既然哥德巴赫猜想未被證明，為什麼不能把它視作一個公理來使用？若在使用過程中發現問題，不就反證出來了嗎？

01-07

嗯？如何應用也是個問題。。。

可以啊,有沒有誰規定不可以...但是不一定能用反例反證啊...

舉個例子.最近的孿生素數猜想,如果 Elliott–Halberstam 猜想成立,那麼 $(p,p+6)$ 這樣的素數有無窮多組.反例是只有有限多組...這個又沒法數值驗證...

另一個問題在於,假設哥德巴赫成立然後呢???

看看人家黎曼猜想,人家一般叫黎曼假設...有多少論文開篇假設黎曼猜想成立...

證否黎曼假設: !!!∑(?Д?ノ)ノ大新聞大新聞,又可以水論文了!
證否哥德巴赫: (｀?ω?′) 可惜了,然而我的論文還是沒思路...

為什麼境遇差別這麼大呢?這個要從數論發展說起了.

初等數論

就是初等方法, 一般只關注個體,不會動不動考慮域 $mathbb{K}$ 或者一個XX人名函數然後一堆希臘字母

主要用整除和同餘,成果有中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等...

代數數論

本來只研究整數頂多有理數,現在研究代數數,引入代數整數的概念,比如在域 $displaystyle mathbb{K}=mathbb{Q}(sqrt{2})$ ,中 $sqrt{2}$ 是個代數整數.這樣就能更好的研究一般性的不定方程.

其他什麼超越數論,幾何數論,組合數論,計算數論聽名字就知道幹嘛的了,有興趣自行了解.

然後是我們的主角解析數論.

解析數論

原來數論再怎麼搞,也就能在算數基本定理和整環上做文章,巧婦難為無米之炊啊,搞不出什麼東西.

1837年狄利克雷搞了個大新聞,證明了狄利克雷定理.這就很Exciting了,因為用到了微積分和複分析.

開創了解析方法解決數論難題的先河,這就厲害了,打個比方.

$mathbb{C}$ 上解析是天堂模式, $mathbb{R}$ 上連續是噩夢模式, $mathbb{Z}$ 環就是地獄模式了...

又比如,微分方程解不出還有各種逼近技巧,差分方程抬頭解不出,低頭變混沌...

這個解析數論呢,根據研究對象的不同分成了加性數論和乘法數論.

方法上沒區別,都是解析方法嘛.

黎曼假設是乘法數論的代表
哥德巴赫是加性數論的代表

解析數論通過構造解析函數來計算目標,然後通過各種各樣的不等式,展開式,漸進表達式來估計上界.

一開始用來嘗試解決哥德巴赫猜想的方法叫圓法:

圓法的思想是: 對於非零整數 $m$ ,沿著單位圓為路徑的環路積分 $int_0^1 e^{2pi i m t} mathrm{d} t = 0$ 當且只當整數 $m=0$ 的時候積分才等於1.

所以,關於偶數的哥德巴赫猜想其實等於是說對於所有大於等於6的偶數N,單位圓上的環路積分式 $D(N) > 0$ .同理,關於奇數的哥德巴赫猜想等價於環路積分式: $T(N) = int_0^1 S^3(t,N)e^{- 2pi i N t} mathrm{d} t > 0$

然後研究這個函數發現: 不能寫成兩個素數之和的偶數占所有偶數的比例是可以忽略的!

然後另一個方法是篩法,也是通過構造篩函數來求解,這個也就是9+9到1+2的來源...這個我看不懂不說了...

可以看到圓法和篩法都要通過構造特異性的函數來解決問題, 換一個問題又要重新構造了...遷移性非常差...

構造出來也不一定能研究出來不是...9+9到1+2這個改進不知要多少精力,而且還沒法用在1+1上得找點別的構造...數學家也分三六九等的,不是誰都有這麼多腦細胞燒的.

廣義黎曼假設(以下簡稱GRH)就不一樣了,狄利克雷函數是乘法數論核心函數之一.

乘法數論藉助積性生成函數來討論關於各類素數分布的問題.積性函數就是 $f(x)f(y)=f(xy)$ 這種.

於是可以通過基本的幾個數論函數來一個個的組合,不用從頭想破腦袋構造.

而且定義出來的函數遷移性很強,可以用來解決其他問題.

黎曼猜想怎麼和數論扯上關係的可以看這個專欄:

黎曼猜想，及其解釋（上）黎曼猜想，及其解釋（下）

還有一個和解析函數有關的就是模形式或者進一步的自守形式,不過一般不歸入解析數論了.

橢圓函數數論是其研究對象,費馬最終猜想和這個有關,我不懂也就不多說了...

被證否怎麼辦,數學大廈玩完啦

你這是杞人憂天,數學家一般這麼干:

不用GRH,那麼 $pi(x)={ m Li} (x) + O left(x e^{-frac{1}{15}sqrt{ln,x}} ight)$ ,有了GRH, $pi(x) = { m Li} (x) + Oleft(sqrt x ln,x ight)$

不用GRH,那麼 $pi(n) > mathrm{Li}(n)$ 的解出現在 $e^{e^{e^{e^{7.705}}}}$ ,用了GRH能降低到 $e^{e^{e^{79}}}$

這可是雙份的論文啊!

數論方法不發達,必須要用解析法.
上界估計太缺乏,必須要有GRH...

如果是證明可以這麼干:

GRH正確,使用GRH易證成立,論文一篇
GRH要是錯誤,經過推導定理仍然成立,論文一篇
經過複雜推導,這個定理獨立於GRH,一篇
不使用GRH,經過嚴密推導,這個定理還是成立,又是一篇

我發現了一個反例

那你也不要太激動......

一個函數展開那是有餘項的,雖然你可以說我背泰勒公式從來沒背過余項,反正不考...

但是對於數論函數這樣複雜的函數來說考慮余項非常重要...

但是寫結論為了美觀起見又不寫余項.(PS:有時候太複雜也沒法研究)

不寫余項就會允許反例,比如黎曼猜想的推論或者說等價形式之一:

Robin不等式: $sigma(n)<e^gamma n loglog n.$

你用計算機驗證會發現 $n=55440$ 突然不成立,然後你就很想搞個大新聞...

拉馬努金要說了,我早發現了,我反例命名為Colossally過剩數了...Gr?nwall證明了有無窮多這樣的數...

後來Erd?s嘗試證明兩個個連續Colossally過剩數之間的比值恆為質數...然後...然後失敗了...

反正如果要用一句話概括還是那句: 質數是用來乘的不是用來加的...

這個文章算是我上次2333猜想的一個擴展:彈幕中的2333......是否有無限多個素數？

知乎數論大神很強, 我有點班門弄斧了, 有錯誤的話見笑了..

給上面黎曼假設的回答補充個例子：

某個定理是這樣被證明的：先是有一群數學家證明該定理在廣義黎曼猜想成立時成立，後來又有一群數學家證明該定理在廣義黎曼猜想不成立時也成立，於是該定理總是成立。

印象里這個例子來自《黎曼博士的零點》這本書，實在記不清細節了，一會兒去找來確認一下。

UPDATE:

並沒有在《黎曼博士的零點》里找到這個例子……但在維基百科上找到了這個例子，但我很確定我不是在這上面讀到的……

In their discussion of the Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn theorem, (Ireland Rosen 1990, p. 359) say

The method of proof here is truly amazing. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!! (punctuation in original)

關於這個Hecke-Deuring-Mordell-Heilbronn定理，參見Riemann hypothesis：這本來是Gauss提出的一個猜想（也被稱為「高斯猜想」），Hecke1918證明了GRH成立的情況；Deuring1933, Mordell1934, Heilbronn1934證明了RH/GRH不成立的情況。

不幸的是，Carl Siegel1935給出了一個不依賴RH/GRH的證明……

類似的，黎曼假設也行。。

據說有很多數學論文，都已【我們假定黎曼假設是對的】開頭，然後建立了起了很多定理。。

然而這些【黎曼假設的推論】，還沒有發現過問題的樣子。。

╮(╯_╰)╭

我來簡單說個哥德巴赫猜想的應用：n到2n之間必有一個素數。

證明：如哥德巴赫猜想成立，2n可被分解為兩個素數之和。若這兩個素數不為n，則必有一個素數比n大。若n為素數且2n恰巧被分解為n＋n，則2n＋2必可分解為兩個素數，其中一個必然比n大且小於2n。

首先，就算這些猜想已經證明了，它也只是個定理(Theorem)，而不是公理(axiom)。

在任何猜想(conjecture)被證明之前，是不能當成定理使用，但是可以當成假設(Hypothesis)使用。

假設可以是任何情況，比如物理實驗中常常假設空氣阻力不存在，而現實中有空氣就一定有空氣阻力。

自然地，任何猜想都能當作假設來使用。但是基於這些猜想推導出來的定理，也只能在這些假設成立的情況下使用。

這是科學學科的思維——只要符合觀測，那麼都可以暫時當定律來使用，直到誤差可以用新理論解釋。

數學學科不允許這樣。除非先證明它與已有的公理獨立且相容。

隨便，但是數學需要絕對的嚴謹，如果猜想是正確的，那就沒問題，如果猜想是錯誤的，那麼由此推出的所有理論都將瞬間崩塌

反觀現代的理論物理，就是一大堆的猜想推論再驗證

說不定哪天某個根基猜想被證明是錯的（比如大爆炸什麼的），然後整個世界觀就廢掉了

最期待這些事情的發生的大概就是那些民科了吧

重要的問題是理論的簡單性，正交性，完整性，所以一般公理看上去很美很簡單。哥德巴赫猜想在公理體系里沒有這樣的位置，他只是角落裡的一個小空間，達不到樹根的高度

你讓同位角相等的兩直線可以相交於有限遠處，也不會出問題，只會出現一種新幾何。

把它當作結論的來使用可以。可不像公理。