符合介值性定理的函數一定連續嗎？

在證積分第一中值定理的時候可以用介值性定理，還可以利用被積函數的連續性再用拉格朗日中值定理證明所以……

謝邀：不是，這個問題我在之前的回答中提到過了，這個答案中我甚至提到一個更強的結論，一個具有介值的函數都不一定有原函數，為什麼這個結果厲害？因為任何函數的導數（如果存在的話）都是介值的（達布中值定理）：

一個具有介值性的函數是否一定存在原函數？ - 知乎

Conway構造了一處處不連續的，具有介值性質的函數：

Conway base 13 function

當然了，簡單的構造也不難： , ，這個函數的導數具有介值性質，但是卻不是連續的（根據達布中值定理）。 (當x非0時)，同時 。顯然它在0點不是連續的。

課後作業：請不使用達布中值定理直接證明以上函數滿足介值性質。

總結：1）具有介值性質的函數不一定連續（具體例子如上）

2）具有介值性質的函數甚至可以處處不連續。

3）一個函數的導數是介值的

4）結論3的逆結論不成立。

只是沒有第一類間斷點。