circle packing到底是怎樣？研究過circle packing的大神或者小神們為完全不懂的小朋友做一個掃盲

01-07

前段時間對這個問題做了許多功課所以能搜索到都讀過，但是對於一個學建築的學生這個問題還是太過艱深，在大體背景了解過後還想針對packing circle的幾種相切方式，重要的公式，以及目前理論的應用再多了解一些。

謝謝邀請，這可以算本人的直接課題了。

圓堆 circle packing 定義很簡單：一堆互不相交的圓盤。

圓盤的大小不固定，否則是另一個問題，二維比較無聊。

對一個 circle packing，比較重要的組合對象是其相切圖。

每個圓盤是一個頂點，兩個圓盤相切就在相應頂點間連線。

下面是重要的定理：

circle packing 定理：一個圖是一個圓堆的相切圖，當切僅當該圖是平面圖。

如果你能在紙上用不相交的曲線畫出一個圖，那麼有個 Fary 定理說，你一定也可以用直線來畫。而現在 circle packing 定理說，可以調整直線的長度，使得每個頂點上都可以放個圓盤，圓盤之間在且僅在直線上相切。

唯一性：如果一個圖是平面的三角化，那麼不計反演變換，該圖是唯一一個圓堆的相切圖。

也就是說，如果一個圖畫在紙上，每個「洞」都是個三角，那麼以這個圖為相切圖的圓堆，他們之間可以通過一系列反演相互轉換。

上面出現了「三角化」triangulation 的概念，估計學習建築的你應該有所耳聞了，這是三維建模的重要工具。因此下面這個定理最重要：circle packing 可用於逼近保形變換。其意義見下圖：

來源：Circle packing theorem

又出現了一個建築學可能聽說過的詞：保形變換。在三維建模中，比如你在一個平面上有些圖案，現在需要你把這個平面變成一個曲面。如果直接做的畫，八成圖案會變形。但是如果你用保形變換，幾何上的角度都會保持不變，看上去就好多了。所以，圓堆就用來：

來源：Riemann Surface

這個圖來自一篇文獻，其作者之一提出了將保形變換離散化。圓堆中圓的半徑，恰好就是離散保形變換的參數。

你如果數學比較吃力，需要知道的就是：你可以用圓堆以非常美觀的方式逼近任何曲面。

強烈推薦的英語教材是 K. Stephenson 的 Introduction to Circle Packing。推薦理由：多圖。

這個網頁上有個現成的建築：http://packed-pavilion.blogspot.de/