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符合介值性定理的函數一定連續嗎?

在證積分第一中值定理的時候可以用介值性定理,還可以利用被積函數的連續性再用拉格朗日中值定理證明所以……


謝邀:不是,這個問題我在之前的回答中提到過了,這個答案中我甚至提到一個更強的結論,一個具有介值的函數都不一定有原函數,為什麼這個結果厲害?因為任何函數的導數(如果存在的話)都是介值的(達布中值定理):

一個具有介值性的函數是否一定存在原函數? - 知乎

Conway構造了一處處不連續的,具有介值性質的函數:

Conway base 13 function

當然了,簡單的構造也不難:y=x^2sinfrac{1}{x}quad x
eq 0 ,y(0)=0 ,這個函數的導數具有介值性質,但是卻不是連續的(根據達布中值定理)。frac{dy}{dx}=2xsin frac{1}{x}-cosfrac{1}{x} (當x非0時),同時dy/dx(0)=0 。顯然它在0點不是連續的。

課後作業:請不使用達布中值定理直接證明以上函數滿足介值性質。

總結:1)具有介值性質的函數不一定連續(具體例子如上)

2)具有介值性質的函數甚至可以處處不連續。

3)一個函數的導數是介值的

4)結論3的逆結論不成立。


不一定……導函數因為daboux定理有介值性,但是不一定連續。

只是沒有第一類間斷點。

這個跟連續函數保號性有一定關係,所以當函數足夠壞的情況下,有介值性也不一定連續了。

當然你問我具體例子……我也不知道,數學分析的反例那個書有這個例子嗎?


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