設函數f(x)連續且f"(0)>0,則存在ξ>0,使得 f(x)在 (0,ξ)內單調增？

01-07

為什麼這是錯的

關鍵構造在於一個導數非常震蕩的函數，比如設

$y=x^2sinfrac{1}{x^3}+x, quad forall x eq 0,quad y=0,$ 如果 $x=0$ 。那麼這個函數在0點可導而且導數大於0，但是如果你會發現它是非常震蕩的。

如果存在0點附近的領域使得函數函數是單調遞增的，那麼它的導數必須在這個區間內非負。可是，

$y$ ,

可是當 $x_n=sqrt[3]{frac{1}{(2n)pi}}$ ， $n$ 充分大的時候，導數 $y$

(中間的細節可能有錯，請自己補充和修改，我沒時間我得趕緊工作去了)。

簡單的說就是，導數的性質僅僅與這一點有關，不能反應其鄰域的性質。

具體看圖如下：來自《高等數學釋疑解難》，高等數學工科委出版

根據導數的定義

函數在某一點導數大於零只能說明在Δx趨於零時［f(x+Δx)-f(x)］/Δx&>0

不能說明［f(x+2Δx)-f(x+Δx)］/Δx&>0

f(x)=sin(1/x)*x^2 (x != 0)

f(x)= 0 (x=0)

連續不是光滑啊。

有C0不一定有C1啊。

從泰勒展開來看，因為一階導數在零附近不一定連續

假設存在一個數a使得命題成立。然後將（0，a）線性的映射到（0，1）區間，結果得出所有f（x）只要滿足f"（0）大於0都在（0，1）內單增。但很容易找到反例。