今天數學家在張益唐的基礎上已經突破到哪一步了？

01-07

張益唐證明了間隔為7000萬左右的兩素數有無窮多，現在這個數字刷到幾了？

七月有幸聽了老張和Maynard([Small gaps between primes. Ann. of Math. (2)181 (2015), no. 1, 383--413]的作者, 他使用一種不同於老張的方法把bound降到了600)的報告, 老張只是稍微提了下他文章中一個比較關鍵的multiple Kloosterman sum的估計, Maynard倒是完整地把他的證明說了一遍.

首先需要說一下的是Bombieri–Vinogradov theorem和Elliott–Halberstam conjecture:

(Bombieri–Vinogradov theorem) Primes are equidistributed in APs on average of moduli $le x^{1/2-epsilon}$ .
(Elliott–Halberstam conjecture) Primes are equidistributed in APs on average of moduli $le x^{1-epsilon}$ .

先前Goldston, Pintz and Y?ld?r?m(就是GPY method里的GPY, 題外話一下, 這次Goldston也來了)證明了在E-H成立下, 那個bound能降到16, 但僅僅使用B-V的話, 是無法得到有限的bound的, 而他們最好的unconditional的結果是

$liminf_n frac{p_{n+1}-p_n}{log p_n}=0$ .

這裡的問題主要出在B-V的 $1/2-epsilon$ 上. 如果這裡的1/2能slightly bigger, 那麼就可以得到一個有限的bound了. 那老張的工作是什麼呢? 他的證明基於的是對某一些特定的素數的集合 $mathcal{P}$ , 這個1/2是可以slightly bigger的, 從而也就得到了他的70,000,000.

Maynard, 當然也包括Tao他們弄的那個Polymath (當然這個Polymath前期也有依賴老張的方法), 走的是另一條路子, 而這一條路子雖然同樣不能到達Twin primes conjecture, 但bound還是比老張的好不少 (比如現在的record 246就是用的這種方法). 我們知道GPY method依賴於對

$S=sum_{xle nle 2x} left(sum_{i=1}^k chi_{mathbb{P}}(n+h_i)-m ight)w_n$

的估計, 其中G-P-Y當初把這裡的weight $w_n$ 設成了

$left(sum_{d|prod (n+h_i)atop d<R} lambda_d ight)^2$ .

而Maynard的精妙之處在於他把這個weight $w_n$ 又改進成了

$left(sum_{d_1,ldots,d_katop d_i|n+h_i} lambda_{d_1,ldots,d_k} ight)^2$ .

剩下的證明就比較elementary了, 有興趣的不妨看一看開頭提到的那篇paper. 另外值得一提的是, 通過稍微改進一下 $S$ , 在依賴E-H的前提下, bound可以降到12, 而如果承認廣義E-H, bound甚至可以降到6.

再扯點題外話, Maynard的方法在處理large gaps between primes時也很好用, 具體可以參考他的這篇arXiv preprint [Long gaps between primes, arXiv:1412.5029]. 另外還聽別人閑談時說老張手頭上還有些好的結果, 具體內容就不得而知了.

雖然並不知道數學家們在做什麼。

但是據維基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%AA%E7%94%9F%E7%B4%A0%E6%95%B0%E7%8C%9C%E6%83%B3 在2014年時候，這個數字現在被刷到了246。

有一個Polymath Project在做這個，

The Polymath8 project was proposed to improve the bounds for small gaps between primes. It has two components:

Polymath8a, "Bounded gaps between primes", was a project to improve the bound H=H_1 on the least gap between consecutive primes that was attained infinitely often, by developing the techniques of Dr. Yitang Zhang. This project concluded with a bound of H = 4,680.

Polymath8b, "Bounded intervals with many primes", was project to improve the value of H_1 further, as well as H_m (the least gap between primes with m-1 primes between them that is attained infinitely often), by combining the Polymath8a results with the techniques of Dr. Maynard. This project concluded with a bound of H=246, as well as additional bounds on H_m.

Both components of the Polymath8 project have been successful, producing two new papers to be published under the pseudonym D.H.J. Polymath.

[9]
[10]

然後現在的結果，Bounded gaps between primes 好像沒有變化。。

Timeline of prime gap bounds

這裡有一個時間表然而我並看不懂。

剛剛，張老師說已經到246了，正在聽講座

學長和我說，陶哲軒在張的成就公開後，一個月把素數間隔縮小到了10000(記不清了具體數字了)以內。