如何計算:2^100000000/C(100000000,50000000)?

01-07

在計算1億個硬幣扔出去後有5千萬正面朝上的可能性有多大？
我想所有的可能共有2^100000000，5千萬正面朝上的可能共有C(100000000,50000000)，那佔有的比例就是這個除法了。但應該怎樣計算，目前的計算機不支持這麼高位的計算，應該如何計算？
我的近似演算法應該在2萬左右。

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如果不硬算的話，可以用 Stirling 公式化簡：

$inom{2n}{n} = dfrac{(2n)!}{n!^2} approx dfrac{sqrt{2picdot 2n} cdot Big( dfrac {2n}e Big)^{2n}}{2pi ncdot Big( dfrac ne Big)^{2n}} = dfrac{2^{2n}}{sqrt{pi n}}$ 。

於是，題主要求的東西是

$dfrac{2^{2n}}{inom{2n}{n}} approx sqrt{pi n}$ 。

我們算一算

還是比較精確的。