如何能精簡地解釋什麼是導數？

01-07

現在是高中，但對數學充滿好奇

相比定義導數，解釋導數並不是一件很困難的事，在中學有以下一些導數的例子：

最常見的就是對於時間的變化率：

速度：位移對於時間的變化率

加速度：速度對於時間的變化率

電流：電荷對於時間的變化率

化學反應速率：反應物（產物）濃度對於時間的變化率

也有一些與時間無關的導數例子：

斜率：縱坐標對於橫坐標的變化率

彈簧勁度係數：彈簧受力對於伸縮量的變化率

邊際稅率：稅收對於收入的變化率

當然導數的例子遠不只是以上這些，事實上，所有的變化中都隱藏了導數。

導數的定義可以通過極限或者泰勒公式等概念來表達，理解有一定的難度。

要想弄明白導數的嚴格定義，需要先了解數學上的「極限」這一概念。不巧這個概念很難用幾句話說清楚，不僅因為它涉及的情況很複雜，也因為它非常反直觀，甚至於在數學發展史上，圍繞極限這一概念也有過很長時間的爭論。所以我乾脆不去說它了。你現在是高中，那應該知道

0.99999.... = 1

這個解釋足夠理解導數了。

導數，通常是『導函數』一詞的縮寫。一個可導函數的導函數，描述該可導函數在定義域上每一『點』的變化『趨勢』。

上面加引號的『點』和『趨勢』，都需要從極限的角度去嚴格解釋，因此這裡也省略了。

舉個例子，函數f(x)=x的導數（導函數）是常量1，換句話說，f(x)的導數在定義域內不變。

1.為什麼不變？因為f(x)的『變化』是不變的，它以同樣的速度隨著x的增加而增加！從圖像上來看就是一條斜向上的直線。

2.為什麼是1？因為他增長的『速度』是1.你想一下，x每增大1，f(x)也增大1；x每增大100，f(x)也增大100.

很容易發現f(x)=2x的導數是2，f(x)=-x的導數是-1，都是同理。

至於更複雜的函數的導數如何求：首先你要判斷函數是否連續，在此基礎上判斷是否可導，然後在用求極限的方法去求一個函數的導數。

就像上面說的，一切都是以『極限』概念為基礎。等你學到高三，應該就會學到這部分內容了，以你現在的知識我很難用兩句話解釋清楚。比如為啥f(x)=sinx的導數是cosx?這就沒那麼直觀了。

如果對這個有興趣，可以學完高一函數知識後，直接去買一本高數教材去看。記住，不要買國內通用的同濟大學教材，因為它講的非常反人類。國外有很多優秀書籍。

希望對你有幫助。

簡單地說函數 $f(x)$ 在某點 $x_{0}$ 的導數表示函數在此點正方向上的變化趨勢表示為 $f$ 導數為正則在 $x$ 正方向上 $f(x)$ 有增大趨勢導數絕對值越大變化趨勢越明顯

請見動態的GIF圖解釋:

導數反映函數變化的快慢程度. 看下面的例子, 比如從家開車出發, 往右邊超市行駛. 最下的圖形藍色曲線表示行駛的路程和時間, 橙色為速度與時間函數關係.

開始汽車速度會逐步提高, 當然行駛的距離隨之增大, 到了時間等於2.4, 因為快要到達超市, 速度減慢到 0(時間為 3.2), 然後開始返程, 行駛距離減小.

開車回去的速度要比來時候要快, 所以橙色曲線在(3.2, 4.3)內要下降的更快些(為負是因為速度方向相反), 時間等於 4.3 , 因為快到家了, 速度開始減慢, 然後直至為0.

http://weixin.qq.com/r/nkjTyzvEb2YQrX_o9x2M (二維碼自動識別)

請見另一個GIF圖:

最精簡的說法：兩個字：就是斜率；準確點的說法：三個字：變化率

差分機的原理可能可以幫助理解。

差分機（Difference Engine）最早是19世紀設計出來，但是很晚才製作成功。這是最古老的機械式「計算機」，能根據一個多項式（例如 $f(x) = 3x^4+4x^3+5x^2+6x+7$ ）的若干初始值，推算出任何未來值（已知x=0,1,2的值，求出x&>2的值）。

差分機的求解原理大致是這樣，以 $f(x) = 3x^2+3x+1$ 為例：

| col.0 | col.1 | col.2 | col.3 | col.4 | -------------------------------------------------------- | x | f(x) | col.1 diff | col.2 diff | col.3 diff | -------------------------------------------------------- | 0 | 1 | - | - | - | | 1 | 7 | 6 | - | - | | 2 | 19 | 12 | 6 | - | | 3 | 37 | 18 | 6 | 0 | | 4 | 61 | 24 | 6 | 0 |

col.0表示x取值，col.1是f(x)取值。

col.2是「col.1當前行值減去上一行值」。例如x=1時col.2取值就是7-1=6。col.3和col.4依次類推。

要推測未來值的時候，從已知的固定值column（這個例子中是col.3）反推col.2的值，再反推col.1的值，得到f(x)的值。

回到你的問題，導數是什麼？導數就是col.2、col.3、col.4里的數字。

col.2是 $f$

col.3是 $f$

col.4是 $f$

差分機的原理就是：已知 $x_1$ 時 $f(x)$ 的值，通過 $f(x)$ 的導數就能求出 $x=x_1+1$ 時函數的值

就這麼簡單

汽車有車速表

而我們知道路程=速度*時間，也就是 $s(t)=vt$

等你開車的時候，在你低頭看車速表那一瞬間 $t_{0}$ 看到的車速表上的數就是 $s(t)$ 對 $t$ 的導數值 $frac{ds}{dt}|_{t=t_{0}}$

函數在某一點處的導數，函數圖形在該點處切線的斜率。

y-y0=A(x-x0)+o(x-x0)，在x足夠接近x0的情況下，dy與Adx的差是dx的高階無窮小,A就是y=f(x)在x0點的導數，這裡A應理解為一個線性映射，所謂的線性映射在一維的情況下就是y=Ax,不理解線性映射可以百科，這裡不方便解釋，如果學向量分析就知道，這裡的A就會變成一個矩陣，稱之為雅可比矩陣，實際上矩陣就是線性映射(固定了向量空間的基)，上面的x和y就對應的是m和n維向量，換直觀的理解，在dx足夠小的時候Adx是dy的一個線性近似，A不隨dx變化，dy與Adx的差是dx的高階無窮小，如果你把一根光滑曲線不停的放大，它會越來越接近一條直線，實際上就是這麼回事,在物理裡面x是位移v是在t0時刻的速度dx=vdt當dt足夠小，位移差相對時間差來說只相差一個倍數，這個倍數就是速度也就是導數，而且這種理解恰恰是真正數學意義上的理解，其嚴格定義形式在一般的數學分析書上很難看到，高級一點的書上會有解釋，高等數學就不用提了，而這種理解是最符合客觀世界規律的，微積分的偉大意義就在於把非線性的問題轉化為線性的問題，因為人類大多只能理解線性的事物

導數即斜率,某點的導數即為某點的斜率，也是X→Xо的△y/△x

也是X→Xо的極限

原函數彎的程度