如何推導指數分布的概率密度曲線？

01-07

有一個類似問題是如何推導正態分布概率密度曲線，當時自己疑問看了之後明白了。這裡想知道指數分布的，沒有類似題，特此一問。

指數分布也可以定義為具有無記憶性的取值範圍為0到正無窮的連續分布。

假設一個滿足上述條件的分布概率密度函數為 $f$ .

那麼 $forall s,t > 0, P(X>t+s|X>t) = int_{t+s}^infty f(r)drBig/ int_t^infty f(r)dr equiv P(X>s).$

即 $int_{t+s}^infty f(r)dr - P(X>s) int_{t}^infty f(r)dr equiv 0, forall s,t ge 0$ .

等式兩邊邊對t求導，得到

$f(t+s) = P(X>s)f(t), forall s,tge 0$ ——————(*)

再對s求導， $f(s) = f$ .

帶入 $s=0$ 得到 $f$

解這個常微分方程得到通解 $f(t) = lambda e^{-lambda t},$ 其中 $lambda = f(0).$

當然這個推導有一個問題是為什麼 $f$ 可導。我覺得可以通過等式（*）的左右兩邊bootstrap出來。

指數分布可以定義成泊松過程中相鄰兩次事件之間的時間間隔。

設一個泊松過程的參數為 $lambda$ ，那麼在長度為 $t$ 的一段時間內，事件發生次數 $N_t$ 的分布為泊松分布： $P(N_t = n) = frac{mathrm{e}^{-lambda t}(lambda t)^n}{n!}$ 。這個推導過程很麻煩，略。

設相鄰兩次事件的間隔為 $T$ ，那麼 $T > t$ 的意思就是在 $t$ 時間內沒有發生事件，即 $N_t = 0$ 。於是有 $P(T>t) = mathrm{e}^{-lambda t}$ 。

而 $T$ 的概率密度函數就是 $p_T(t) = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} P(T le t) = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} (1 - mathrm{e}^{-lambda t}) = lambda mathrm{e}^{-lambda t}$ 。

@張雨萌

(*)式中取t=0

f(s)=P(X&>s)f(0)

即

F"(s)=(1-F(s))K

其中K=f(0)

解這個微分方程即可

由於f(s)連續，F(s)一定可導

李賢平的《概率論基礎》裡頭寫得很明白，題主自己看去吧。