

這個範圍一定在a的右領域啊，就是因為這個位置無界嘛。所以換成（有問題。

所謂黎曼積分，必要條件便是函數在所取區間上有界，也是在這種情況下才去定義黎曼和，在廣義黎曼積分中，瑕點鄰域內函數無界，按照定義這個地方就不能直接去算它的黎曼和，本質上還是因為在靠近瑕點的地方函數值趨於無窮，劃分越細，x0趨於0，兩個相乘無法計算，所以才定義成廣義黎曼積分。

而不是向上面那樣在區間（a,a+Δxi0)上，可以大於任意一個正數M(否則，反常積分就不會收斂)

確實可以大於任意的整數，這個是由【a+g,b】中的g決定的，使得分割得到的的

大於任意給定的數，但對給定的g,這個值也是有限的。

反常積分確實是按照可積的定義在閉區間不是黎曼可積的，黎曼可積是對閉區間說的，但是按照反常積分的定義來就是廣義可積的。

之後的疑惑就是高贊答案所說。

以下答案純屬自己的猜測，不小心讓你掉進了坑別怪我

黎曼積分積一個無界函數的時候，你取的ξ是任意的，也就是說，你可以讓一個Δx*一個任意大的數，這樣積分出來的肯定是∞

但是廣義積分的時候，是兩個極限，理解起來，可以當作真正讓你算出∞的那塊你一直沒有搭理它

每次往奇點擴充的時候，實際是增加了Δx的那一部分面積，這樣就沒辦法通過任意的ξ來算出無窮大了，因為你根本沒有取∞附近的點

或許可以理解為:黎曼積分的時候，是給你限定好給的區間了，你再隨便取f(x)

帶這種奇點的廣義積分是:限定好f(x)的範圍了，你再隨便取區間